第二章_系统的数学模型

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1、 . 第二章 系统的数学模型23图中三图分别表示三个机械系统。求出他们各自的微分方程，图中xi表示输入位移，xo表示输出位移，假设输出端无负载效应。解：1、对图a所示系统，有牛顿定律有c1(i-0)-c20=m0即m0+(c1-c2)0=c1i2、对图b所示系统，引入一中间变量x，并有牛顿定律有(xi-x)k1=c(-0)c(-0)=k2x0消除中间变量有c(k1+k2)0+k1k2x0=ck1i3、对图c所示系统，有牛顿定律有 c(i-0)+ k1 (xi-x)= k2x0即c0+(k1+k2)x0=ci+ k1xi2.4求出图2.4所示电网络图的微分方程。解：1对图a所示系统，设为流过的电

2、流，i为总电流，那么有消除中间变量，并化简有2对图b所示系统，设i为电流，那么有消除中间变量，并化简有2.5 求图2.5所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩，Cm为圆周阻尼，J为转动惯量。解：设系统输入为M即Mt，输出为即t，分别对圆盘和质块进展动力学分析，列写动力学方程如下：图 2.5 M=JCmRk(Rx) (1)K(Rx)=mc (2)消除中间变量x，即可得到系统动力学方程mJ4mCmcJ(R2kmCmCkJ)k(cR2Cm)=mck2.6 系统的动力学方程如下,试写出它们的传递函数Y(s)/R(s) (a)+15+50+500y=+2r(b) 5+25=0.5(c) +25y=0.

3、5r(d) +3+6y+4=4r解: 根据传递函数的定义, 求系统的传递函数, 只需将其动力方程两边分别在零初始条件进展拉式变换, 然后求Y(s)/R(s).(a) Y(s) + 15Y(s) + 50sY(s) + 500 Y(s)=R(s) + 2R(s) Y(s)/R(s) =(b) 5Y(s) + 25sY(s) = 0.5sR(s)Y(s)/R(s)=(c) Y(s) + 25Y(s) = 0.5R(s)Y(s)/R(s)= (d) Y(s) + 3sY(s) + 6 Y(s) + 4Y(s) = 4R(s) Y(s)/R(s)= 2.7 假设某线性定常系统在单位阶跃输入作用下，其输

4、出为y(t)=1。试求系统的传递函数。解：由传递函数的定义有=Y(s) =Y(s)/=2.8 输出yt与输入xt的关系为yt=2xt+0.5x3t a求当工作点分别为x0=0,x0=1,x0=2时相应的稳态输出值。 b在这些工作点处作小偏差线性化的模型，并以对工作点的偏差来定义x和y，写出新的线性化模型。解：a将x0=0, x0=1, x0=2分别代入y(t)=2x(t)+0.5x3(t)中，即得当工作点为x0=0,x0=1,x0=2时相应的稳态输出值分别为y0=0,y0=2.5,y0=8 (b) 根据非线性系统线性化的方法有，在工作点x0,y0附近,将非线性函数展开成泰勒级数，并略去高阶项得

5、 Y0+y=2x0+0.5x03+(2+1.5x2)x=x0xy=2+1.5x2x=x0x假设令x=x,y=y有 y=2+1.5x02x 当工作点为x0=0时,y=2+1.5x02x=2x 当工作点为x0=1时,y=2+1.5x02x=3.5x 当工作点为x0=2时,y=2+1.5x02x=8x2.9 滑阀节流口流量方程式,，式中，Q为通过节流阀流口的流量；P为节流阀流口的前后油压差；为节流阀的位移量；为流量系数；为节流口面积梯度；为油密度。试以Q与P为变量即将Q作为P的函数将节流阀流量方程线性化。 解：利用小偏差线性化的概念，将函数在预定工作点处按泰勒级数展开为：=+ 消除高阶项，有：=+

6、=+- =+ 假设令，那么有： 假设上式改写为增量方程的形式为：2.10试分析当反应环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)分别为惯性环节，微分环节，积分环节时，输入、输出的闭环传递函数。解：由于惯性环节、微分环节，积分环节的传递函数分别是G(s)=，而闭环传递函数为G(s)=Ts，G(s)=，而闭环函数为GBs=，那么（1） 当反应环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为惯性环节时， GBs= 2当反应环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为微分环节时， GBs=3当反应环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为积分环节时，GBs= =2.11证明图题2.11与图题2.4a所示系

7、统是相似系统即证明两系统的传递函数具有一样的形式。解：对题2.4a系统，可列出相应的方程。对以上三式分别做Laplace变换，并注意到初始条件为零，即那么，得，得，得即 那么 将4式中的带入9式再用4式与上式相比消去，即得电系统的传递函数为而此题中，引入中间变量，依动力学知识有对上二式分别进展拉氏变换有消除有比拟两系统的传递函数有2.12求图所示两系统的传递函数。解：1由图a中系统，可得动力学方程为 (xi(t)-xo(t)k=mo(t)+c(t)作Laplace变换，得Xi(s)-Xo(t)k=ms2Xo(s)+ csXo (s)那么有Gs= Xo (s)/ Xi(s)=k/( ms2+cs

8、+k)(2) 由图b中系统,设i为电网络的电流，可得方程为ui=Ri+L+uo=作Laplace变换，得 Ui(s)=RI(s)+LsI(s)+ I(s) Uo(s)= I(s)消除中间变量有 Gs= Uo(s)/ Ui(s)=2.13求图题2、13所示系统的传递函数。解：分别对m1,m2进展受力分析，列写其动力学方程有fC2C1(21)m22 C1(21) ky1m11对上两式分别进展Laplace变换有FsC2sY2(s)C1sY2(s)Y1(s)m2S2Y2(s)C1sY2(s)Y1(s)k Y1(s) m1S2Y1(s) 消除、两式中的Y1(s)得2.14假设系统传递函数方框图如下图，

9、求：1以Rs为输入，Ns=0时，分别以Cs，Ys，Bs，Es为输出的闭环传递函数。2以Ns为输入，Rs=0时，分别以Cs，Ys，Bs，Es为输出的闭环传递函数。3比拟以上各传递函数的分母，从中可以得出什么结论。解：1以Rs为输入，当Ns=0时：假设以Cs为输出，有 GCs=假设以Ys为输出，有 GYs=假设以Bs为输出，有 GBs=假设以Es为输出，有 GEs=(2) 以Ns为输入，当Rs=0时：假设以Cs为输出，有 GCs=假设以Ys为输出，有 GYs=假设以Bs为输出，有 GBs=假设以Es为输出，有 GEs=(3)从上可知：对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递函数不同，

10、反应回路的传递函数不同，系统的传递函数也不同，但系统的传递函数的分母保持不变，这是因为这一分母反映了系统的固有特性，而与外界无关。2.15 某系统的传递函数方框如下图，其中，(s)为输入，(s)为输出，N(s)为干扰，试求，G(s)为何值时，系统可以消除干扰的影响。解：根据线性系统的叠加原理。令(s)=0，N(s)为输入，系统输出为：(s)=N(s)G(s)(S)N(s)(S)其中，(S)=(s)=2.16求出图所示系统的传递函数Xos/Xis 解 利用公式得2.17求出下列图所示系统的传递函数Xos/ Xi (s).解：由方框图简化规那么，画图2.18求出下列图所示系统的传递函数Xos/ Xi (s).解：由方框图简化规那么，画图14 / 14