与轴对称相关的线段之和最短问题

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1、与轴对称相关的线段之和最短问题.问题的引入:在学习了作轴对称图形之后，人教版八年级上册P42,有这样一个问题5 / 27如圈人 提在熄耗管遭上楼建一牛果站分肅A* B 两慎供泵站的件么处才你可减柱f上找几个点试一试能笈现什么规律？ it! t在这个问题中，利用轴对称，将折线转化为直线，再根据“两点之间线段最短”，“垂线 段最短”，等相关的知识，得到最短线段，这一类问题也是当今中考的热点题型。通常会 以：直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为载体。本 文试图对这一类问题进行分类，在每一类中有若干题型，且给出了基本的解答。若掌握了 下面列举的题型，让学生能够明白与轴对称

2、相关的线段之和最短问题在这些载体中的表现 形式，则能收到举一反三，事倍功半的效果。二.数学模型：1如图，直线I和I的异侧两点A、B,在直线AI上求作一点 P,使PA+PB最小。B2如图，直线I和I的同侧两点A、B,在直线I上求作一点P, 使 PA+PB 最小。3如图，点P是/ MON内的一点，分别在 0M , ON上作点A , B。使 PAB的周长最小为方便归类，将以上三种情况统称为两边之和大于第三边 型”4如图，点P，Q为/ MON内的两点，分别在 周长最小。0M , ON上作点A , B。使四边形 PAQB的为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”5如图，点A是/ MON外的一点，

3、在射线 ON上作点P,使PA与点P到射线0M的距离 之和最小6.如图，点A是/ MON内的一点，在射线 ON上作点P,使PA与点P到射线OM的距离 之和最小为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”三.两边之和大于第三边型(一)直线类1.如图，A、B两个小集镇在河流 CD的同侧，分别到河的距离为AC = 10千M , BD = 30千M，且CD = 30千M,现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千M3万，请你在河流 CD上选择水厂的位置 出总费用是多少？作点B关于直线 CD的对称点B，连接AB，交使铺设水管的费用最节省，并求CD于点M贝U AM+BM = AM+

4、BM = AB费用最小如右图，在直角厶 ABE中,，水厂建在M点时,DAE = AC+CE = 10+30 = 40EB = 30所以：AB = 50B总费用为：50X 3 = 150万2.如图，C为线段BD上一动点，分别过点 B D作AB丄BD ED BD,连接 AC EC。已知 AB=5 DE=1 BD=8 设 CD=x.用含x的代数式表示AC+ CE的长； 请问点C满足什么条件时，AC+ CE的值最小？ 根据 中的规律和结论，请构图求出代数式.x2+4+.(12-x)2+9的最小值FE(1)AC =(8-x) 2 + 25，CE = x2 + 1则 AC+CE = (8-x) 2 + 2

5、5+ x2 + 1A、C、E三点共线时AC+C撮小连接AE,交BD于点C,则AE就是AC+CE勺最小值 最小值是10(3)如右图，AE的长就是这个代数式的最小值在直角 AEF 中,AF = 5 EF = 12根据勾股定理AE = 133B12-x3. 求代数式.X + 1 + .(4-x) + 4 ( OW xW 4 )的最小值 如右图，AE的长就是这个代数式的最小值在直角 AEF中AF = 3 EF = 4贝U AE = 5所以，这个代数式的最小值是5（二）角类4. 两条公路 0A、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P,如在两条公路上各设置一个加油站，请你设计一个方案，把两个加油站

6、设在何处，可使运油车从油库出 发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短分析 这是一个实际问题，我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短，0A与0B相交，点P在/ AOB内部，通常我们会想到轴对称，分别做点P关于直线 0A和0B的对称点 R、P2，连结P1P2分别交0A、0B于C、D,C、D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点，那么是不是最短的呢？我们可以用三角形的三边关系进行说明解：分别做点 P关于直线 0A和0B的对称点 Pi、P2,连结P1P2分别交0A、0B于C、D ,则C、D就是建加油站的位置.若取异于C、D两点的点，则

7、由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短 点评：在这里没有详细说明为什么在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短，请同学们思考弄明 白。5. 如图/ A0B = 45 , P 是/ A0B 内一点，P0 =Q、P分别是OA、OB上的动点，求 PQR周长的最小值.分别作点P关于OA、OB的对称点Pi、P2,连接P1P2,交 OA、OB 于点 Q，R，连接 OPi, OP2,贝U OP = OPi = OP2 = 10且/ P1OP2 = 90 由勾股定理得P1P2 = 10 2（三）三角形类6. 如图，等腰 RtAABC的直角边长为2, E是斜边AB的中点，P是AC边上的

8、一动点,则PB+PE的最小值为即在AC上作一点 P,使PB+PE最小 作点B关于AC的对称点B，连接BE，交AC 于点 P,贝U BE = PB+PE = PB+PEBE的长就是PB+PE的最小值 在直角 BEF 中，EF = 1 , BF = 3 根据勾股定理，BE = 107. 如图，在 ABC中，AC = BC = 2,Z ACB = 90 , D是BC边的中点，E是AB边上一动点，贝U EC + ED的最小值为 。即是在直线 AB上作一点E,使EC+ED最小作点C关于直线AB的对称点C,连接DC交AB于点E, 则线段DC的长就是EC+ED的最小值。在直角 DBC中DB=1 , BC=2

9、，根据勾股定理可得，DC= 58. 等腰 ABC 中，/ A = 20 , AB = AC = 20 , M、N 分 别是AB、AC上的点，求BN+MN+MC 的最小值分别作点C、B关于AB、AC的对称点C B 连接C B 交 AB、AC 于点 M、N，贝U BN+MN+MC = B N+MN+MC =B C BN+MN+MC 的最小值就是 B C 的值/ BAC = / BAC，/ CAB = / CAB/ B AC = 60/ AC = AC , AB = AB , AC = AB AC = AB AB C是等边三角形 BC = 209. 如图，在等边厶 ABC中，AB = 6, AD丄B

10、C, E是AC上的一点，M是AD上的一点,且AE = 2，求EM+EC的最小值EHM因为点C关于直线 AD的对称点是点 B，所以连接 BE,交AD于点M，则ME+MD最 小，过点B作BH丄AC于点H ,则 EH = AH -AE = 3 -2 = 1 , BH = BC2 - CH2= 62 - 32= 3 3在直角 BHE 中，BE = BH2 + HE2= (3 3)2 + 12= 2 7（四）正方形类10. 如图，正方形 ABCD的边长为 8, M在DC上，且 DM = 2, N是AC上的一动点，DN + MN的最小值为。即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小 故作点D关于AC的对称点

11、B，连接BM , 交 AC 于点 N。贝U DN + MN= BN +MN=BM 线段EM的长就是 DN +MN的最小值 在直角 ABCM 中，CM=6,BC=8,则BM=10故DN +MN的最小值是1011. 如图所示，正方形 ABCD的面积为12,A ABE是等边三角形，点 E在正方形 ABCD 内，在对角线 AC上有一点P,使PD + PE的和最小，则这个最小值为（）A . 2 3B. 2 ,6C. 3D. 6BC即在AC上求一点P,使PE+PD的值最小点D关于直线AC的对称点是点 B，连接BE交AC于点P,贝U BE = PB+PE = PD+PE , BE的长就是 PD+PE的最小值

12、BE = AB = 2312. 在边长为 2 c血的正方形 ABCD中，点 Q为BC边的中BQC点，点P为对角线 AC上一动点，连接 PB、PQ,UA PBQ周长的 最小值为 cm （结果不取近似值）.即在AC上求一点P,使PB+PQ的值最小因为点B关于AC的对称点是 D点，所以连接 DQ，与AC的交点P就是满足条件的点DQ = PD+PQ = PB+PQ故DQ的长就是PB+PQ的最小值在直角 CDQ 中，CQ = 1 , CD = 2根据勾股定理，得，DQ =5 作点A关于BC的对称点 A，连接AD，交BC于点P 贝U AD = PA+PD = PA+PD13.如图，四边形ABCD是正方形，

13、AB = 10cm , E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；连接AE，交BD于点P,贝U AE就是PE+PC的最小值 在直角 ABE中，求得 AE的长为5 5（五）矩形类14.如图，若四边形 ABCD是矩形，AB = 10cm , BC = 20cm , E为边BC上的一个动点,P为BD上的一个动点，求 PC+PE的最小值； 作点C关于BD的对称点 C，过点C,作CB丄BC,交BD于点P,贝U CE就是PE+PC的最小值直角 BCD中，CH =未定义书签。直角 BCH 中，BH = 8 5 BCC的面积为：BH X CH = 160所以 CE X BC = 2 X 1

14、60 则 CE = 16（六）菱形类15.如图，若四边形 ABCD 是菱形， AB=10cm，/ ABC=45 , E为边BC上的一个动 点，P为BD上的一个动点，求 PC+PE的最小值；点C关于 BD的对称点是点 A，过点 A作AE丄 BC ,交BD于点P,贝U AE就是PE+PC的最小值 在等腰 EAB中，求得AE的长为5 2（七 ）直角梯形类16.已知直角梯形 ABCD中，AD /BC=DC=5，点P在BC上移动，则当APD中边AP上的高为（A、2j17B、-4 V17 C、 亘171717BC, AB 丄 BC,PA+PD取最小4177 / 27r tAAD的长就是 PA+PD的最小值

15、S APD = 4在直角 ABP 中，AB = 4 , BP = 1根据勾股定理，得 AP = 17所以AP上的高为：2 X 4 = 8 171717(八)圆类17.已知O O的直径CD为4，/ AOD的度数为60 点B是AD的中点，在直径 CD上找一点P,使BP+AP的值最小，并求 BP+AP的最小值. 即是在直线CD上作一点P,使PA+PB的值最小作点A关于CD的对称点 A，连接 AB，交CD于点 P,贝U AB的长就是PA+PB的最小值连接 OA, OB，则/ AOB=90 ,OA = OB = 4根据勾股定理，AB = 4218.如图，MN是半径为1的O O的直径，点 A在O O上，/

16、 AMN = 30 B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，贝U PA+ PB的最小值为()A 2 .2 B .2 C 1 D 2即在 MN上求一点 P,使PA+PB的值最小作点A关于MN的对称点 A，连接AB，交MN于点P,则点P就是所要作的点AB的长就是 PA+PB的最小值连接OA、OB，则 OAB是等腰直角三角形所以AB =2A(九)一次函数类佃.在平面直角坐标系中，有A ( 3, - 2),(4, 2)两点，现另取一点C ( 1 , n),当=时，AC + BC的值最小.点C (1, n),说明点 C在直线x=1上，所以作点 A关于直线x=1的对称点 A，连接AB，交直线x=1于点C,

17、则AC+BC的值最小设直线AB的解读式为y=kx+b，则-2=-k+b2=4k+b解得：k = (4/5) b = - (6/5)所以：y = (4/5)x-(6/5)当 x = 1 时，y = -(2/5)故当n = -(2/5)时，AC+BC的值最小20. 次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点 A (2, 0), B (0, 4).(1) 求该函数的解读式；(2) O为坐标原点，设 OA、AB的中点分别为 C、D, P为OB上一动点，求 PC+ PD的 最小值，并求取得最小值时P点坐标.*y(1) 由题意得：0 = 2x+b4 = b解得 k = -2 , b= 4,所以 y =

18、-2x+4作点C关于y轴的对称点C,连接CD，交y轴于点则 CD = CP+PD = PC+PDCD就是PC+PD的最小值 连接 CD，贝U CD = 2 , CC = 2在直角 CCD中，根据勾股定理 CD = 2 2 求直线CD的解读式，由C(-1 , 0), D(1 , 2) 所以，有0 = -k+b2 = k+b解得 k = 1 , b = 1，所以 y = x+1 当 x = 0 时，y =1，贝U P(0, 1)1 k21. 如图，一次函数 y = 2x与反比例函数y = -交于点A , AM丄x轴于点M, Soam = 12 x(1) 求k的值，k点B为双曲线y = k上不与A重

19、合的一点，且 B(1 , n)，在x轴上求一点 P,使PA+PB最x小(1) 由 SOAM = 1 知，k = 2作点A关于x轴的对称点 A连接AB，交x轴于点P,连接PA,则PA+PB最小。用待定系数法求直线 A 的解读式为y = - 3x + 5 , 因为点P在x轴上，所以设y = 0,即0 = - 3x + 5 ,5解得x = 3317 / 275所以P（ 3，0）22.如图，在平面直角坐标系中，直线（1）明BC；（2）I是第一、三象限的角平分线.由图观察易知 A （0，2）关于直线I的对称点A的坐标为（2，0），请在图中分别标 （5，3）、C （ 2，5）关于直线I的对称点B、C的位置

20、，并写出他们的坐标： B、结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点一、三象限的角平分线I的对称点P的坐标为（不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D（ 1， 3）、E （- 1， 4），试在直线I上确定一点 两点的距离之和最小，并求出Q点坐标.点 B（5，3）、C（-2，5）关于直线 I 的对称点 B（3，5）、C（5，-2）（2）坐标平面内任一点 P（a，b）关于直线I 的对称点P的坐标为（b，a）（3）作点E关于直线l的对称点DE，交直线I于点Q则QE+QD的值最小设直线DE的解读式为：y =为 D（1，-3）、E（-4,-1），贝U-3 = k+b-1 = -4k+bP

21、（ a,Q,使点b）关于第解得：k = - 2，b = - 1355所以 y = - 2x - 15355当x = y 时，有 x = y =-13713则Q点的坐标为（-，13-P（十）二次函数类23.如图，在直角坐标系中，点 时针旋转120。，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解读式；（3） 在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，A的坐标为（-2,0）,连结0A，将线段OA绕原点O顺使厶BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由（注意：本题中的结果均保留根号）（1）B（1，3）3 22 3（2）y = 3X + 3 x(3) 因为点

22、0关于对称轴的对称点是点A，则连接AB ,交对称轴于点。，则厶BOC的周长最小y =我 + 233x，当 x=-1 时，y = 33所以 C(-1 ,33)324.如图，抛物线2 _y=ax +bx+c的顶点P的坐标为(1,4.33)，交x轴于A、B两点，交y轴于点C(0, -3).(1) 求抛物线的表达式.(2) 把厶ABC绕AB的中点E旋转180得到四 边形ADBC .判断四边形ADBC的形状，并说明理由.(3) 试问在线段 AC上是否存在一点 F，使得 FBD的周长最小，若存在，请写出点 F的坐标；若不存在，请说明理 由.作点B关于AC的对称点G,连接DG,交AC于 点卩，则厶FBD的周

23、长最小因为 CF / BD , CG = ；BD，所以 F(- ；, - j)25. 如图，抛物线y= x2 + bx 2与x轴交于A, B两点，与y轴交于C点，且A(- 1, 0).(1) 求抛物线的解读式及顶点D的坐标；(2) 判断 ABC的形状，证明你的结论；(3) 点M(m,0)是x轴上的一个动点，当 MC + MD的值最小时，求 m的值.1 2 3(1) y = 2x - 2 -2作点C关于x轴的对称点C 连接C D，交x轴 于点M，则MC+MD的值最小，求出直线 CD的解 读式，即可得到 M点的坐标24 m = 41方法点拨：此类试卷往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、

24、坐标轴、抛物线等为背景，但都有一个“轴对称性”的图形共同点，解题时只有从变化的背景中提取出“建泵站问题”的数学模型，再通过找定直线的对 称点把同侧线段和转换为异侧线段和，利用“两点之间线段最短”，实现“折”转“直” 即可解决。有时问题是求三角形周长或四边形周长的最小值，一般此时会含有定长的线 段，依然可以转化为“建泵站问题”。26. 如图，在直角坐标系中， A , B, C的坐标分别为(-1 , 0),( 3, 0),( 0, 3),过A, B, C三点的抛物线的对称轴为直线 I, D为直线I上的一个动点,(1)求抛物线的解读式；求当AD+CD最小时点D的坐标；以点A为圆心，以AD为半径作圆A

25、 ； 证明：当AD+CD最小时，直线 BD与圆A相切； 写出直线 BD与圆A相切时，点 D的另一个坐 标。连接BC,交直线I于点 D，贝U DA+DC =DB+DC = BC ,BC的长就是AD+DC的最小值BC: y = -x + 3则直线BC与直线x = 1的交点D(1 , 2),27. 如图，已知二次函数I 1的图象与坐标轴交于点A (- 1, 0)和点B (0,-5).(1) 求该二次函数的解读式；P,使得 ABP的周长最小请求出点 P的坐(2) 已知该函数图象的对称轴上存在一点 标.(1) y = x2 -4x - 5(2) BC : y = x - 5P(2 , -3)28. 已知

26、等腰三角形 ABC的两个顶点分别是 A(0 , 1)、B(0, 3)，第三个顶点 C在x轴的正 半轴上.关于 y轴对称的抛物线 y= ax2 + bx+ c经过A、D(3 , - 2)、P三点，且点 P关于 直线AC的对称点在x轴上.(1)求直线BC的解读式；求抛物线y = ax2 + bx + c的解读式及点P的坐标； 设M是y轴上的一个动点，求 PM + CM的取值范 围.(1)以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点 C,在直角 ACO 中 OA = 1 , AC = 2根据勾股定理，得OC = 3故 C( 3，0)设直线BC的解读式为y = kx+b，贝U3 = b0= 3k+

27、b解得 k = - -.,i3, b = 3(2) 因为抛物线关于 y轴对称，所以设抛物线的解读式为y = ax2+c，则1 = c-2 = 9a+c1解得 a = - -, c = 13在直角 ACO 中 AC= 2 , OA = 1，则/ ACO = 30 在直角 BCO 中 OC =3, OB = 3，则/ BCO=60所以CA是/ BCO的角平分线即直线BC和x轴关于直线AC对称因为点P关于直线AC的对称点在x轴上 故点P应在直线BC和抛物线上，则有方程组y = - 3x+31 2y = - 3X +1解得 X1 = 3 y1= 0 X2 =2 3 y2 = -3所以 P( 3, 0)

28、,或(2 3, -3)当点M在y轴上运动时，PM+CM没有最大值，只有最小值，所以 求PM+CM的取值范围，就是要求 PM+CM的最小值 当点P与点C重合时，即P( 3,0)点M在原点，PM+CM的值最小，PM+CM = 23所以 PM+CM 2 3当P(/3, -3)时作点C关于y轴的对称点E,过点P作x轴的垂线，垂足为 F在直角 EFP 中，EF = 3 3, PF = 3根据勾股定理，得 EP = 6所以PM+CM的最小值是 6，贝U PM+CM 629. 如图，在矩形 OABC中，已知 A、C两点的坐标分别为 A(4 , 0)、C(0, 2), D为OA 的中点.设点P是/ AOC平分

29、线上的一个动点(不与点O重合).(1 )试证明：无论点 P运动到何处，PC总与PD相等；(2) 当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解读式；(3) 设点E是(2)中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时， PDE的周长最小？ 求出此时点P的坐标和厶PDE的周长；(4)设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P,接写出点P的坐标.(1) OCPBA ODP过点求过点B作/ AOC的平分线的垂线于点 P,点P即为所1P 作 PM 丄 BC 于点 M，贝U PM = 2BF= 1P的纵坐标为3，又因为点P在/ AOC的平分线所以点上,则 P(3,因为抛物线过原点，故设3

30、)又抛物线经过点 P(3, 3),4a+2b=0解得 a = 1,4a+2b=0则抛物线的解读式为y2y = ax + bxD(2 , 0)b = -2=x2 _2x(3)点D关于/ AOC的平分线的对称点是点C,连接CE交OF于点卩，则厶PDE的周长最 小抛物线的解读式为y = x2 -2x的顶点E(1,-1), C(0, 2)设直线CE的解读式为y = kx+b，则j=k+b解得 k = -3 , b = 22=b直线CE的解读式为y = -3x+2y=-3x+2x=y点P的坐标满足P(2,；) PDE的周长即是(4)存在这样的点1 1(；,2)或(2, 2)所以解得 x = 2，y =

31、1CE + DE =10+2P,使/ CPN = 90,坐标是使/ CPN = 90 ?若存在，请直b = i,2a 124(1) 由题意得 9a-3b+c = 0 解得 a =3, b = 3，C = 一 2 c = -2抛物线的解读式为y = |x2 + 4x - 23 3(2)点B关于对称轴的对称点是点A，连接AC交对称轴于点卩，则厶PBC的周长最小设直线AC的解读式为y = kx +b，因为A(-3，0)，C(0, - 2)，则2=3k + b 解得 k = - 2，b = -22所以直线AC的解读式为y = - 3X - 24 4把x = -1代入得y = - 3，所以P(-1, -

32、 3)33(3) S存在最大值/ DE / PC,E = 0D，即 0E = 2-mOA 0C 3233OE = 3 - ?m, AE = OA - OE = ?m方法一，连接OPS = S 四边形 PDOE -SaoED = S aPOE + SA POD _Sa oed134113=2X (3 - 2m)x 3+ 2 x (2 - m) x 1- 2 x (3 - 2m) x (2 - m)3 2332 3=-4m + 2m= - 4(m-1) + 43所以，当m = 1时，S最大=,4方法二，3 2丄4m +；m= - ；(m-1)S = SAOAC _Saaep _Sa OED _Sa

33、pcd(十一 )建桥选址类31. 如图，村庄 A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河B岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使 A村到B村的路程最近？作法：设a、b的距离为r。 把点B竖直向上平移r个单位得到点 连接AB，交a于C; 过C作CD b于D ； 连接AC、BD。证明： BB / CD 且 BB = CD ,四边形BBCD是平行四边形， CB = BD AC + CD + DB = AC + CB + BB = AB + BB在a上任取一点 C,作CD，连接 AC、DB , CB同理可得 AC + CD + DB = AC + CB + BB而 AC +

34、CBA B - AC + CD + DB 最短。本题是研究 AC + CD + DB最短时的C、D的取法，而CD是定值，所以冋题集中在研究AC + DB最小上。但 AC、DB不能衔接，可将 BD平移BiC处，贝U AC + DB可转化为 AC + CB，要使AC + CB最短，显然，A、C、B三点要在同一条直线上。32.如图，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问 PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？作法：（假设PQ就是在直线L上移动的定长线段）1）过点B作直线L的平行线,并在这条平行线上截取线段BB,使它等于定长PQ;2）作出点A关于直线L的对称点A，连接AB

35、，交直线L于P;3）在直线L上截取线段PQ=PQ.则此时AP+PQ+BQ最小.略证：由作法可知 PQ=PQ=BB，四边形PQBB与PQBB均为平行四边形.下面只要说明AP+BQAP+BQ即可.点A与A关于直线L对称，则AP=AP,AP=AP.故:AP+BQ=AP+BP=AB。AP+BQ=AP+BP.显然,ABAP+BP ;(三角形三边关系) 即 AP+BQ AD , B BC,所以AD + B C AD + BC ，则在不存在一个向右的位置，使四边形 A BCD 的周长最短当抛物线向左移动时，设A(4-a , 8), B (2-a, 2)，因为 CD =2,则将点B 向左平移2个单位得到点B,

36、 2).点A关于x轴的对称点是 A-4-a, -8),直线A B的解读式为：y = ；x + :m + 2要使A + B D最短，点D应在直线AB上将点D(-4 , 0)的坐标代入到直线 A B的解读式，得 m = 165故将抛物线向左平移时，否存在一个位置，使四边形ABBD的周长最短，此时抛物线的函数解读式为y = 1 (x+16) 225提示：方法一，A关于x轴对称点A,要使A C+CB最短，点y：；A”Bx AAC应在直线A B上;方法二，由（1 ）知，此时事实上，点 Q移到点C位置，求CQ=1# 5,即抛物线左移14 / 5单位；设抛物线左移 b个单位，则 Az（ -4-b , 8）、

37、B/（ 2-b , 2）。/ CD=2二B，左移2个 单位得到B（ -b , 2）位置，要使 A D+CB最短，只要 A D+DB最短。则只有点 D在 直线A B上。（十二）立体图形35. 桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为 12厘M,底面周长18厘M，在杯口内壁离 杯口 3厘M的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方 向离桌面3厘M的B处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘M才能到达蜜糖所在的位置。析：展开图如图所示，作A点关于杯口的对称点 A则BA 92 + 122=15厘MAA36. 一只蚂蚁欲从圆柱形桶外的A点爬到桶内的B点处寻找食物，已知点 A到桶口的

38、距离AC为12cm，点B到桶口的距离 BD为8cm, CD的长为15cm，那么蚂蚁爬行的最短路程 是多少？B展开图如右图所示，作点 B关于CD的对称点B 连接AB 交CD于点P,则蚂蚁爬行 路线 A tPt B为最短，且 AP+PB = AB+PB 在直角 AEB 中，AE = CD = 12 , EB= ED + DB = AC + BD = 12 + 8 = 20由勾股定理知，AB = 25所以，蚂蚁爬行的最短路程是25cm四.两点之间线段最短型37. 恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧

39、， AB = 50km A B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建 一服务区P，向A、B两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为 P ）, P到A、B的距离之和 S二PA PB，图（2） 是方案二的示意图（点 A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P ）, P到A、B的距离之和S2 -PA PB .（1 ）求S、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S PA PB的值为最小；（3） 拟建的恩施到张家界高速公路 Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（ 3）所示的直角坐 标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建

40、一服务区 P、Q，使P、 A、B、Q组成的四边形的周长最小并求出这个最小值.提示：涉及勾股定理、点对称、设计方案。第（3 ）问是“三折线”转“直”问题。再思考设计路线要根据需要设计，是P处分别往A、B两处送呢，还是可以先送到A接着送到 B。本题是对所给方案进行分析，似乎还容易一些，若要你设计方案，还需考 虑一个方案路线，F A t B。27 / 27(1) 在图(1)中过点 A 作 AC 丄 BQ 于点 C,贝U BC = BQ-CQ = 40-10= 30 , AB= 40 , 在Rt ABC中，根据勾股定理，得 AC = 40,所以PQ = 40在Rt BPQ中，根据勾股定理，得PB =

41、40 2所以 S1= PA+PB = 10+40 2在图中S1 = AB = PA+PB = AC2 + BC2 = 502 + 402= 10 41如图(2)图A在厶 EAB 中，有 EB+EAAB 因为 S1= EB+EA , S2= AB 所以S1 S2如图（3）分别作点A、B关于x轴、y轴的对称点A , B，连接AB，交x轴、y轴 于点P、Q,则四边形 PABQ的周长最小构造如图在 Rt ABC 中，BC = 30+30+40 = 100，AC = 10 +40 =50所以AB=1002 + 502 =50 538. 如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD

42、 （不含B点） 上任意一点，将 BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM求证： AMB ENB ;当M点在何处时，AM + CM的值最小；当M点在何处时，AM + BM + CM的值最小，并说明理由；当AM + BM + CM的最小值为 3 + 1时，求正方形的边长. 连接AC ,交BD于点M，则AM+CM 的值最小 连接CE交BD于点M，贝U AM+BM+CM 的值最小/ AM=EN , BM=NM , AM+BM+CM=EN+NM+MC=EC根据“两点之间，线段最短”，可知EN+NM+MC=EC 最短过点E作CB的延长线的垂线，垂足为 F设正方形ABCD的边长为2x则在直角厶

43、BEF中，/ EBF=30。，所以，EF=x，根据勾股定理：BF= 3x在直角 得方程：CEF中，根据勾股定理：CE2 = EF2 + FC2(3 + 1)2 = x2 + ( 3x +2x)2解得：x :_ 2-2所以：2x = 2分析：本题在最短矩离这一问题中，利用了数形结合的思想，综合考查学生几何、代数知识的运用能力。整个过程充分显示了学生学习数学新知的一般过程：认知一一论证一一应用。本题的难点在距离最小。第一小问设计由简单的三角形全等的证明让学生得出边之间 的相等关系，这里隐藏着由旋转角60得出的等边三角形，从而得出BM=MN ;第二小问设计的是一个探究过程，让学生综合学习过的基本数学

44、知识进行探索，看学生对“两点之 间，线段最短”的掌握，要求学生具备转化能力，建模能力等；第三小问的设计主要是将 所探究的结论进行运用，拓展，体现了数形结合的思想理念。整个过程体现了特殊问题中 的一般规律，是数学知识和问题解决方法的一种自然回归。是近几年中考压轴题的基本模 型。五.垂线段最短型B39. 如图，在锐角厶 ABC中，AB = 4罷，/ BAC = 45 , / BAC的平分线交 BC于点D , M、N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN的最小值是 .作点B关于AD的对称点 B，过点B作BE丄AB于点E,交AD于点F,则线段BE的长就是BM +MN的最小值在等腰Rt AEB中，根

45、据勾股定理得到，BE = 440. 如图， ABC 中，AB=2，/ BAC=30，若在 AC、AB 上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值B作AB关于AC的对称线段 AB，过点B作BN丄AB，垂足为N，交AC于点M ,贝U BN =MB+MN = MB+MNBN的长就是 MB+MN 的最小值则/ BAN = 2 / BAC= 60 , AB = AB = 2，/ ANB= 90 ，/ B = 30 。所以 AN = 1在直角 ABN中，根据勾股定理BN =341. 某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮 水困难问题，想在这三个地方的其中一处建

46、一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两 处。如图，甲、乙两村坐落在夹角为30的两条公路的 AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学。点 B在点M的北偏西30的3km处，点A在点M的正西方 向，点D在点M的南偏西60的2 ,3km处。为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村(线段CD某处)，甲村要求管道铺设到A处，请你在图中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村(线段AB某处)，请你在图中，画出铺设到乙村某

47、处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？万案一点M到甲村的最小距离是MB , MB=3，点M到乙村的最小距离是 MD , MD=2 3, 所以，最小值是3+2 3作点M关于 0E的对称点 M，连接 AM，交CD于点P,贝U PA+PM = PA+PM = AM,AM的长就是点P到A点和M点的距离之和的最小值.在Rt AMM中，用勾股定理求得 AM = 43作点M关于OF的对称点 M，过点M作MH丄0E于点H，交OF于点P、交AM于点G/ GM = 3 , HE = 3 DE = 3 ,二 H 与 D 重合在 Rt HMM 中，MH

48、= 2DH = 431 1 2(1)AB : y = - 2x + 1，抛物线：y =- 1(2) A0= 5，点A到直线I的距离这3+2 = 5，所以，直线I与圆A相切3(3) D(-1 , 2),过点P作PH丄I，垂足为H，延长HP交x轴于点G,设P(m , n),贝y yp = 4m2- 12222222212OP2 = OG2 + GP2 = m2 + (4m2- 1)2 =( 4m2+ 1)2,二 OP = 4m2+ 11 2 1 2PH = y p -yH = 4m - 1 -(-2) = m + 1 OP = PH要使 PDO的周长最小，因为 OD是定值，所以只要 OP+PD最小

49、，/ OP = PH，只要 PH+PD 最小根据“直线外一点到这条直线上训点的连线中，垂线段最短”，可知，当点D、P、H三点共线时，PH+PD最小因此，当点D、P、H三点共线时， PDO的周长最小43. 如图：在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD是等腰梯形，A、B在X轴上，D在Y 轴上，AB / CD, AB=5 , CD=3 , AD=BC= ,17,抛物线 y=-x2+bx+c 过 A、B 两点。(1) 直接写出点 A、B、C、D的坐标及抛物线的解读式。(2) 设M是第一象限内抛物线上的一个动点，它到x轴与y轴的距离之和为d ,求d的 最大值。(3) 当(2)中的M点运动到d取最大值时，

50、记此时的点M为点N,设线段AC与y轴交 于点E, F为线段EC上一动点，求F点到点与它到y轴的距离之和的最小值。2 y = - x + 3x +42设 M(a , -a +3a+4)，贝U. 2 ,d = a -a + 3a + 42=-(a - 2) + 8所以，当a = 2时，d有最大值，且最大值是8,此时M(2 , 6)作点N关于直线 AC的对称点N，过点N，作NH丄y轴于点H，交AC于点F,贝U F 点到点N与它到y轴的距离之和的值最小直线AC的解读式为：y = x + 1F点的横坐标为2，则纵坐标为3，即F(2, 3)而 N(2 , 6)，所以 FH = 2 , FN = 3，贝U

51、FN+FH = 544. 如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别为A(-6，0)、B(6，0)、C(0，4.3)延长AC到点D，使CD = 2AC，过点D作DE / AB交BC的延长线于点 E.(1 )求D点的坐标；(2) 作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF、EF，若过B点的直线y = kx+b将四 边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解读式；(3) 设G为y轴上一点，点P从直线y = kx+b与y轴的交点出发，先沿 y轴到达G点， 再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使 P点按照上述要求到达 A点所用的

52、时间最短。(要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明)D（3，6 3）显然，四边形 CDFE是菱形，将菱形 CDFE的周长分成相等的两个四边形的直线一定经 过菱形的对角线的交点M./ M(0，6 3)，B(6，0)6 V (3) = b0 = 6k+b解得：k = - 3， b = 6 3则这条直线的解读式为y = - 3x+ 6号3所用时间最短，也即是 PM+PA的值最小在厶 OBM 中，tan/ OBM= OM=6 3= 3 OB 6 习，所以/ OBM = 60 过点A作AH丄BM垂足为H，交y轴于点G,在厶 MGH 中，/ GMH=30。，贝U MG = 2GH所以，当点P运动到点G

53、时，GA+GH最小，即PM+PA最小提示：第(2)问，平分周长时，直线过菱形的中心；第(3)问，“确定G点的位置，使 P点按照上述要求到达 A点所用的时间最短”转化为点G到A的距离加G到(2)中直线的距离和最小很重要；发现(2)中直线与x轴夹角为6 0很关键45. 定义一种变换：平移抛物线Fi得到抛物线F2,使F2经过Fi的顶点A设F?的对称轴分别交Fi、F2于点D B,点C是点A关于直线BD的对称点. . 2 2(1) 如图1,若F仁y = x，经过变换后，得到Fa： y = x + bx，点C的坐标为(2 , 0),则b的值等于;四边形ABCD()A.平行四边形 B.矩形C.菱形D.正方形

54、(2) 如图2,若F1： y = ax 2+c,经过变换后，点 B的坐标为(2 , c - 1)，求 ABD的面 积；127(3) 如图3,若F1： y = 3 x2 - 3 x + 3,经过变换后，AC = 2 3,点P是直线AC上的 动点，求点P到点D的距离和到直线 AD的距离之和的最小值.第题T抛物线F2 : y = x2 + bx经过点C(2, 0). 0 = 4 + 2b，得 b = - 2- A(0 , 0), B(1 , -1), C(1 , 0), D(1 , 1)四边形ABCD是正方形第(2)题从F1到F2的变换，实际上是将抛物线的顶点从A移动B，因为A(0 , C), B(2 , c-1)，所以将F1向右平移2个单位，再向下平移一个单位，就可得到F2,则AF2： y = a(x-2) 2 + c T,把 A(0 , c)代入到 F2 中，得 a = 4所以 D(2 , 1 + c) , B(2 , c - 1), BD =( 1+ c ) -(c - 1) = 2则 SABD=2第题当点C在点 A的右侧时，设 AC与BD交于点N,抛1 22712