拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用

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1、弓I言11拉普拉斯变换以及性质11.1 拉普拉斯变换的定义 11.2 拉普拉斯变换的性质 12用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 33拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 33.1 初值问题与边值问题 33.2 常系数与变系数常微分方程 43.3 含 函数的常彳分方程 53.4 常微分方程组 53.5 拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 63.6 拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 84拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 94.1 齐次与非齐次偏微分方程 94.2 有界与无界问题 115综合比较，归纳总结13结束语14参考文献14英文摘要21致谢15拉普拉斯变换在求解微分方程

2、中的应用物理系0801班学 生 岳艳林指导老师韩新华摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含 函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特 解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广)与典型偏微分方程(齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题)中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解

3、引言傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在 t内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间 t为自变量的函数通常在t 0时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个 缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换1。1拉普拉斯变换以及性质1.1 拉普拉斯变换的定义设函数f(t)当t 0时有定义，而且积分f(t)estdt(s是一个复参量)在s的某一区域内收敛，0则此积分所确定的函数可写为 F(s) f(t)e stdt.我们称上式为函数f(t)的Laplace变换式.记为 0F (s) L f(t), F

4、(s)称为f(t)的Laplace变换(或称为象函数).若F(s)是f (t)的Laplace变换，则称f (t)为F (s)的Laplace逆变换(或称为象原函数),记为 f(t) L1F(s)2.Laplace变换的存在定理若函数f(t)满足下列条件：1在t 0的任一有限区间上分段连续；2当t 时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数M 0及c 0,使得f(t) Mect,0 t 成立(满足此条件的函数，称它的增大是不超过指数级的，c为它的增长指数).则f(t)的Laplace变换F(s) = f (t)e stdt在半平面Re(s) c上一定存在，右端的积分在 0Re(s)

5、 g c的半平面内，F(s)为解析函数2.1.2 拉普拉斯变换的性质线性性质 若， 是常数，Lf1(t) F1 (s) , Lf2F2 (s),则有 L f1(t)f2(t)Lf1(t)+ Lf2(t),1_1 一1 一L F1(s)F2(s)L F1(s)+ L F2(s).微分性质若 Lf(t) F(s),则有 Lf(t) sF(s) f(0).高阶推广 若 Lf(t) F(s),则有 Lf (t) s2F(s) sf(0) f(0).一般，Lfn(t) snF(s) sn 1f(0) sn 2f(0) sf(n 2)(0) f(n1)(0).积分性质 若LfF，则1 tf(t)dt -

6、L F (s).0s位移性质 若 Lf(t) F(s),则 Leatf(t) F(s a)(Re(s a) c).延迟性质 若Lf(t) 56)，又1 0时f(t)=0,则对于任一非负实数 ，有 Lf(t ) es F(s),或 L1es F(s) f(t )2.相似性性质若 Lf(t) F(s)MLf(at) - F(-).a a卷积性质若 Lfi(t)Fi(s), L f2(t) F2(s),则 Lt)i f2(t)Fi(s)F2(s),其中 fi(t)i f2(t):fi()f2(t)d 称为 fi(t)与 fz(t)的卷积网.由于从定义以及性质求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换困难且复杂，

7、在控制工程中，常常通过查阅已编好的“拉氏变换对照表”来实现。拉氏变换对照表列出了工程上常用的时间函数及其对应 的拉氏变换，可以根据该表查找原函数的象函数，或者从象函数查找原函数。对于表中不能找到的形式，可以把它展开成部分分式，再求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换。以下是本文将用到的几种常用的拉普拉斯变换函数对 网：原函数象函数原函数象函数11表一：拉普拉斯变换函数表2用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤4如下:像其他方法涮附分方胆坐，应用拉冲拉斯然就解微什方程也有规范的步骤, 原口必取拉普拉斯逆变换豕口必其一般步骤微分方程的解1、根据自变量的变化范围和方程及其定解条件的金体情况来决定对哪一个自变量

8、进行拉普拉斯变换，然后对线性微分方程中每一项取拉普拉斯变换,微分方程变为s的代数方程;2、解象函数的代数方程，得到有关变量的拉普拉斯肉软表达式，即象函数;3、对象函数取拉普拉用 微分方程流程由法西向下:型服用招喇微分方程的时域解。1象函数的代数方程图一：拉普拉斯变换求解微分方程的流程图拉普拉斯变换在物理和工程等领域有着广泛的应用，通过拉普拉斯变换，可以方便地对线性控 制系统进行分析、研究，可以对一些级数进行求和，还可以求解微分方程 1。接下来重点讨论拉普 拉斯变换在求解微分方程中的应用。3拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用3.1初值问题与边值问题例:求解初值问题 y 4y 3y et,y(0

9、) y(0) 12.解:设Y(s) Ly(t),对方程两边同时取拉普拉斯变换，有s2Y(s) sy(0)y(0) 4sY(s) y(0) 3Y(s)结合初始条件，有s2Y(s) s 1 4sY(s) 13Y(s)整理展开成部分分式，有11一 二21 2 (s 1)2由拉普拉斯变换函数表由拉普拉斯变换函数表 sn!Fse;可知L-s 1e t, L1s 33t etn,并结合位移性质Le tfF(s ),.11可知 L 2 te(s 1)1 , t 3 3t 1t 3t ,tee(72t)e 3e 。244对方程两边同时求反演,17 ty(t) L Y(s) e4整理可得方程的解为例：求解边值问

10、 V、 y 0, y(0)0, y(2 )12.解：设Y(s) Ly(t),对方程两边同时取拉普拉斯变换，有结合初始条件，有s2Y(s) y(0) Y(s) 0,整理展开成部分分式，有Y(s) 粤 y(0)!(s2 12 s 1由拉普拉斯变换函数表L1 e:可知L1ss 1对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为et, L1- s11 tI e为了确定y(0),将条件y(2 ) 1代入上式可得y(0)1sinh 2所以方不解为y(t)黑 3.2常系数与变系数常微分方程例：求解常系数微分方程y2y y 0, y(0)0,y(i)2 2解：设Y(s) Ly(t),对方程两边同时取拉普拉斯变换，有结

11、合初始条件，有s2Y(s) y(0) 2sY(s) Y(s) 0,整理展开成部分分式，有Y(s) 2 y 上， s2 2s 1 (s 1)2由拉普拉斯变换函数表L14 tn,并结合位移性质 sLe tf(t)F(s ),可知L1 tet.(s 1)对方程两边同时求反演,整理可得方程的解为y(t)1- tL1Y(s) y (0)tet,例:求解变系数微分方程ty解:2y ty 0, y(0)1, y(0)5,(8为常数)2设Y(s)Ly(t),对方程两边同时取拉普拉斯变换，Lty 2Ly Lty即 Lty Ly 4Lty 0,亦即s2Y(s) sy(0) y(0) 2sY(s) y(0) Y(s

12、)0,dsds两边积分可得2sY(s) s2Y(s) y(0) 2sY(s) y(0) Y(s) 0, dsds结合初始条件，有2sY(s) s2Y(s) 1 2sY(s) 1 -dY(s) 0, dsds整理可得_dY(s)=L,dss2 1两边积分可得Y(s) arctans c,1欲求待止系数c,可利用limY(s) 0 ,所以从c 一, Y(s) 一arctans arctan -,s22sa11由拉普拉斯变换函数表 L arctan - -sin at,可知L arctans - sin t.stt对方程两边同时求反演，可得方程的解为y(t) L1Y(s) -sint.t3.3含 函

13、数的常微分方程例：质量为m的物体挂在弹簧系数为k的弹簧一端，当物体在t 0时在x方向受到冲击力f(t) A (t) (t),其中A为常数。若物体自静止平衡位置x 0处开始运动，求该物体的运动规律x(t)2.解：根据牛顿定律，有mx f (t) kx,其中kx由胡克定律所得，是使物体回到平衡位置的弹簧的恢复力。所以，物体运动的微分方程为 mx kx f (t)(t 0),且x(0)x (0) 0.这是二阶常系数非齐次微分方程，对方程两边取拉普拉斯变换，设 Lx(t) X(s),Lf(t) LA (t) A,并考虑到初始条件,则得如果记02 k,有X(s) m由拉普拉斯变换函数表 L1=2 sin

14、 t,可知L1二-2 -sin 0t.ss 00A对万程两边同时取反演，从而万程的解为x(t) sin 0tm 0可见，在冲击力作用下，运动为一正弦振动，振幅是 上，角频率是0,称0为该系统的自然m 0频率(或称固有频率)。3.4 常微分方程组例：求解三维常微分方程组一xxyz0,xyyz0,x(0)1,y(0) z(0) x(0) y(0)z(0) 0 2x y z z 0,解：设X(s) Lx(t), Y(s) Ly(t), Z(s) Lz(t),对方程组的两个方程两边分别取拉普拉斯变换并结合初始条件，有解该方程组，整理展开成部分分式，有取其逆变换，可得原方程组的解3.5 拉普拉斯变换在求

15、解非齐次微分方程特解中的应用形如yaiy(n1)a04 ay f (x)的方程称为n阶常系数非齐次线性微分方程，这里ai, a2, ,an1,an为常数，f(x)为连续函数。我们平时用到的f(x)主要有三种形式：f (x) e x,f(x) e xp(x)(其中 p(x) rx p2x2 Lpnxn),f (x) sin x、f (x) cos x6.该非齐次微分方程的解即该非齐次微分方程的特解与对应的齐次微分方程的通解。对于该方程的通解可用多种方法求特解，如：比较系数法、常数变易法、算子法等。下面将用拉普拉斯变换法 求解该方程的特解。设Y(s) Ly(t), F(s)Lf(x),为求特解令初

16、始条件为零，对方程两边同时取拉普拉斯变换，得到Y(s)-Js),下面结合f(x)的三种形式分别作介绍sasan 1 s an(D f(x) ex此时，Y(s)1nx/ n_ n 1一一(s)(sasan iS an)Bsn 1 Csn 2Dn nn 1、(s asan iS an) .A对其进行部分分式分解，令Y(s)s则该齐次微分方程特解的形式与自由项 f(x)有关，也就是说与变换项 有关；对应的齐次微分BQn 1 CQn 2 D方程的通解由“ e -决定，只要该项分母中不含有特解因子S ,则特解只取nn 1(s asan iS an)决于7。 snn 1右 sasan iS an0,1an

17、 1s an)s .对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为y (t) L1Y (s).例：求解常系数线性齐次方程 v y e2x的特解。1则A (s )Y(x) (Sn a1sn1an1s an)即相应的拉普拉斯变换特解为Y (x) n n 1s (sa1s解：设Y(s) Ly(t),令初始条件为零,对方程两边同时取拉普拉斯变换，有(s21 s)Y(s) s 2整理展开成部分分式，有Y(s)_2(s 2)(s s)Bs C-2s s此时(s2 s)|s2 0，则n mn m 1b1sbn m)0,对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为若 snasn1an iS an s (

18、s)m s (sDbn m)n m 1 n m 2A B s C s令 Y(s) m 1n mn m 1(s ) (sb1s同理，相应的拉普拉斯变换特解为例：求解常系数线性齐次方程y5y8y 4ye2x的特解。解：设Y(s) Ly(t),令初始条件为零,对方程两边同时取拉普拉斯变换，有(32s 5s 8s4)Y(s)则 Y(s)_ 2(s 2)(s 2) (s 1)1此时s35s2 8s 4s 2 QII令 Y(s)AAsB3(s 2)(s1)则相应的拉普拉斯变换特解为- n PnX ).对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为(2) f (x) e Xp(x)(其中 p(x) PiX

19、 P2X2例：求微分方程y 5y 6y xe2加特解。解：设Y(s) Ly(t),令初始条件为零,(s对方程两边同时取拉普拉斯变换，有(s2 5s 6)Y(s)则 Y(s)1(s 2)2(s2 5s 6)(s2)2(s 2)(s 3)此时s25s 6s 2 0,令 Y(s)As B Cs D(s 2)2 s2 5s 6相应的拉普拉斯变换特解为Y(s)As B 1 (s 2)2 (s 2)21 ss-2(s1(s 2)3 ,对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为(3) f (x) sin x、f (x) cos x例：求解微分方程y 4y 5y sin2x的特解7。解：设Y(s) Ly

20、(t),令初始条件为零,对方程两边同时取拉普拉斯变换，有(s24s 5)Y(s)令 Y(s) 曾 JCs-, s 4 s 4s 5相应的拉普拉斯变换特解为y (s)As Bs2 42(4s 1)65(s2 4)1一 (865ss24对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广对于n阶常系数线性齐次微分方程y(n) a1y(n1)an iyany0满足以下两个引理网:引理1 n阶常系数线性齐次方程的解(积分曲线)具有平移不变性。也就是说，若 y=y(x)为n阶常系数线性齐次方程的一个解，则对任意的常数c, y y(x c)也是 n阶常系数线性齐次方

21、程的y( x, Xo, y)经平移后变为py qy ry 0满足在任解。引理2若y y(x,x0,y。)为n阶常系数线性齐次方程的一个解，y y y(x xoOy。),则y y(x x0,0,y)也是n阶常系数线性齐次方程的解。卜面给出利用拉普拉斯变换方法求解三阶常系数线性齐次方程y意点的初始条件1 2丘Ey(%) %)(%) %,yd) y()的斛。0点，于设方程的解为y y(x,x0,y0)y(x X0Q y0),这样，我们便将初值点平移到了 x是可用如下的拉普拉斯变换方法求解该初值问题。令 y(t) y(x Xo，0, y0)(其中 t x %),设Y(s) Ly(t),对方程两边同时取

22、拉普拉斯变换，得到 Lypy qy ry 0,由拉普拉斯变换的导数性质Lf(t) sF(s) f(0)以及高阶导数推广 Lfn(t) snF(s) sn s_. ,1 sL 2 s 2 cos t,可知 L f(0) sn2f(0)sf(n2)(0) f(n1)(0)可得,结合初始条件，有整理可得 Y(s) -21(s22 ss 1 11L -2sin t,可知 L s 1对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为y(t) L 1Y(s) cost sint.变量还原，得到原初值问题的解为4拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用4.1齐次与非齐次偏微分方程例：求解齐次偏微分方程 ps q)y (s

23、 p)y01 y。21s ps qs r对上式两边同时取拉普拉斯逆变换，可得进行变量还原，便得到所求初值问题的解为例：求解二阶常系数线性齐次方程y y 0,该方程满足初始条件y(-) i,y(-)1网解：首先转化初值条件 y y(x, ,1) y(x ,0,1)y(t)(其中t x 一444设Y(s) Ly(t),对方程两边同时取拉普拉斯变换，得到Lyy 0,即s2Y(s) s 1 Y(s) 0.整理成部分分式，有Y(s)s 1s2 1s 122s21s21由拉普拉斯变换函数表由拉普拉斯变换函数表cost,sint,2 u 2x y,(x 0, y ), x yU y 0X2,u x 03y.

24、2解：对该定解问题关于y取拉普拉斯变换，并利用微分性质及初始条件可得这样，原定解问题转化为含参数 s的一阶常系数线性非齐次微分方程的边值问题:方程sdU dx22x勺可转化为sdU 八s 2xdx解此微分方程，可得其通解为U3 x 3s32c,其中c为常数。s为了确定常数c,将边界条件U|x0 乌代入上式，可得C s32&所以，U(x,s) 4.3s3 s s2由拉普拉斯变换函数表L1l 1,可知L1士x2.ss11 V3V3 _1 Q由拉普拉斯变换函数表L 点tn,可知L、 土 y2,L 3y.132s3s 2s方程两边取反演，从而原定解问题的解为例：求解非齐次偏微分方程22-2- a2U

25、g,(g为常数)，(x 0,t0),txu|t 00, 0,t t 0u 0. x 02解：对该问题关于t取拉普拉斯变换，并利用微分性质及初始条件可得这样，原定解问题转化为含参数 s的二阶常系数线性非齐次微分方程的边值问题:卡产d2U万程一7dx2工s2U a-12可转化为 a sd2U dx212s2U_1 ga2 s解此微分方程，可得其通解为U(x,s)sx_ _ a一 一cec?es -x a3,其中q,c2为常数。 s为了确定常数g，C2,将边界条件U|x0 0,limU0代入上式,s可得Cl0, C2所以，U(x,s) ,(13ss _x a )旦-3 sX9e as3 e s由拉普

26、拉斯变换函数表lIE1 s由拉普拉斯变换函数表L1R stn可知L129t2, 3 .s 2tn,并结合延迟定理L 1e st0F(s)f(t to)，解：对该定解问题关于t取拉普拉斯变换，记X可知L号,/(t?.方程两边取反演，从而原定解问题的解为(或)4.2有界与无界问题例：求解有界偏微分方程22u 2 Ua -,(o X l,t 0), txU x 00,U x I (t),uu|to 0，0.t t 0这样，原定解问题转化为含参数 s的二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题:d2Udx2Ux02、U a0,U0,(s).该方程的通解为U (x, s)s一X Geas-XC2e a ,其中

27、g,C2是常数。为确定常数G,C2 ,将边界条件U|X0 0,代入上式，可得c1C20,即CiC2；将边界条件U-I(s)代入上式，可得(s)Ciea-ic2e a因此GQ eal(s)si e a从而为了求U (x, s)的拉普拉斯逆变换，注意到分母为14ls4Ie a ,所以逆变换u(x,t)是周期为一的关于1的 a周期函数。根据周期函数的拉普拉斯变换式，其中雪广表明(t)是以冬为周期的周期函数，即 sa1 e a由拉普拉斯变换函数表L11(S)4l ， e并结合延迟定理L1e st0F(s)f(t ”l x可知 L1(s4le -s(t 3)u(t 3).saa1 e a同理可知方程两边

28、取反演，从而原定解问题的解为其中u(a)为单位阶跃函数,即 u(a)0,a 0,1,a 0.例：求解无界偏微分方程2a2 hu,(h为常数)，(x 0,t 0), t xu x 0 U0(常数)，Ut0 0.2解：对该问题关于t取拉普拉斯变换，记 这样，原定界问题转化为含参数 s的二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题:解此微分方程可得通解为，.:s hxU (x, s)c1e a_2xc2e a ，其中。32为常数。为确定常数q, 02,将边界条件Ui。甄代入上式，可得ci C2出;x 0ss将边界条件lim U0代入上式，可得G 0.x因此，c2 -0 .ss h所以，U (x, s) u0

29、ekx.ss h从而 U(x,t) L1U(x,s) LlueX, s由拉普拉斯变换函数表L1。 1,可知L1曳u。ss由拉普拉斯变换函数表erfc-2= Ae 2d , 211可知L 1 e serfc(x)22a .t) .2x e d2a t如果令Mt)x2a t2e d ,显然 f(0) 0,由导数性质ILf(t) sF(s)/ x . s f(0)可知 f (t) L1s 1ea ,sx _ s 亦即L1e a f (t)x() e 2a tddtx2x e砧2at t由位移性质Letf(t)F(s ),可知L1es h xa 2at t ex24alihtex2x ht)x e “

30、a2at. t由卷积定理Lfi(t)if2(t)Fi(s)F2(s)，可得U(x,t)J_lx a ,1 r U01L L e sx2a .、,最后可得该定解问题的解为5综合比较，归纳总结从以上的例题可以看出，用拉普拉斯变换方法求解微分方程有如下的优缺点113:拉普拉斯变换对像函数要求比傅里叶变换弱，其使用面更宽。但拉普拉斯变换像其他变换一 样都有其局限性，只有满足其存在定理时才可以使用拉普拉斯变换。而在微分方程的一般解法中， 并没有任何限制；用拉普拉斯变换方法求解微分方程，由于同时考虑初始条件，求出的结果便是需要的特解。而微分方程的一般解法中，先求通解，再考虑初始条件确定任意常数，从而求出特

31、解的过程比较复 杂；零初始条件、零边界条件使得拉普拉斯变换方法求解微分方程更加简单。而在微分方程的一般解法中，不会因此而有任何简化；用拉普拉斯变换求解微分方程，对于自变量是零的初始条件，求其特解是非常方便的。但微 分方程的一般解法并没有简化；用拉普拉斯变换方法求解微分方程， 对方程的系数可变与否、对区域有界与否、对方程和边 界条件齐次与否并无特殊关系。而在微分方程的一般解法中，会遇到很多困难；用拉普拉斯变换方法求解微分方程组， 可以在不知道其余未知函数的情况下单独求出某一个未知函数。但在微分方程的一般解法中通常是不可能的；拉普拉斯变换可以使解n 个自变量偏微分方程的问题， 转化为解 n 1 个

32、自变量的微分方程的问题，逐次使用拉普拉斯变换，自变量会逐个减少，有时还可将解n个自变量偏微分方程的问题最终转化为解一个常微分方程的问题，比微分方程的一般解法更为简单、直接；比较系数法和常数变易法只需进行代数运算和积分运算， 要求相对较低。 相比之下， 算子法要先将方程化为算子形式然后利用算子的性质进行分解， 对初学者而言要求相对较高， 然而算子法却具备比较系数法和常数变易法无法具备的应用条件，有适应面广、计算量小、 准确度高、简单易行的特点。结束语通过列举拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用， 可以看出拉普拉斯变换是一种特别成功的数学方法，求解微分方程的步骤比较明确、规律性比较强、思路清晰且容易

33、掌握。灵活使用拉普拉斯变换，可以巧妙地推出一些复杂问题的答案，便于学生理解进而提高教学质量。参考文献1 李高翔 . 拉普拉斯变换在微分方程组求解中的应用 J . 高等函授学报 ,2009 ， 22(3):22-24.2 张元林 . 工程数学积分变换(第四版) M. 北京 :高等教育出版社 ,2003 ： 68-138.3 梁昆淼 . 数学物理方法 (第三版 )M. 北京 :高等教育出版社 ,1998 ： 120-121.4 黄会芸 . 拉普拉斯变换在高等数学中的应用 J. 潍坊教育学院学报 ,2009,22(4):44-45.5 全生寅 . 论解 N 阶常微分方程的 Laplace 变换法 J

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35、. 拉普拉斯变换及其应用 J. 雁北师范学院学报,2001(6):48-49.12 谢小 良 .基 于 Laplace 变 换 下 微分 方 程 的 解 法 及 应 用 J.湖 南 城 市 学 院 学 报 ( 自 然 科学) .2003,24(3).85-86.13 杨芳 , 吴小欢 .n 阶常系数非齐次线性微分方程特解的求解方法 J. 广西师范学院学报,2009(04):97-100.Application of Laplace Transformto General Solutions of Differential EquationsDepartment of Physics 0801

36、Student Yanlin YueTutor Xinhua HanAbstract: Through to the Laplace transform in solving ordinary differential equation, the typical application of partial differential equation, for example, comprehensive comparison, summarizes the Laplace transform in solving differential equations and the advantag

37、e of the limitations.Key words: Laplace transform; Laplace inverse transform; ordinary differential equation; partial differential equation; particular integral 致谢感谢我的导师韩新华老师，她渊博的专业知识， 言谨的治学态度，精益求精的工作作风， 诲人不倦的高尚师德， 严以律己、 宽以待人的崇高风范， 朴实无华、 平易近人的人格魅力对我影响深远。不仅使我树立了远大的学术目标、 掌握了基本的研究方法， 还使我明白了许多待人接物与为人处事 的道理。本论文从选题到完成，每一步都是在导师的细心指导下完成的，倾注了导师大量的心血。在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！在论文即将完成之际，我的心情无法平静， 本论文 顺利完成，还有许多可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！32(s 2)(s3 5s2 8s 4)2