曲线积分与曲面积分复习实用教案

《曲线积分与曲面积分复习实用教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《曲线积分与曲面积分复习实用教案（36页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第一类曲线(qxin)积分特点(1)被积函数的定义域是曲线弧.( , ),( , )f x yx yL (2)微元 是平面曲线弧长元素.ds (3)空间曲线上的一类曲线积分( , , )f x y z ds( , )dLf x ys对弧长的曲线(qxin)积分:第1页/共36页第一页，共36页。(1)公式(gngsh)法:22d( )( , )(),)( )(Lx yttstfttdf( ),()( ),xttyt L的参数方程：L:( ),yy x axb( ),(),yy xaxbxx( ),(),xx ycydyy( ),xx y cydL:一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。小下

2、限(xixin),大上限.2.第一类曲线(qxin)积分的计算第2页/共36页第二页，共36页。步骤(bzhu)：22d( )( , )(),)( )(Lx yttstfttdf1.写出L的参数方程，确定(qudng)参数的范围2.化为定积分(jfn)一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。小下限,大上限.(2)技巧：对称性简化计算.第3页/共36页第三页，共36页。例题(lt)例122,xyLeds 其中L 为圆周直线 及x轴在第一象限222,xyayx边界.计算内所围成的扇形的整个 例3 计算 其中L为 形成4433(),Lxyds 222333xya的弧段. yaxo例22,x yzd

3、s其中 为折线ABCD,这里A，计算B，C，D依次为0 0 00 0 21 0 21 3 2( , , ),( , , ),( , , ),( , , ).第4页/共36页第四页，共36页。oxyABL1 nMiM1 iM2M1M述移动过程中变力 所作的功W.设一质点在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动的作用，其中函数( , )( , )( , )F x yP x y iQ x y j 到点B,在移动过程中，这质点受到变力( , ),( , )P x y Q x y( , )F x y 在L上连续.计算在上(,)iiF 第二类曲线(qxin)积分1.引例(yn l)：变力沿平面曲线做功WF

4、S iiiiiWP xQyddLWP xQ yddLP xQ y对坐标的曲线积分第5页/共36页第五页，共36页。 (2)被积函数的定义域是曲线弧.( , ),( , ),( , )P x y Q x yx yLddLP xQ y对坐标的曲线积分特点(tdin)(1)积分曲线是有向曲线弧. (3)微元 是有向弧微分 在坐标轴上的投影d ,dxydsddddLLP xQ yP xQ y 与一类曲线积分的本质区别 (4)变力沿空间曲线做功dddLWP xQ yR z第6页/共36页第六页，共36页。一定，二代，三换元，定，代，换关键(gunjin)在方程。下起上终之参.2.第二类曲线(qxin)积

5、分的计算(1)公式(gngsh)法:( ),( ),xtyt 有向曲线L的参数方程：从 到t . ( , )( , )()( ),( )( ),(dd( )d()dLxytx yx ytttPttttPPQL:( )yy x从 到xa. bL:( )xx y从 到xc.d( ),yy xxx从 到xa. b( ),xx yyy从 到xc.d第7页/共36页第七页，共36页。步骤(bzhu)：1.写出L的参数(cnsh)方程，确定参数(cnsh)的走向2.化为定积分(jfn)一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。下起上终之参.( , )( , )()( ),( )( ),(dd( )d()d

6、Lxytx yx ytttPttttPPQ第8页/共36页第八页，共36页。例题(lt)yx yx1 1( , )B11( ,)Aoyx,dLxyx其中(qzhng)L为沿抛物线 从点2yx 到的一段. 例4 计算(j sun)11( ,)A11( , )B 例5 计算 其中 是从到 的直线段.3223,dddxyxzyx y z3 2 1( , , )A0 0 0( , , )B第9页/共36页第九页，共36页。(1)格林公式平面(pngmin)闭曲线 定理1 设区域 D 是由分段光滑的曲线 L围成，则有( , ),P x y( , )Q x yd dddLDQPx yP xQ yxy (

7、格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,其中L是D的正向边界曲线.DLD0L1L2L第二类曲线(qxin)积分的重要定理第10页/共36页第十页，共36页。说明(shumng)： (1)格林公式仅计算平面闭曲线的二类(r li)曲线积分.ddd dLDQPP xQ yx yxy (2) L是D的正向边界曲线沿着边界走，区域在左手.ddd dLDQPP xQ yx yxy (3) L必须(bx)是封闭的平面曲线.( , ),( , )P x yQ x y在D上具有连续一阶偏导数. (4)添边：构成闭区域，具有连续一阶偏导数. 加负号：沿着边界走，区域在右手，记得添负号。 挖洞：含奇点时莫忘

8、挖洞去奇点. 第11页/共36页第十一页，共36页。例6 计算,)()3(Ldxyxdyyx其中L为9)4() 1(22yx的负向.例7 计算 上由点到点 的一段弧.,Lxdy其中L为122 yx)0 , 1 (A) 1 , 0(B应用(yngyng)：22dd,Lx yy xxy 其中L为一无重点且不过例8 计算 原点的分段光滑正向闭曲线.LyxoDxyoLDrl1D第12页/共36页第十二页，共36页。Dyxo1L2LBA12LLPdxQdyPdxQdy定义(dngy)：曲线积分与路径无关等价于0CPdxQdy 条件：12ddddLLP xQ yP xQ y120 LLPdxQdy12dd

9、dd0LLP xQ yP xQ y(2)曲线积分(jfn)与路径无关第13页/共36页第十三页，共36页。则曲线积分 在D内 定理2 设D 是单连通域 ,( , ),( , )P x yQ x y在D 内具有一阶连续偏导数,在 D 内恒成立.PQyxddLP xQ y路径无关(或沿D内任意闭曲线的曲线积分为零)的充函数要条件是第14页/共36页第十四页，共36页。，其中L是从点0 0( , ) 例10 计算cos dsin dxLey xy y到点 的任意有向曲线.2 2(,) 利用(lyng)路径无关计算曲线积分，其中L是xoy平面内的任 例9 计算22ddLxy xxy 意有向闭曲线.特点

10、：路径(ljng)无关，闭曲线,积分为零.特点(tdin)：路径无关，非闭曲线,选易积分路线.第15页/共36页第十五页，共36页。第二类曲线(qxin)积分的计算方法总结1.公式法：被积函数(hnsh)与积分路径简单. ( , )( , )()( ),( )( ),(dd( )d()dLxytx yx ytttPttttPPQddd dLDQPP xQ yx yxy2.格林公式：平面闭曲线，不易积分，但 简单.QPxy3.路径无关：选择简单路径，积分.PQyx第16页/共36页第十六页，共36页。三、二元函数(hnsh)的全微分求积( , )d( , )dP x yxQ x yy( , )u

11、 x y ?du ? 设区域D是一个单连通域, 函数P(x,y)及定理3PQyx在D内恒成立.u(x,y)的全微分的充ddP xQ y在D内为某一函数Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数,则曲线积分的被积表达式要条件是1.全微分的条件第17页/共36页第十七页，共36页。( ,0)A xyxo( , )B x y在整个xoy面内 例11 验证22()()xy dxxy dy( , )u x y的全微分，并求这样一个函数.是一函数第18页/共36页第十八页，共36页。第一类曲面积分( , , )d.f x y zS“一投，二代，三换，投影(tuyng)，换元看方程”第一类曲面(qmin)积分的计

12、算221( , )d d( , , )d , ,xyxyDz x yzzf x y zSf xxyy 例12 计算 ,其中 为球面 222()IxyzdS2222xyzR222()IxyzdS2222xyzR2222xyzR 例13 计算 ，其中 为222()IxyzdS22220()xyzRz R第19页/共36页第十九页，共36页。 之间的圆柱面 例14 计算 ，其中 为平面2221IdSxyz01,zz221xy 例15 计算 ，其中 为球面2()IxyzdS2221xyz第20页/共36页第二十页，共36页。 步骤(bzhu)：1.写出曲面的显式表达式( , )zz x y2.将曲面向

13、xoy面投影xyD3.求出曲面面积元素221d ddxyzzSx y221( , )d d( , , )d , ,xyxyDz x yzzf x y zSf xxyy4.化为二重积分“一投，二代(r di)，三换，投影，换元看方程”第21页/共36页第二十一页，共36页。预备(ybi)知识：上侧n (,1)xyzzcos0(, 1)xyz z cos0下侧前侧(1,)yzxxn cos0( 1,)yzxxcos0后侧:( , )xx y zoxyz通过曲面上任一点处法向量的指向来指定.例：:( , )zz x yoxyz1.有向曲面(qmin)的侧第22页/共36页第二十二页，共36页。右侧n

14、 (,1,)xzyycos0(, 1,)xzyycos0左侧:( , )yy x zoxyz第23页/共36页第二十三页，共36页。oxyz2.有向曲面在坐标(zubio)面上的投影 设 为有向曲面,S在上取一小块曲面.)(xy上各点处法向量的方向余弦S在xOy面上的投影区域的面积为假定Scos有相同的符号.,)(yxS把 在 xoy 面上的投影记为S则规定()x yS(),x y(),x y 0 ,时当0cos时当0cos时当0coscosS第24页/共36页第二十四页，共36页。() ,zxS 在 zox面上的投影Soxyz() ,yzS 在 yoz面上的投影Soxyz()yzS() ,y

15、z() ,yz 0 ,0cos0cos0coscosS()zxS() ,zx() ,zx 0 ,0cos0cos0coscosS第25页/共36页第二十五页，共36页。( , , )d d( , , )d d( , , )d d .P x y zy zQ x y zz xR x y zx y第二类曲面积分( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )P x y z dydzP x y z dydzQ x y z dzdxQ x y z dzdxR x y z dxdyR x y z dxdy 用 表示(biosh) 的反向曲面, 则与侧有关性质第26页/共

16、36页第二十六页，共36页。1( , , )d dIP x y zy zd dcos dy zS :( , ),xx y z( , )yzy zD( ( , ), , )d d( , , )d d( ( , ), , )d dyzyzDDP x y zy zy zP x y zy zP x y zy zy z取前侧取后侧d dcosdz xS :( , ),yy z x( , )zxz xD2( , , )d dIQ x y zz xoxyz( , ( , ), )d d( , , )d d( , ( , ), )d dzxzxDDQ x y z x zz xQ x y zz xP x y z

17、 x zz x取右侧取左侧oxyz第二类曲面(qmin)积分的计算第27页/共36页第二十七页，共36页。oxyz:( , ),zz x y( , )xyx yD( , , ( , )d d( , , )d d( , , ( , )d dxyxyDDR x y z x yx yR x y zx yR x y z x yx y取上侧取下侧3( , , )d dIR x y zx yd dcos dx yS 一投，二代(r di)，三定号，投影，代入看积分，定号要靠曲面侧第28页/共36页第二十八页，共36页。 例16 计算 其中 是平面 含在()d d ,xzx yxza 柱面 部分内的上侧.2

18、22xya 理解：在曲面上；曲面面积元素(yun s)的投影.例17 计算 其中 是球面22,x y zdxdy2222xyzR 的下半部分的下侧. 特点：曲面(qmin)具有单值函数表达式第29页/共36页第二十九页，共36页。dxdyzyxR),(xyDdxdyyxzyxR),(,(2、化为二重积分3、计算(j sun)二重积分:xyD1、明确 的方程，确定投影:( , )zz x y步骤：一投，二代，三定号，投影(tuyng)，代入看积分，定号要靠曲面侧第30页/共36页第三十页，共36页。( , , )P x y z dydz( , , )cosQ x y zdS( , , )cosP

19、 x y zdS( , , )Q x y z dzdxdSzyxRcos),(dxdyzyxR),(为有向曲面在任意点处法向量的方向余弦.cos,cos,cos两类曲面(qmin)积分之间的联系第31页/共36页第三十一页，共36页。其中(qzhng)是2()ddd d ,zxyzzxy旋转(xunzhun)抛物面221()2zxy介于(ji y)平面 z= 0 之间部分的下侧. 例18 计算及 z = 2oyxz2第32页/共36页第三十二页，共36页。 的方向(fngxing)取外侧.定理1 设空间闭区域 由分片光滑的闭在 上有连续的一阶函数 P, Q, R 曲面 所围成, 则有 偏导数

20、, ()dPQRPdydzQdzdxRdxdyvxyz.)coscoscos()(dSRQPdxdydzzRyQxP或高斯(o s)公式第33页/共36页第三十三页，共36页。,其中 是例19 计算的内侧.2222xyza333Ix dydzy dzdxz dxdy ,其中2222,2zxyzxy例20 计算所围立体表面的外侧.22Ixzdzdyyzdzdxx dxdy ，其中例21 计算为 的下侧.22220()axdydzzadxdyIaxyz 222zaxy 第34页/共36页第三十四页，共36页。三度(sn d)例22 已知 ,求在 处(1)gradu2223( , , )u x y zxxyxy z(2)()div gradu(3)()rot gradu0 0 0( , , )第35页/共36页第三十五页，共36页。感谢您的观看(gunkn)。第36页/共36页第三十六页，共36页。