中心极限定理证明

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1、中心极限定理证明目录第一篇：中心极限定理证明 第二篇：大数定理中心极限定理证明 第三篇：中心极限定理第四篇：中心极限定理应用 第五篇：中心极限定理 更多相关范文 正文第一篇：中心极限定理证明 中心极限定理证明一、例子高尔顿钉板试验 .图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子 .每排钉子等距排列 , 下 一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间 .假设有排钉子 , 从入口中 处放入小圆珠 . 由于钉板斜放 , 珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率 滚向左边 , 也以的概率滚向右边 . 如果较大 , 可以看到许多珠子从处滚到 钉板底端的格子的情形如图所示 , 堆成的曲线近似于正态分布 .如果定义 :当第次

2、碰到钉子后滚向右边 , 令;当第次碰到钉子后滚向 左边,令.则是独立的 ,且那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态 .可以想象 , 当越来 越大时接近程度越好 . 由于时,. 因此, 显然应考虑的是的极限分布 . 历史 上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布 . 研究极限分布为正 态分布的极限定理称为中心极限定理 .二、中心极限定理 设是独立随机变量序列 , 假设存在 , 若对于任意的 , 成立 称服从中心极限定理 .设服从中心极限定理 ,则服从中心极限定理 , 其中为数列 . 解:服从中心极限定理 , 则表明 其中.由于, 因此故服从中心极限定理 .三、德莫佛 - 拉普拉斯中心极限定

3、理 在重贝努里试验中 , 事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事 件出现的次数 , 则用频率估计概率时的误差估计 . 由德莫佛拉普拉斯极限定理 , 由此即得第一类问题是已知 ,求, 这只需查表即可 .第二类问题是已知 ,要使不小于某定值 , 应至少做多少次试验 ?这时 利用求出最小的 .第三类问题是已知 , 求.解法如下 :先找,使得.那么, 即.若未知, 则利用,可得如下估计 :. 抛掷一枚均匀的骰子 , 为了至少有 0.95 的把握使出现六点的概率 与之差不超过 0.01, 问需要抛掷多少次 ?解:由例 4中的第二类问题的结论 ,. 即. 查表得.将代入, 便得.由此 可见, 利用比利用

4、契比晓夫不等式要准确得多 .已知在重贝努里试验中 , 事件在每次试验中出现的概率为为次试验 中事件出现的次数 , 则服从二项分布 :的随机变量 . 求.解:因为很大 , 于是所以利用标准正态分布表 , 就可以求出的值 .某单位内部有 260架电话分机 ,每个分机有 0.04 的时间要用外线 通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的 , 问总机要备 有多少条外线才能以 0.95 的把握保证各个分机在使用外线时不必等候 解:以表示第个分机用不用外线 , 若使用,则令; 否则令.则.如果 260架电话分机同时要求使用外线的分机数为 , 显然有. 由题 意得,查表得, 故取. 于是取最接近的

5、整数 , 所以总机至少有 16条外线 ,才能有 0.95 以上的 把握保证各个分机在使用外线时不必等候 .根据孟德尔遗传理论 , 红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄 果植株的比率为 3:1, 现在种植杂交种 400 株 , 试求结黄果植株介于 83 和 117 之间的概率 .解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一次试验 , 并假定各次试 验是独立的 .在 400株杂交种中结黄果的株数记为 , 则.由德莫佛拉普拉斯极限定理 , 有其中, 即有四、林德贝格 - 勒维中心极限定理若是独立同分布的随机变量序列 , 假设, 则有 证明:设的特征函数为 , 则 的特征函数为 又因为, 所以 于是特征函

6、数的展开式 从而对任意固定的 , 有 而是分布的特征函数 . 因此, 成立.在数值计算时 , 数用一定位的小数来近似 , 误差. 设是用四舍五入法 得到的小数点后五位的数 , 这时相应的误差可以看作是上的均匀分布 .设有个数 , 它们的近似数分别是 ,.,. 令 用代替的误差总和 . 由林德贝格勒维定理 , 以, 上式右端为 0.997, 即以 0.997 的概率有 设为独立同分布的随机变量序列 , 且互相独立 , 其中, 证明: 的分布 函数弱收敛于 .证明:为独立同分布的随机变量序列 , 且互相独立 ,所以仍是独立同 分布的随机变量序列 , 易知有由林德贝格勒维中心极限定理 ,知的分布函数

7、弱收敛于 , 结论 得证.作业: p222ex32,33,34,35五、林德贝尔格条件 设为独立随机变量序列 , 又 令, 对于标准化了的独立随机变量和的分布当时, 是否会收敛于分布 ?除以外, 其余的均恒等于零 , 于是. 这时就是的分布函数 . 如果不是 正态分布 , 那么取极限后 , 分布的极限也就不会是正态分布了 . 因而, 为 了使得成立 , 还应该对随机变量序列加上一些条件 . 从例题中看出 , 除以 外, 其余的均恒等于零 , 在和式中 ,只有一项是起突出作用 . 由此认为 ,在 一般情形下 , 要使得收敛于分布 , 在的所有加项中不应该有这种起突出 作用的加项 . 因为考虑加项

8、个数的情况 , 也就意味着它们都要“均匀地 斜.设是独立随机变量序列 , 又, 这时(1) 若是连续型随机变量 , 密度函数为 , 如果对任意的 , 有(2) 若是离散型随机变量 , 的分布列为如果对于任意的 , 有 则称满足林德贝尔格条件 .以连续型情形为例 , 验证: 林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀 地斜.证明:令,则于是从而对任意的 , 若林德贝尔格条件成立 , 就有这个关系式表明 , 的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零 , 这就意味着所有加项是“均匀地斜 .六、费勒条件设是独立随机变量序列 , 又, 称条件为费勒条件 .第 5 页 共 19 页林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是

9、中心极限定理成立的充分条 件,但不是必要条件 . 费勒指出若费勒条件得到满足 ,则林德贝尔格条件 也是中心极限定理成立的必要条件 .七、林德贝尔格 - 费勒中心极限定理引理 1 对及任意的 ,证明:记, 设,由于因此, 其次, 对, 用归纳法即得 . 由于,因此, 对也成立.引理 2 对于任意满足及的复数 , 有证明:显然因此, 由归纳法可证结论成立 .引理3若是特征函数,则也是特征函数 ,特别地 证明定义随机变量其中相互独立 ,均有特征函数 ,服从参数的普哇松分布 ,且与诸独立 , 不难验证的特征函数为 , 由特征函数的性质即知成立 .林德贝尔格 - 费勒定理 定理设为独立随机变量序列 ,又

10、. 令,则(1) 与费勒条件成立的充要条件是林德贝尔格条件成立 .证明 :(1) 准备部分记显然(3)(4)以及分别表示的特征函数与分布函数 ,表示的分布函数 , 那么(5) 这时因此林德贝尔格条件化为 : 对任意 ,(6)现在开始证明定理 . 设是任意固定的实数 .为证(1) 式必须证明(7)先证明, 在费勒条件成立的假定下 ,(7) 与下式是等价的 :(8)事实上, 由(3) 知, 又因为故对一切 ,把在原点附近展开 , 得到因若费勒条件成立 ,则对任意的 , 只要充分大 ,均有(9)这时(10)对任意的 ,只要充分小 , 就可以有(11)因此,由引理 3,引理 2及(10),(11),

11、只要充分大 , 就有(12)因为可以任意小 ,故左边趋于 0, 因此,证得(7) 与(8) 的等价性 .(2) 充分性先证由林德贝尔格条件可以推出费勒条件 . 事实上,(13)右边与无关 ,而且可选得任意小 ; 对选定的,由林德贝尔格条件 (6) 知道第二式当足够大时 ,也可以任意地小 , 这样, 费勒条件成立 .其次证明林德贝尔格条件能保证 (1) 式成立.注意到(3) 及(4), 可知, 当时,当时, 因此(14)对任给的,由于的任意性 ,可选得使 ,对选定的,用林德贝尔格条件 知只要充分大 ,也可使.因此,已证得了 (8), 但由于已证过费勒条件成立 , 这时(8) 与(7) 是等价的,

12、因而(7) 也成立.(3) 必要性由于(1) 成立, 因此相应的特征函数应满足 (7). 但在费勒条件成立 时,这又推出了 (8), 因此,(15) 上述被积函数的实部非负 , 故 而且(16)因为对任意的 ,可找到, 使,这时由(15),(16) 可得 故林德贝尔格条件成立 .八、李雅普诺夫定理 设为独立随机变量序列 , 又. 令, 若存在 , 使有 则对于任意的 , 有第二篇：大数定理中心极限定理证明一，大数定律的证明 二，中心极限定理的证明 第三篇：中心极限定理 5.3 中心极限定理 我们曾特别强调了正态分布在概率论与数理统计中的地位与作用 为什么客观实际中许多随机变量服从正态分布 ?是

13、经验猜测还是确有科 学的理论依据，下面我们就来解释这一问题 .我们已经知道，炮弹的弹着点射击误差服从正态分布，我们来分 析其原因 . 要知道误差是什么样的随机变量，有必要研究一下造成误差 的原因是什么 ?每次射击后，炮弹会因为震动而造成很微小的偏差x1，炮弹外形细小的差别而引起空气阻力不同而出现的误差x2，炮弹前进时遇到的空气流的微小扰动而造成的误差 x3，等等，有许多原 因，每种原因引起一个微小的误差都是随机的，而弹着点的总误差 x 是许多随机误差的总和，即 x=?xk, 而且 xk 之间可以看成是相互独立 的，因此要讨论 x 的分布就要讨论这些相互独k立的随机变量之和的分布 . 在概率论中

14、，我们把研究在一定条件下，大量独立随机变量和的 极限分布是正态分布的那些定理通常叫做中心极限定理 . 本节只介绍两 个条件简单，也较常用的中心极限定理 .定理4 (同分布中心极限定理)设随机变量 x1, x2,xn相互 独立，服从同一分布，且具有有限的数学期望和方差，e(xk)二？,d(xk)二?(k=1,2,)则随机变量2?xk-n? k=1?n的分布函数对任意的x,满足n? n? ?xk-n? k=1 ?n?x1 ?2 ? e-? x t22dt第四篇：中心极限定理应用中心极限定理及其应用【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景,最常见的是 德莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理和林德贝格

15、-勒维中心极限定理。它们 表明了当 n 充分大时,方差存在的 n 个独立同分布的随机变量和近似 服从正态分布,在实际中的应用相当广泛。本文讨论了中心极限定理 的内容、应用与意义。【关键词】：中心极限定理 正态分布 随机变量一、概述 概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。随机现 象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来,而 研究大量的随机现象常常采用极限的形式,由此导致了对极限定理的 研究。极限定理的内容很广泛,中心极限定理就是其中非常重要的一 部分内容。中心极限定理主要描述了在一定条件下,相互独立的随机 变量序列x1、x2、xn、的部分和的分布律：当n工时的极限符

16、合正态分布。因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具 有很重要的地位,也使得中心极限定理有了广泛的应用。二、定理及应用1 、定理一（林德贝格勒维定理）若?kl, =a,?2，是一列独立同分布的随机变量，且e?d?k二k?x2(?20) ,k=1,2,则有 limp(k?1n?n?na?x)?nn12?e?t22dt 。当 n 充分大时， ?k?1k?na?nn(0,1 )， k?1?nkn(na,n?) 22、定理二(棣莫弗拉普拉斯中心极限定理)在 n 重伯努利试验中 , 事件 a 在每次试验中出现的概率为错误！未 找到引用源。 , 错误！未?找到引用源。为n次试验中事件a出现的次数，

17、则 limp(n?n?npnpq?x)?2?1x?e?t22dt其中q?1?p。这个定理可以简单地说成二项分布渐近正态分布， 因此当 n 充分大时，可以利用该定理来计算二项分布的概率。 同分布下中心极限定理的简单应用 独立同分布的中心极限定理可应用于求随机变量之和sn落在某区间的概率和已知随机变量之和 sn取值的概率，求随机变量的个数。例 1：设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同 的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总 重量超过 2510kg 的概率是多少 ?解：设xi(i=1 , 2,，5000)表示第i个零件的重量x1,x2，x5000独立同

18、分布且 e(xi)=0.5 , d(xi)=0.12。由独立同分布的中心极限定理可知3=i- ( 1.414 ) =1-0.9215=0.0785例 2：一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的且同分布，设每箱平均重50kg，标准差为5kg,若用最大载重为50吨的汽 车承运，每辆车最多可以装多少箱才能保证不超载的概率大于 0.977？解：设xi(i=1 , 2,，n)是装运第i箱的重量，n为所求箱数。 由条件可把x1, x2，xn看作独立同分布的随机变量，而 n箱的总 重量为tn=x1+x2+xn,是独立同分布的随机变量之和。由 e(xi)=50 、d(xi)=52 得： e(tn)=5

19、0n , d(tn)=52n根据独立同分布的中心极限定理：3即最多可以装 98 箱。例 3：报名听心理学课程的学生人数 k 是服从均值为 100的泊松 分布的随机变量,负责这门课的教授决定,如果报名人数不少于 120, 就分成两班,否则就一班讲授。问该教授讲授两个班的概率是多少 ?分析：该教授讲授两个班的情况出现当且仅当报名人数 x不少于 120,精确解为p (x 120) =e-100 100i/i !很难求解，如果利用泊松 分布的可加性,想到均值为 100的泊松分布随机变量等于 100个均值 为1的独立泊松分布随机变量之和,即 x= xi ,其中每个 xi 具有参数 1 的泊松分布,则我们

20、可利用中心极限定理求近似解。 2解：可知 e(x)=100, d(x)=100教授讲授两个班的概率是 0.023。例4：火炮向目标不断地射击,若每次射中目标的概率是0、1。(1) 求在 400 次射击中击中目标的次数在区间 30，50内的概率。(2) 问最少要射击多少次才能使击中目标的次数超过10 次的概率不小于 0.9 ？分析：显然火炮射击可看作是伯努利实验。 1 即 我们知道，正态分布可近似于二项分布，而且泊松分布可近似于 二项分布，当二项分布b(n , p), n较大、p较小时可用泊松分布估计 近似值。如果 p 接近 1，有 q=l-p 很小，这时也可用泊松分布计算；但 是当 n 较大，

21、 p 不接近 0 或 1 时，再用泊松分布估计二项分布的概率就 不够精确了，这时应采用拉普拉斯定理来计算。解：(1)设在射击中击中目标的次数为 yn,所求概率(30yn0,使得： 也就是说,无论各个随机变量 xi 服 从什么分布,只要满足李雅普诺夫条件,当 n 很大时,它们的和 近似服从正态分布。 由于在大学本科阶段接触的不同分布的样本较 少,本文对它的应用将不举例说明。中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总 体的分布如何，样本均值总是近似地服从正态分布。正是这个结论使 得正态分布在生活中有着广泛的应用。四、中心极限定理的意义首先，中心极限定理的核心内容是只要 n 足够大，便

22、可以把独立 同分布的随机变量和的标准化当作正态变量，所以可以利用它解决很 多实际问题，同时这还有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈 现出钟形曲线这一值得注意的事实，从而正态分布成为概率论中最重 要的分布，这就奠定了中心极限定理的首要功绩。其次，中心极限定 理对于其他学科都有着重要作用。例如数理统计中的参数（区间）估 计、假设检验、抽样调查等；进一步，中心极限定理为数理统计在统 计学中的应用铺平了道路，用样本推断总体的关键在于掌握样本特征值的抽样分布，而中心极限定理表明只要样本容量足够地大，得 知未知总体的样本特征值就近似服从正态分布。从而，只要采用大量 观察法获得足够多的随机样本数据，几乎

23、就可以把数理统计的全部处 理问（ 更多内容请访问好范 文网.） 题的方法应用于统计学，这从另一 个方面也间接地开辟了统计学的方法领域，其在现代推断统计学方法 论中居于主导地位。 参考文献1 邓永录 著 应用概率及其理论基础 . 清华大学出版社。2 魏振军 著 概率论与数理统计三十三讲 . 中国统计出版社。3 程依明 等 著 概率论与数理统计习题与解答 . 高等数学出版 社。第五篇：中心极限定理中心极限定理中心极限定理（ central limit theorems ） 什么是中心极限定理 大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变 量的分布的问题。而中心极限定理说明的是在一定条件

24、下，大量独立 随机变量的平均数是以正态分布为极限的。中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。它提出，大量的独 立随机变量之和具有近似于正态的分布。因此，它不仅提供了计算独 立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很 多自然群体的经验频率呈现出钟形 （即正态 ）曲线这一事实，因此中心 极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使 正态分布有了广泛的应用。中心极限定理的表现形式 中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定 理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望 a 和方 差（T 2,则随机变量，在 n 无限增大时

25、，服从参数为 a和的正态分布即nx时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差t2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取 容量为 n 的样本时，只要 n 足够大，其样本平均数的分布就趋于数学 期望为a,方差为t 2 / n的正态分布。（二）德莫佛拉普拉斯中心极限定理设an是n次独立试验中事件a发生的次数，事件a在每次试验 中发生的概率为p,则当n无限大时，频率设a n / n趋于服从参数为的正态分布。即： 该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调查中，不论总体服 从什么分布，只要 n 充分大，那么频率就近似服从正态分布。（三）李亚普洛夫中心极限定理设差：是一个

26、相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望 和方记，如果能选择这一个正数 5 0,使当n-时，,则对任意的 x 有： 该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响 所造成的,而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大,则这个量 服从或近似服从正态分布。（四）林德贝尔格定理 设是一个相对独立的随机变量序列,它们具有有限的数学期望和方差 满足林德贝尔格条件，则当n-时，对任意的x,有中心极限定理案例分析案例一：中心极限定理在商业管理中的应用水房拥挤问题：假设西安邮电学院新校区有学生 5000人，只有一 个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现 象，为此校学生会特向

27、后勤集团提议增设水龙头。假设后勤集团经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1的时间要占用一个水龙头，现有水龙头 45 个，现在总务处遇到的问题是：（1）未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？（2）至少要装多少个水龙头，才能以 95以上的概率保证不拥 挤？解：（1）设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为 x，则 xb（ 5000，0.01）拥挤的概率是有定理 2， n=5000， p=0.01 ， q=0.985故即拥挤的概率p（ Z 45） = 1 ? 0.2389 = 0.7611（ 2 ）欲求 m，使得即由于即查表即需装 62 个水龙头。问题的变形：（3）至少安装多少个水龙头，才能以 99

28、%以上的概率保证不拥 挤？解：欲求m使得即由即 查表即 ir 66.4 故需要装 67 个水龙头。（4）若条件中已有水龙头数量改为 55 个，其余的条件不变 ,1,2 两问题结果如何？解：（ 1）（2）同上。（5）若条件中的每个学生占用由 1%提高到 1.5%，其余的条件不 变，则（ 1），（2）两问题结果如何 ?解：（1）设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为 X,则 x-b（5000 ， 0.015）已知 n=5000, p=0.015, q=0.985, np=75拥挤的概率达（2）欲求m使得即由即查表即 m 89.14故需装 90 个水龙头。中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总 体的分布如何，样本的均值总是近似地服从正态分布。如果一个随机 变量能够分解为独立同分布的随机变量序列之和，则可以直接利用中 心极限定理进行解决。总之，恰当地使用中心极限定理解决实际问题 有着极其重要意义。除你为整理的以上范文外，系统还推荐以下相关范本： 第五章大数定理及中心极限定理 中心极限定理 - 第四章练习题浅谈中心极限定理及其应用 论文4 中心极限定理中心极限定理和概率统计第 18 页 共 19 页