一元二次方程根与系数的关系题

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1、1、 一元二次方程的求根公式为2、 一元二次方程根的判别式为：（1） 当时,方程有两个不相等的实数根.（2） 当时,方程有两个相等的实数根.（3） 当时,方程没有实数根.反之：方程有两个不相等的实数根,则；方程有两个相等的实数根,则；方程没有实数根,则.韦达定理相关知识1若一元二次方程有两个实数根,那么,.我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系,简称韦达定理.2、如果一元二次方程的两个根是,则,.3、以为根的一元二次方程二次项系数为1是4、在一元二次方程中,有一根为0,则；有一根为1,则；有一根为,则；若两根互为倒数,则；若两根互为相反数,则.5、二次三项式的因式分解 在分解二次三项式

2、的因式时,如果可用公式求出方程 的两个根,那么如果方程无根,则此二次三项式不能分解.基础运用例1：已知方程的一个根是1,则另一个根是,.变式训练：1、已知是方程的一个根,则另一根和的值分别是多少？2、方程的两个根都是整数,则的值是多少？例2：设是方程,的两个根,利用根与系数关系求下列各式的值：1 2 3 4变式训练：1、 已知关于的方程有实数根,求满足下列条件的值：1有两个实数根. 2有两个正实数根. 3有一个正数根和一个负数根. 4两个根都小于2.2、已知关于的方程.1求证：方程必有两个不相等的实数根.2取何值时,方程有两个正根.3取何值时,方程有两异号根,且负根绝对值较大.4取何值时,方程

3、到少有一根为零？选用例题：例3：已知方程的两根之比为1：2,判别式的值为1,则是多少？例4、已知关于的方程有两个实数根,并且这两个根的平方和比两个根的积大16,求的值.例5、若方程与有一个根相同,求的值.基础训练：1关于的方程中,如果,那么根的情况是A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C没有实数根D不能确定2设是方程的两根,则的值是A15 B12 C6 D33下列方程中,有两个相等的实数根的是（A） 2y2+5=6yBx2+5=2xCx2x+2=0D3x22x+1=04以方程x22x30的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（A） y2+5y6=0 By2+5y6=0 Cy25y6=0

4、Dy25y6=05如果x1,x2是两个不相等实数,且满足x122x11,x222x21,那么x1x2等于A2 B2 C1 D16.关于x的方程ax22x10中,如果a0,那么根的情况是A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C没有实数根D不能确定7.设x1,x2是方程2x26x30的两根,则x12x22的值是A15 B12 C6 D38如果一元二次方程x24xk20有两个相等的实数根,那么k9如果关于x的方程2x2x2 k210有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是10已知x1,x2是方程2x27x40的两根,则x1x2,x1x2,x1x2211若关于x的方程x2x10的两个根互为倒数,则

5、m.二、能力训练：1、 不解方程,判别下列方程根的情况：1x2x=5 9x26+2=0 x2x+2=02、 当m=时,方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m=时,方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、 已知关于x的方程10x2x+m7=0,若有一个根为0,则m=, 这时方程的另一个根是；若两根之和为,则m=,这时方程的 两个根为.4、 已知3是方程x2+mx+7=0的一个根,求另一个根与m的值.5、 求证：方程x22mx+=0没有实数根.6、 求作一个一元二次方程使它的两根分别是1和1+.7、 设x1,x2是方程2x2+4x3=0的两根,利用根与系数关系求下列各式的值： +

6、 3x12+ x1x2+2 x18、如果x22x+m2+5是一个完全平方式,则m=;9、方程2x=x26没有实数根,则最小的整数m=;10、已知方程2=x两根的和与两根的积相等,则m=;11、设关于x的方程x26x+k=0的两根是m和n,且3m+2n=20,则k值为;12、设方程4x27x+3=0的两根为x1,x2,不解方程,求下列各式的值: x12+x22 x1x234x1x22x113、实数、分别满足方程1929910和且199920求代数式的值.14、已知a是实数,且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程x2+2ax+1=0有无实根？15、求证：不论k为何实数,关于x的式

7、子k2都可以分解成两个一次因式的积.16、实数K在什么范围取值时,方程有实数正根？训练一1、 不解方程,请判别下列方程根的情况；2t2+3t4=0,; 16x2+9=24x,;57u=0,;2、 若方程x2x+m2+1=0有实数根,则m的取值范围是;3、 一元二次方程x2+px+q=0两个根分别是2+和2,则p=,q=;4、 已知方程3x219x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是,m=;5、 若方程x2+mx1=0的两个实数根互为相反数,那么m的值是;6、 m,n是关于x 的方程x2-x+m2+1=0的两个实数根,则代数式 mn=.7、 已知关于x的方程x2x+k+2=0的两根的平方和等

8、于6,求k的值;8、 如果和是方程2x2+3x1=0的两个根,利用根与系数关系,求作一个一 元二次方程,使它的两个根分别等于+和+;9、 已知a,b,c是三角形的三边长,且方程x2+2x+3=0有两个相 等的实数根,求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时,二次三项式2x2x+2k21可因式分解.11.已知关于X的一元二次方程222310的两实数根为,若,求的取值范围.训练二1、 已知方程x23x+1=0的两个根为,则+=, =;2、 如果关于x的方程x24x+m=0与x2x2m=0有一个根相同,则m的值为;3、 已知方程2x23x+k=0的两根之差为2,则k=;4、 若方程x2+x3=0

9、的两根是1和3,则a=;5、 方程4x22xab=0的根的判别式的值是;6、 若关于x的方程x2+2x+4m2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m的值为;7、 已知p0,q0,则一元二次方程x2+px+q=0的根的情况是;8、 以方程x23x1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是;9、 设x1,x2是方程2x26x+3=0的两个根,求下列各式的值：x12x2+x1x22 10m取什么值时,方程2x2x+2m21=0（1） 有两个不相等的实数根,2有两个相等的实数根,3没有实数根；11设方程x2+px+q=0两根之比为1:2,根的判别式=1,求p,q的值.12是否存在实数,使关于的方程

10、的两个实根,满足,如果存在,试求出所有满足条件的的值,如果不存在,请说明理由.一元二次方程根与系数关系专题训练主编：闫老师1、如果方程ax2+bx+c=0的两根是x1、x2,那么x1+x2=,x1x2=.2、已知x1、x2是方程2x2+3x4=0的两个根,那么：x1+x2=；x1x2=；x21+x22=；=；x1x2=.3、以2和3为根的一元二次方程是.4、如果关于x的一元二次方程x2+x+a=0的一个根是1,那么另一个根是,a的值为.5、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2,那么k=.6、已知方程2x2+mx4=0两根的绝对值相等,则m=.7、一元二次方程px2+qx+r=0的两根

11、为0和1,则qp=.8、已知方程x2mx+2=0的两根互为相反数,则m=.9、已知关于x的一元二次方程x2x+1=0两根互为倒数,则a=.10、已知关于x的一元二次方程mx24x6=0的两根为x1和x2,且x1+x2=2,则m=,=.11、已知方程3x2+x1=0,要使方程两根的平方和为,那么常数项应改为.12、已知一元二次方程的两根之和为5,两根之积为6,则这个方程为.13、若、为实数且+3+2=0,则以、为根的一元二次方程为.14、已知关于x的一元二次方程x22x+m2=0.若方程的两根互为倒数,则m=；若方程两根之和与两根积互为相反数,则m=.15、已知方程x2+4x2m=0的一个根比另

12、一个根小4,则=；=；m=.16、已知关于x的方程x23x+k=0的两根立方和为0,则k=17、已知关于x的方程x23mx+2=0的两根为x1、x2,且,则m= .18、关于x的方程2x23x+m=0,当时,方程有两个正数根；当m时,方程有一个正根,一个负根；当m时,方程有一个根为0.19、若方程x24x+m=0与x2x2m=0有一个根相同,则m=.20、求作一个方程,使它的两根分别是方程x2+3x2=0两根的二倍,则所求的方程为.21、一元二次方程2x23x+1=0的两根与x23x+2=0的两根之间的关系是.22、已知方程5x2+mx10=0的一根是5,求方程的另一根与m的值.23、已知2+

13、是x24x+k=0的一根,求另一根和k的值.24、证明：如果有理系数方程x2+px+q=0有一个根是形如A+的无理数,那么另一个根必是A.25、不解方程,判断下列方程根的符号,如果两根异号,试确定是正根还是负根的绝对值大?26、已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：x31x2+x1x3227、已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：28、已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：229、已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：x

14、1x230、已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：31、已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：x51x22+x21x5232、求一个一元二次方程,使它的两个根是2+和2.33、已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数. 34、造一个方程,使它的根是方程3x27x+2=0的根；大3；2倍；相反数；倒数.35、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时,方程的两个实数根满足：一个根比另一个根大2；一个根是另一个根的3倍；两根差的平方是17.36、已知关于x的方程2x2x+m+1=0的两根满足关系式x1x2=1

15、,求m的值与两个根.37、是关于x的方程4x24mx+m2+4m=0的两个实根,并且满足,求m的值.38、已知一元二次方程8x2x+m7=0,根据下列条件,分别求出m的值：两根互为倒数；两根互为相反数；有一根为零；有一根为1；两根的平方和为.39、已知方程x2+mx+4=0和x2x16=0有一个相同的根,求m的值与这个相同的根. 40、已知关于x的二次方程x22x+a25=0有实数根,且两根之积等于两根之和的2倍,求a的值.41、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根,两根之差等于3,两根的平方和等于29,求b、c的值.42、设：3a26a11=0,3b26b11=0且ab,求a4b4

16、的值.43、试确定使x2+x+a=0的根同时为整数的整数a的值.44、已知一元二次方程x2+4kx+2k5=0,且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长,求：当k取何整数时,方程有两个整数根.45、已知：、是关于x的方程x2+x+1=0的两根,求的值.46、已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根,x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根,求常数p、q的值.47、已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根；y1、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根,且x1y1=2,x2y2=2,求m、n的值.48、关于x的方程m2x2+x+1=0有两

17、个乘积为1的实根,x2+2x+2am2+6m4=0有大于0且小于2的根.求a的整数值.49、关于x的一元二次方程3x2x+m=0的两实根之和等于两个实根的倒数和,求m的值.50、已知：、是关于x的二次方程：x2+2x+m4=0的两个不等实根.若m为正整数时,求此方程两个实根的平方和的值；若2+2=6时,求m的值.51、已知关于x的方程mx2nx+2=0两根相等,方程x24mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍.求证：方程x2x+=0一定有实数根.52、关于x的方程=0,其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长.求证：这个方程有两个不相等的实根；若方程两实根之差的绝对值是8,等腰三角形的面积

18、是12,求这个三角形的周长.53、已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根x1和x2,在数轴上,表示x2的点在表示x1的点的右边,且相距p+1,求p的值.54、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为、,且两个关于x的方程x2+x+2=0与x2+x+2=0有唯一的公共根,求a、b、c的关系式.55、如果关于x的实系数一元二次方程x2+2x+m2+3=0有两个实数根、,那么2+2的最小值是多少?56、已知方程2x25mx+3n=0的两根之比为23,方程x22nx+8m=0的两根相等.求证：对任意实数k,方程mx2+x+k+1=0恒有实数根.57、方程x23x+m=0的一

19、个根是,则另一个根是.若关于y的方程y2my+n=0的两个根中只有一个根为0,那么m,n应满足.58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积x2+3x+1=0；59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积3x22x1=0；60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积2x2+3=0；61、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积2x2+5x=0.62、已知关于x的方程2x2+5x=m的一个根是2,求它的另一个根与m的值.63、已知关于x的方程3x21=tx的一个根是2,求它的另一个根与t的值.64、设x1,x2是方程3x22x2=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：；x

20、13x24+x14x23；x13+x23.65、设x1,x2是方程2x24x+1=0的两个根,求x1x2的值.66、已知方程x2+mx+12=0的两实根是x1和x2,方程x2mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7,求m和n的值.67、以2,3为根的一元二次方程是 A.x2+x+6=0 B.x2+x6=0C.x2x+6=0 D.x2x6=068、以3,1为根,且二次项系数为3的一元二次方程是 A.3x22x+3=0 B.3x2+2x3=0C.3x26x9=0 D.3x2+6x9=069、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是 A.x2+2x3=0 B.x22x+3=0C.x2+2x+3=0 D

21、.x22x3=070、以3,2为根的一元二次方程为,以,为根的一元二次方程为,以5,5为根的一元二次方程为,以4,为根的一元二次方程为.71、已知两数之和为7,两数之积为12,求这两个数.72、已知方程2x23x3=0的两个根分别为a,b,利用根与系数的关系,求一个一元二次方程,使它的两个根分别是：a+1.b+173、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm,面积为cm2,求这个直角三角形斜边的长.74、在解方程x2+px+q=0时,小张看错了p,解得方程的根为1与3；小王看错了q,解得方程的根为4与2.这个方程的根应该是什么?75、关于x的方程x2ax3=0有一个根是1,则a=,另一个根是.

22、76、若分式的值为0,则x的值为 A.1 B.3 C.1或3 D.3或177、若关于y的一元二次方程y2+my+n=0的两个实数根互为相反数,则 A.m=0且n0 B.n=0且m0C.m=0且n0 D.n=0且m078、已知x1,x2是方程2x2+3x1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：；x13x2+x1x23.79、已知a2=1a,b2=1b,且ab,求的值.80、如果x=1是方程2x23mx+1=0的一个根,则m=,另一个根为.81、已知m2+m4=0,m,n为实数,且,则=.82、两根为3和5的一元二次方程是 A.x22x15=0 B.x22x+15=0C.x2+2x15

23、=0 D.x2+2x+15=083、.设x1,x2是方程2x22x1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：；2.84、.已知m,n是一元二次方程x22x5=0的两个实数根,求2m2+3n2+2m的值.85、已知方程x2+5x7=0,不解方程,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程的两个根的负倒数.86、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之比为21,求证：2b2=9ac.87、.已知关于x的一元二次方程x2+mx+12=0的两根之差为11,求m的值.88、已知关于y的方程y22ay2a4=0.证明：不论a取何值,这个方程总有两个不相等的实数根；a为何值时,方

24、程的两根之差的平方等于16?89、已知一元二次方程x210x+21+a=0.当a为何值时,方程有一正、一负两个根?此方程会有两个负根吗?为什么?90、已知关于x的方程x2x+4=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长,求这个直角三角形的面积.91、已知方程x2+ax+b=0的两根为x1,x2,且4x1+x2=0,又知根的判别式=25,求a,b 的值.92、已知一元二次方程8y2y+m5=0.m为何值时,方程的一个根为零?m为何值时,方程的两个根互为相反数?证明：不存在实数m,使方程的两个相互为倒数.93、当m为何值时,方程3x2+2x+m8=0：有两个大于2的根?有一个根大于2,另一个根小于2?94、已知2s2+4s7=0,7t24t2=0,s,t为实数,且st1.求下列各式的值：；;.95、已知x1,x2是一元二次方程x2+x+n=0的两个实数根,且x12+x22+2=3,求m和n的值.13 / 13