华中师范大学-数学教学论背诵笔记

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1、word数学教育学重要考点汇总第二章 中学数学教学目的和内容世界各国数学教育目的特点2010,2012简答一注重数学应用二重视问题解决三注重数学思想方法四注重数学交流五注重培养能力六重视数学美育七注重培养自信心八重视计算器和计算机的使用第三章 中学数学的教学原如此教材体系就是教学内容安排所展现的知识的序列与各知识之间的相互联系，是数学科学知识体系经教学法加工而得到的学科知识体系。教学内容安排要符合的原如此2012简答在初中已经给出了“变量说的函数定义，为什么在高中阶段又以“对应说重新定义，这样安排表现了哪一教学原如此的要求1. 要符合学生的心理开展规律。遵照学生思维开展规律，在编排知识体系时，

2、既不可割断学生连续渐进的思维方式，也不能颠倒思维开展阶段的顺序。对内容的编排还要注意符合认识规律，由浅入深，由易到难，由表与里，循序渐进,贯穿迁移的训练。要发挥非智力的心理因素的作用。2. 要符合数学知识的科学性和系统性。应以科学数学知识结构与其内涵的数学规律与思想方法为前提，以根本概念、根本原理为主线，展现数学感性材料、应用材料与根底知识的有机组成。3. 必须遵循理论联系实际的原如此理论结合实际。要求理论的建立依赖于实际，又要求已有的理论来解决实际问题，使原有的知识在学习中得以应用和深化，使新的知识在原有知识的应用中引伸。4. 必须遵循联系性和衔接性原如此。数学各分支之间具有广泛的联系，特别

3、是数学思想方法的相互渗透。为使学生更好地理解所学的数学根底知识,更全面灵活地掌握数学的根本思想和方法，教材体系必须揭示出知识间的相互联系。内容的安排还要注意数学与其他学科、小学与初中、初中与高中、高中与大学学科知识的衔接。中学数学教学的根本内容数学根底知识，指符合中学培养目标的数学科学中最本质的、已定型的、科学的、系统的初步知识。数学思想和方法数学思想是指数学研究活动中解决问题的根本观点和根本想法,它是对数学规律的理性认识。数学方法是指研究数学的手段和方式,它包括理论研究方法和数学理论应用于实际的方法。中学数学方法大体分为发现方法、逻辑方法和解题方法三类。发现方法是指发现数学性质、规律时常用的

4、方法，如归纳方法、类比方法、猜测方法、联想方法等等，但所得的结果还需进展严格论证。逻辑方法是指通过概念、判断、推理等逻辑程序进展严格推理的证明方法，包括形式逻辑方法、数理逻辑方法和辩证逻辑方法。中学里主要学习形式逻辑方法,如比拟法、分析法、综合法、分析综合法、归纳法、演绎法、反证法、同一法等。解题方法可分为通法与技巧性较强的巧法，如配方法、换元法、待定系数法、代入法、消元法、解析法、数形结合法、抽屉原如此等等通法；如放缩法、错位相消法、分裂项法、割补法等等巧法。数学语言和逻辑。数学中对概念的表述、定理的逻辑推理和证明，对量、量的关系进展比拟和运算等一系列的活动,都是在某种有规如此的符号系统中进

5、展的，采用的是一套形式化的数学语言。这种数学语言的形式简明扼要，表达内容深刻、准确。技能、技巧。包括知识技能如恒等变换、论证技能等操作技能如作图、测量、使用计算工具等)和解题技能。我国教育原如此体系2012简答在初中已经给出了“变量说的函数定义，为什么在高中阶段又以“对应说重新定义，这样安排表现了哪一教学原如此的要求1. 科学性和思想性统一的原如此2. 理论联系实际的原如此3. 传授知识与开展能力相统一的原如此4. 教师主导作用和学生自觉性、积极性相结合的原如此5. 直观性和抽象性相统一的原如此6. 系统性和循序渐进相结合的原如此7. 理解性和巩固性相结合的原如此8. 量力性和尽力性相结合的原

6、如此9. 统一要求和因材施教的原如此数学学科的严谨性与数学教学的可行性相结合的原如此数学学科严谨性与数学教学可行性相结合原如此的贯彻13简答列举2个实例1. 明确要求，慎重处理。现行教学大纲和教材对中学各局部数学内容在严谨性方面的具体要求，都有一定的反映。教师必须深入钻研大纲、教材，明确各局部内容对严谨性的要求程度,在教学中参照施行。不宜随意提髙要求，也不宜降低要求。尤其是对于那些鉴于中学生认识开展的特征而降低了严谨性的内容，或者说只有阶段性的相对严谨性的内容,教学处理必须慎重,一定要设法向学生讲清这些内容还有欠缺，还有开展的必要，只是当前尚未深入。比如，锐角三角函数的教学，开始是利用直角三角

7、形的边长之间的各种比给出，但是必须指出：锐角三角函数是随角的改变而变化的变量，而且它的变化可以由相应的线段之比来确定，决不能使学生误认为锐角三角函数只是边长一定的直角三角形的两边之比。2. 从开始抓起，持之以恒从初中一年级的数学教学开始，就应当在数学严谨性方面提出明确的要求。首先要规X数学用语。数学概念也好，数学定理也好，不仅要懂得其内涵，了解其外延，还要用规X的数学术语或数学表达式表示出来。其次，数学命题的推导、数学算式的推演也要严格地使用数学语言。这种严谨性要求，随着中学数学教学的开展，其标准也应该逐步提高。因为，中学数学教学内容越高深,抽象程度也越高,相应地严谨性要求也越高。教师应该采取

8、适当的措施，使学生尽快地适应这种开展，以形成习惯。为此，教师应该持之以恒，并以身作如此。备课、讲授、批改作业、课外辅导都应该注意这方面的要求。3. 要求学生周密思考、言必有据。周密思考,就是要全面地思考,不要遗漏，从而表现严谨性。但是，要养成这种习惯，必须经过严格训练。言必有据，是数学严谨性的重要标志之一，也是保障周密思考的有力的措施。中学数学教学中，教师可以结合典型例题，强调“言必有据。譬如，在几何证明题中,要求学生在练习时,每一步推论都用括号注明其理由，以逐步养成言必有据的习惯。4. 改革中学数学教学内容。数学教育工作者们普遍认为，要想很好地解决严谨性与可行性的矛盾，促成这对矛盾形成良性循

9、环，必须从早抓起。但是，历来的中学数学教材在低年级阶段,对严谨性要求太低,，而到高年级阶段又从严要求，学生一时难以适应,教师也不易把握分寸。尤其是代数、几何两门课在低年级对严谨性的要求有很大的差异。如何改革中学数学教学内容，如何提出适度的严谨性要求的标准，如何处理那些不具备严谨性要求而又必须引用的数学知识，以维持教学可行性的问题等，是我们在贯彻数学学科的严谨性与数学教学可行性相结合原如此时必须研究的课题。对此，必须加强探索和改革的力度。数学概念的抽象性与具体对象的直观性相结合的原如此数学概念的抽象性与具体对象的直观性相结合原如此的贯彻1. 直观教学注意通过实物直观、模型直观、图形直观、言语直观

10、，以形成学生鲜明的表象，为他们掌握根底理论提供必要的感性材料。这些感性知识越完善、越丰富，学生形成抽象的理性知识也就越顺利、越结实。直观教学必须注意以下几点：实物直观、模型直观、图形直观教学，要注意知识的系统性和理论的严谨性，以便把直观得到的感性认识提高到抽象的理论的水平；直观教具亮出的时机也要适当，拿出教具后要引导学生观察、分析、综合、概括、抽象，不要在细节上分散了学生的注意力，要利于他们抓住本质的数学特征。运用言语直观教学时，要为透彻地讲授知识服务，为了让学生更能准确地理解教材的文字，不能滥用粗俗的习语，以免喧宾夺主，适得其反。言语直观要照顾学生的年龄特征和知识水平，以他们已有的记忆表象为

11、根底，使其再现并重新组合，形成新的高层次的表象。要防止脱离学生经验，单纯追求言语的形象性。言语直观要求教师语言通俗、有趣、易懂，并配以节奏感和鼓动性，富于启发性和感染力,但切忌“八股调和矫揉造作的手势，以与各种语病。2. 数形结合可以根据数学本身的特点，采用数形结合的方法。这样可以使较为抽象的数量关系通过直观的几何图形将其性质反映出来，使抽象的概念、关系得以直观化、形象化,有利于分析、发现和理解它们。3. 注重观察对于抽象的关系，还可以让学生对一些具体的关系进展观察、比拟、分析、归纳，逐步提高他们的抽象思维的能力。4. 重视教学手段改革运用幻灯、投影仪、电视、电子计算机等先进教学设备，加速教学

12、手段现代化,也是贯彻抽象性与直观性相结合教学原如此的重要途径。数学理论与实际问题相结合的原如此数学理论与实际问题相结合的原如此的贯彻1. 严密联系实际，讲授概念、公式、原理、法如此，加强理论根底的教学。为了让学生能真正理解、掌握根本理论知识，又必须联系实际，从具体事物和现象入手。例如,引入有理数概念，尤其是正、负数概念，可以结合“表示零上5度和零下5度的气温、“表示东行10千米和西行10千米等实际问题。2010年简答表现了什么原如此，并作简要分析将抽象的数学概念、定理与实际问题相结合地引入讲授，一方面可以逐步培养学生抽象思维的能力，既表现了理论源于实践，又符合认识论的规律；另一方面可以向学生讲

13、明抽象的理论对实际问题的指导意义和应用价值,激发学生学习根底理论的积极性，克制盲目死记硬背的弊端。2. 严密联系实际，指导学生参加教学实践和社会实践，切实搞好根底理论教学和根本技能训练。我们知道，数学学科知识是人们的主观对客观世界的反映，只有通过实践这条联系主观与客观的纽带，才能使理论知识转化为实际技能。在课堂上，教师在讲授了必要的数学根底知识之后，可以让学生进展观察、实验、制作等实践活动，或者解答具有实际意义的问题。例如,讲过平行线、异面直线等概念，可以让学生在日常生活和周围环境中寻找属于这些概念的相应的实际对象；讲授了直角尺求圆直径的方法后，可以让学生自己动手自制一个直角尺，并实测几个圆的

14、直径。解答具有实际意义的问题，能广泛地用来引导学生将数学论与实际问题相结合。这类问题可以学校或社会各个方面。可以是真实的、具体的，也可以是模拟的，形式也是多样的。3. 不断地改良现有教学内容和教科书，加强中学数学与实际的联系。为了适应社会进步和科学开展，数学教学内容必然要不断地更新。例如，微积分初步、概率统计初步等纳入中学数学教学内容，是应该坚持、发扬的重要举措；又如，中学数学教学应注意与其它学科的教学严密配合。现代数学内容、数学思想和数学方法也要结合实际问题，编入中学数学教科书。现行中学数学教科书中确实充实了不少现代数学内容，其目的之一就是提高中学数学的实用性。所以讲授这些内容时，还必须注意

15、加强这些内容与实际问题的联系，才能达到目的。例如，引入集合概念之后，就应当引用文氏图来示意，并随即用于解决一定数量的涉与集合之间关系的实际问题。在贯彻数学理论与实际问题相结合的原如此时，必须注意以下几个问题。1. 数学理论与实际问题相结合要从学生的实际出发，不要为了结合实际问题而结合实际问题。比如，有些数学理论学生早已熟练地掌握,教师就没有必要一定让学生到实际中去观察;而有些内容是学生根本无法接触到又难于理解的实际问题，教师也没有必要硬讲给学生听。2. 数学理论与实际问题相结合要从数学学科的实际出发。数学理论有很强的逻辑性，构成了独立的系统，并不是每一章每一节每一个概念都可以联系实际问题。比如

16、，对数理论在计算上有实用性，但其概念本身却不易结合实际问题。所以，教学内容暂时不便结合实际问题时,不必勉强。3. 数学理论与实际问题相结合，是为了提高教学质量，强调与实际问题相结合，并不等于无视或削弱理论知识的讲授。如果为了结合实际问题占用了大量的教学时间，而少讲或不讲系统的理论，那就不妥当了。4. 贯彻数学理论与实际问题相结合的原如此，要求教师对数学知识与其应用都比拟熟练，做到有目的、有计划，胸中有数；教师所举的实际问题应该具有典型性、思想性、科学性、鲜明性和适当性。否如此，举例不当，讲解不清，反而冲淡了理论的价值，降低了教学质量。巩固知识与开展能力相结合的原如此巩固知识与开展能力相结合原如

17、此的贯彻1. 遵循记忆的规律，巩固所学的知识。通过加深理解，增强识记和保持。理解就是掌握数学对象的本质特征与其相互关系。加深理解，掌握了各种相关知识之间的联系，又更容易使记忆保持。例如，四类象限角的各种三角函数值的符号，除了从定义出发进展理解之外，还可以借助单位圆直观地帮助学生加深理解。通过归纳、类比、联想，促进再认、再现。经过归纳整理过的信息，加以类比，引起联想,这个提取的过程也就很容易实现了。例如，学习不等式时，可以将不等式与等式的相应概念和性质，进展归纳、类比，使已学知识系统化;学习相似三角形时,可以将相似三角形与全等三角形的定义、判定、性质，进展归纳、类比。2. 掌握遗忘的规律，复习所

18、学知识。要想提高记忆效率，巩固所学知识，就必须克制遗忘。组织科学的复习，是克制遗忘的有效手段,也是巩固记忆的根本途径。复习的周期和时机对遗忘先快后慢、先多后少的规律，我们应该将复习的周期控制成先短后长，复习的力度控制成先强后弱，或者说复习的次数先多后少。复习的时机，应该选择在所学知识即将遗忘、印象模糊、再认和再现有一定困难时，与时复习。复习的方式要多样化，要使复习旧知识而有新鲜感，形成强烈的刺激、反响。也就是说在复习时不是简单的重复，而是每复习一次，提出一次新的要求，上升一个新的知识层次。3. 巩固知识着眼于开展能力。巩固知识的关键在于组织学生复习，巩固知识必须着眼于开展学生分析问题、解决问题

19、的能力。能力的开展，是需要训练的。那么就要求我们在复习、训练两方面下功夫，使复习与训练有效地配合起来。这样不仅达到了开展能力,同时又有利于巩固知识。根底知识的复习，要注重数学思想的培养和数学方法的训练，用以促使学生知识整体结构向系统化方向开展,提高他们掌握、应用所学知识的能力。例如，将复数的根底知识系统化,概括成框图。这样，可以将复数与复平面、平面向量、平面直角坐标系与极坐标系、三角函数概念、参数方程、平面点集等知识都沟通了。综合知识的复习,要有计划、有步骤地进展题组训练。这样的复习题组,要具备代表性、综合性、渐进性,还要有一定梯度,题组间要求具有配合协调性。第四章 数学学习的心理特征与数学思

20、维能力的培养数学学习是指学生在教育情境中，以数学语言、符号为中介，自觉地、积极主动地掌握数学概念、公式、法如此、定理，形成数学活动的经验，开展数学技能与能力的过程。机械学习是指学生并未理解由符号所代表的知识，仅记住某个数学符号、数学概念、公式、定理等。有意义学习2010,2012术语解释如此指学生经过思考，掌握并理解了由符号所代表的数学知识，并能融会贯穿。承受学习2011术语解释是指要学习的全部数学内容是以定论的形式呈现给学习者的，这种学习不涉与学习者任何独立的发现，只需要他将所学的新知识与旧的知识有机结合起来，即内化，以便以后的再现和运用。发现学习2013术语解释是指一般只提出问题或提供背景

21、材料，主要内容要有学生自己独立发现。因此，发现学习的主要特点是：不把学习的主要内容提供应学生，而是由学自己独立发现，然后内化。数学认知结构2010,2012,2013术语解释他是学习者头脑里的知识结构，是学习者观念的全部内容和组织。即认知结构不仅包括头脑里的知识结构，而且还有这些知识的内部组织方式。数学认知结构的形成依赖于外在的数学知识结构和学习者内在的心理结构，它是学习者通过教师所激发起来的心理结构作用于外界的数学知识结构而形成的一种内在的知识结构。数学认知结构大体上由以下要素构成：内化了的数学理论；内化了的数学技能；数学活动的经验。同化2011术语解释学生在学习数学时，总是以原有的数学认知

22、结构为依据对新知识进展加工。当新知识能与原有的数学认知结构中适当的知识相联系，那么通过新旧知识的相互作用，新知识被纳入原有的数学认知结构之中,从而扩大了它的内容，这一方式称为同化。顺应假如新知识在原有的数学认知结构中没有适当的知识与它相联系，如此就要对原有的数学认知结构进展改组，进而形成新的数学。有意义承受学习的条件2013年简答要使数学学习成为有意义学习必须具备哪些根本条件1. 数学理论具有潜在意义即数学理论本身具有逻辑意义，并且学习者认知结构中又具有适当的知识根底。2. 学生具备有意义学习的心向即学生有积极主动地把新材料与认知结构中原有的适当内容加以联系的倾向性。3. 内化过程是有意义的即

23、对呈现的数学理论不仅在认知结构中进展“登记，而且考虑它的逻辑依据,使新知识与旧知识发生联系，最后还要寻求获得这一理论的思维过程,即新理论要转化为个人参照系，使之与本人的数学认知结构趋于和谐。另外,在数学理论获得的同时,形成一定的数学技能。有意义发现学习的条件2010年简答1. 问题具有潜在意义即数学认知结构中的理论知识对解决面临的问题是充分的。2. 学生具有有意义学习的心向。3. 解决问题的过程是有意义的即：解决问题的手段是通过一个积极主动的探索过程获得的，而不是依靠强化训练所形成的机械操作模式获得的。4. 内化过程是有意义的即：对发现学习中所涉与的所有知识、技能、活动经验加以内化；对发现学习

24、中得到的新的数学理论、技能和数学活动经验加以内化。概念同化2010术语解释一种以定义的形式给出，由学生主动地与自己认知结构中原有的有关概念相互联系、相互作用以领会它的意义,从而获得新概念。这种获得概念的方式叫做概念同化。概念同化心理过程2011简答以菱形概念为例，说明以概念同化方式学习数学概念的心理过程1. 首先，他要把新概念的本质属性与原有的认知结构中的适当概念相联系，明确新概念是原有概念的限制，并能从原有概念中别离出来；2. 其次，要把新概念与原认知结构中的有关概念融合在一起，纳入认知结构中，以便于记忆和应用。例如，学习梯形的概念：“梯形是一组对边平行另一组对边不平行的四边形，这时学生要主

25、动积极地与自己认知结构中原有的概念(平行、四边形等)联系起来思考，认识到梯形是原有四边形中特殊的一类，从而明确它的内涵和外延；1. 接着与原有的概念(如平行四边形等区别开来，并相互贯穿组成一个整体,纳入原有的概念体系(四边形)之中；2. 最后通过例题的学习与练习、习题的解答，加深对梯形本质属性的认识，使它在认知结构中得到巩固。概念形成2011术语解释一种通过对概念所反映的事物的不同例子中，让学生积极主动地去发现其本质属性，从而形成新概念，这种获得概念的方式叫概念形成。概念形成心理过程2010简答以初中函数概念为例，说明概念形成的心理过程区分同类事物不同的例子，抽象出各例子的共同属性；提出它们共

26、同本质属性的各种假设并加以检验;把本质属性与认知结构中的适当知识联系起来，使新概念与的有关概念区别开来;把新概念的本质属性推广到一切同类事物中去，以明确它的外延;扩大或改组原有的数学认知结构,从而开展数学认知结构。例如，初中学生学习变量和函数这两个概念，是处于初次接触变量数学的内容,所以这两个概念都可以用概念形成的方式让学生获得。如函数概念的学习，一般可采用如下步骤：第一步，让学生分别指出如下例子中的变量以与变量之间的关系的表达式：以每小时40千米匀速行驶的汽车所驶过的路程和时间；用表格所给出的某水库的存水量与水深；由-某一天气温变化的曲线所揭示的气温和时间；任何整数的平方运算中,底数与它的二

27、次幂。第二步，找出上述各例中两变量之间关系的共同的本质属性。学生经过屡次分析比拟后可知：一个变量每取一个确定的值,相应地另一个变量也唯一地确定一个值，这是函数的本质属性；同时，前一个变量取值X围的限制，也是它们共同的本质属性。第三步，学生以第二步中明确的函数的本质属性为依据，区分假如干正反面的例子。如在任意正数开平方运算中，被开方数x与平方根y写成这里x与y这两个变量就不是函数关。第四步，在以上几步的根底上，抽象、归纳、概括出函数定义。第五步,通过练习、习题等的解答,加深对函数概念的理解,建立起新的数学认知结构，以利于进一步的学习。影响掌握概念的因素1. 经验与抽象概括能力。概念的获得依赖于学

28、生有关的感性材料、经验和抽象概括能力。如果学生缺乏这方面的经验，教学时就要采用实物、模型或举例等方式弥补。值得注意的是，举例时要区分日常用语中有一些词的含义与数学概念不一致的地方，以免发生混淆。例如，几何中的垂线与日常用语中的“垂线实指铅垂线)是不一样的，但有的学生却误用他的经验认为两者一样，只承认自上而下方向的直线是垂线。如果学生抽象概括能力差，就不能抓住事物的本质属性，不能明确概念的内涵和外延。例如会出现如下错误：|a|=a；直角三角形的直角边上没有高等。这就要求有计划地开展学生的抽象概括能力。2. 本质属性与非本质属性。我们知道，概念的本质属性越明显，学习时就容易掌握；反之，非本质属性多

29、而又明显，如此就难于学习。因此,采用适当的方法，突出本质属性，是有利于概念学习的。如教学时,常常用加重语气等方式，突出概念的本质属性，让学生易于掌握;有时直接指出哪些与定义无关的非本质属性，例如三角形的垂心,有的学生往往认为只有三角形三边上的高的交点在其形内时才称为垂心，把非本质属性(交点的位置)误认为本质属性。因此与时指出非本质属性，有利于突出本质属性和概念的正确掌握。3. 变式。要理解一类事物的共同本质属性，往往可以通过列举具有该本质属性的事物(概念的肯定例证)或不具有该本质属性的事物(概念的否认例证)的分析来获得。例如，曲线的切线这一概念,有的学生往往认为切线是与曲线只有一个公共点的直线

30、，这时可举出否认例证:“抛物线的对称轴与这个抛物线只有一个交点，但它不是切线，说明“只有一个公共点不是曲线切线的本质属性，学生就容易理解。理解概念常常利用肯定例证，这时“变式具有重要意义。所谓变式就是指概念的肯定例证在非本质属性方面的变化。如函数概念，学生往往误认为只有“变量y随x的变化而变化y才是x的函数，把非本质属性y随x的变化而变化作为本质属性，扩大了概念的内涵，这时可以举出肯定例证.从两者可知，“对定义域中的每一个x的值,y都有唯一确定的值与它对应,这才是函数概念的本质属性。因此利用变式有利于纠正学生错误的认识。数学定理公式的学习学生学习数学定理公式有两种方式：1. 探究发现式。探究发

31、现式是学生通过探索，提出并论证假设，从而获得定理公式与其意义的一种学习模式。其心理过程一般是这样的：学生利用认知结构中已有的经验，对信息进展分解与组合，从而提出根本假设。运用数学语言正确表述假设，并探索证明假设的途径，认识命题的逻辑意义。把证明为真的假设(定理公式)纳入原认知结构中,扩大或改组认知结构，以获得心理意义。通过定理公式的应用、对定理公式的探索与证明的思想方法的总结以与定理公式的各种变形来进一步优化认知结构。2. 同化式。同化式是学生把呈现的定理公式与其推导证明直接同自己的认知结构相联系,从而掌握数学定理公式的学习模式。其心理过程为:他要对定理公式的条件、结论进展分析，以明确它的逻辑

32、意义和数学解释。理解并总结定理公式证明的思维过程、逻辑推理形式与表达格式。要把新定理公式与原认知结构中的有关内容融合在一起，纳入认知结构之中。数学技能的学习技能2013术语解释是指顺利完成某种任务的自动化的外部操作活动方式或心智活动方式。动作技能即外部实际操作活动的方式。例如用圆规、直尺等工具画图、查表、使用计算工具等都是动作技能。分为三个阶段，一是掌握局部动作阶段；二是初步掌握完整动作阶段。三是动作协调和完善阶段。心智技能2012术语解释即按一定的合理的、完善的方式进展的心理活动方式。例如,运算、推理论证技能等都是心智技能。分为如下几个阶段：一是掌握心智活动各环节的活动方式。二是心智活动的各

33、环节逐渐联成一个整体,且内部语言趋于概括化和简约化，运算或推理逐渐简缩。三是心智活动熟练化、自动化。数学技能的形成是学生练习的直接结果，其途径有两条：其一是伴随着数学理论的获得而形成数学技能;其二是在综合应用数学理论过程中形成数学技能。数学思维，就是以数和形为思维对象，以数学语言和符号为思维载体，并以认识和发现数学规律为目的的一种思维。形象思维，是指凭借事物的形象或表象进展联想或想象的一种思维形式。所以，形象思维的物质根底是事物的形象或表象,而它的运动形式如此主要是联想与想象。抽象概括2011术语解释就是在研究乱标的指导下，揭示出某类局部对象的本质属性，并把这些对象的共同本质属性联合起来，然后

34、合理地推广到同类对象的全体，形成关于该类对象的一般性认识的一种思维形式。函数思维的特点在于对数学对象与其性质之间的一般和个别的相互关系的动态认识，这种认识鲜明地表现在函数思想之中。函数思维这种思维形式应包括变量思维与对应思维。变量思维的特点是：从运动变化的观点去把握数学对象;运动变化地看待因果关系，从运动变化中去把握数学对象的不同侧面。对应思维有两个层次：把握某一数学过程中变化着的各量之间的对应关系，如把所研究的对象间的联系，用数学关系公式、表格、图象等表示出来；把握不同集合之间的对应关系，这是对应思维的高级形式。逻辑思维2010术语解释是指脱离具体形象，按照逻辑的规律,运用概念、判断、推理等

35、思维形式所进展的思维。直觉思维2012术语解释是指未经过一步步的逻辑分析或无清晰的逻辑步骤,而对问题直接的、突然间的领悟、理解或给出答案的思维。收敛思维又叫求同思维或集中思维。它是指由所提供的条件或事实聚合起来，朝着一个方向思考,得出确定的答案，即它的思考方向是趋于同一。发散思维又叫求异思维，它是由某一条件或事实出发,从各个方面思考,产生出多种答案,即它的思考方向是向外发散的。正向思维与逆向思维是指在思考数学问题时,可以按通常思维的方向进展，也可以采用与它相反的方向探索。再现性思维也就是一般性思维，它是运用所获得的知识经验，按现成的方法或程序去解决问题的思维，它的创造成分少。创造性思维是在已有

36、的知识和经验的根底上，对问题找出新答案、发现新关系或创造新方法的思维。数学思维品质1. 思维的广阔性思维的广阔性表现在能多方面、多角度地去思考问题,善于发现事物间的多方面的联系，找出多种解决问题的方法，并能将它推广到类似的问题中去，从而形成一些有普遍意义的方法,或扩大解题中得到的结果的适用X围，或将其推广到类似的问题中去。因此,思维的广阔性也称为思维的概括性。例如，学生在求解“过抛物线的焦点F作一条直线,交抛物线于A、B两点。设P为拋物线的焦点参数,且AF=m,BF=n,如此时，能用多种方法来证明，包括从抛物线的定义出发，利用平面几何知识来证等，并能推广到椭圆、双曲线情形，且作出相应的证明。这

37、明确学生思路宽广,思维不停留在解析几何中常用的各种方法上，还引用平面几何知识证明；思维也没有在证明了该题后止步，还思考着应用同一思想方法试着对椭圆、双曲线会有什么结论。2. 思维的深刻性思维的深刻性表现在能深入地钻研与思考问题,善于从复杂的事物中把握住它的本质,而不被一些外表现象所迷惑；能区分哪些是严格证明而哪些是“大概对的，特别要在学习中克制思维的外表性、绝对化与不求甚解的毛病。例如在概念学习中，要分清一些容易混淆的概念,如正数和非负数、方根与算术根、充分条件与必要条件等；在公式、定理、法如此的学习中,要完整地掌握它们(包括条件、结论和适用X围)，领会其精神实质，切忌形式主义、外表化和一知半

38、解。3. 思维的灵活性思维的灵活性表现在能对具体问题作具体分析，善于根据情况的变化，与时地调整原有的思维过程与方法，灵活地运用有关的概念、定理、公式、法如此，并且思维不囿于固定程式或模式，具有较强的应变能力。4. 思维的批判性思维的批判性表现在有主见地评价事物，能严格地评判自己提出的假设或解题方法的正确或优劣与否;喜欢独立思考，善于提出问题和发表不同的看法，既不人云亦云，也不自以为是。因此，在教学中要待别注重培养学生乐意进展各种方式的检验，善于找出和改正自己的错误，重新计算和思考；找出问题所在的良好习惯5. 思维的独创性思维的独创性表现在能独立地发现问题、分析问题和解决问题，主动地提出新的见解

39、和采用新的方法。我们在日常教学中，要培养学生独立思考的自觉性和习惯，教育他们要勇于创新、敢于突破常规的思考方法和解题模式，大胆提出新的见解和解法,使他们逐步具有思维独创性的良好品质。数学思维开展的年龄特征2011,2013简答按照思维活动中抽象概括水平由低到高，数学思维的开展大体可分为哪几个层次。1. 直观行动思维。3岁以前的婴儿虽有思维，但他是在感知和操作过程中进展的，感知的事物消失了，操作停止了，思维也就停止了。这是最低水平层次。2. 具体形象思维。3岁7岁的幼儿能脱离感知和动作，利用头脑中所保存的事物进展思维。其特点是总离不开具体形象来进展思维活动。3. 经验型抽象思维。7岁15岁的少年

40、处于一个过渡阶段从具体形象思维为主要思维形式向以抽象思维形式的过渡阶段。4. 理论型抽象思维。15岁18岁的青少年处于抽象思维为主体的年龄阶段，而且是思维逐步地从经验型过渡到理论性并由此向辩证逻辑思维开展的阶段。中学生数学思维开展的特点1. 数学思维开展的趋向。由具体形象思维占优势逐步开展到理论型抽象思维占优势。抽象性成分越多，那么思维就越具有预见性，思维活动中的自我意识和自我控制与调节能力就越强，这样，学生思维活动的主动性也相对加强,思路更清晰,判断更准确，并由此开展直觉思维。2. 数学思维的最近开展区。由思维开展的趋向可知，任何一个层次的思维必有最适合于它开展的阶段，这一阶段即称为这一思维

41、的“最近开展区。最近开展区是数学思维开展的关键,也是我们设计教材结构和教学过程的重要依据之一。3. 数学思维开展的关键期。思维开展并不是直线上升的，而有一个从量变到质变的过程。与最近开展区相联系，那么，任何一个层次的思维必有一个质变过程，这一时期就是其开展的关键期。一般说来，中学生数学思维开展有两个主要的关键期：其一是在初中二年级,表现为从经验型思维向理论型思维的转化。在此期间，思维的方式、方法和品质都处于一个新的转折点；抽象、概括、逻辑推理等都处于迅速开展之中，前后有着明显的差异，因此初中二年级往往是产生学习分化的一个焦点。这时平面几何的教学，特别是其人门教学，具有全局性的意义。二是在高一到

42、高二年级,学生的思维逐步成熟，思维的方式、法和品质等趋于稳定，可塑性变小。而在此之前，其变动性与可塑性较大。故在此之前是思维优化开展的关键期。因此，在数学教学中必须抓紧成熟期前的函数、三角和立体几何的教学，与时促进思维的优化开展。开展数学思维的教学途径1. 注重非智力因素的培养。非智力因素对数学思维的开展有着强烈的影响、从培养人才来看,只有智力因素与非智力因素的协同开展,才会产生高的创造效应。数学学习是一项艰辛的脑力劳动，它受意识的支配。在学习中要有直接推动学生学习的一种动力，即学习动机。学习动机有内部动机和外部动机。在学习数学过程中，还会遇到各种困难，因而还需要学生在学习中坚决信心，认真对待

43、困难,战胜困难，以获得知识、技能和能力。还要注意培养学生的自信心和勤奋的态度。2. 注重恰当引导。(1)引导学生全面熟悉问题情境，使外部问题情境与学生内在经验发生恰当冲突。这种冲突表现为既使学生领会了整个问题情境，又使学生就处于“愤悱状态，自觉地产生一种主动探索的意向。(2)在学生处于“愤悱状态之后，教师就应当推迟判断，而让学生进展积极思维。在学生的积极思维过程中，教师应对学生的思维进展恰当的调节，这种调节主要是通过教师对学生思维过程中发出的信息的恰当反响来进展的。通过教师的反响来引导学生不断地进展评价，不断地调整着思维的方向。教师的反响恰当与否，主要在于教师的反响信息是起到激发和引导学生的思

44、维的作用，还是直接地代替学生的思维。因此，教师的反响多是启发性的、评价性的,而不是关于结果的信息。(3)在学生的积极思维活动之后，应引导学生归纳总结重要的数学思想，概括重要的数学方法和思维模式，以加强学生的数学方法论方面的修养，帮助学生建构起适当的思维模式，从而丰富学生的思维经验，提高思维效率。3. 恰当推迟判断，让学生有足够的独立思考和探索的机会。推迟判断，其目的就是留给学生足够的独立思考与探索的机会。而学生独立思考是需要有一个过程的，要有一定的时间。推迟就是为了适应这一需要。通过由不知到知的矛盾运动，学生的认知结构必然得到开展,思维得到锻炼，思维水平得到提高。4. 按照思维开展的规律组织教

45、学。2011简答如何按照数学思维开展的规律组织数学教学(1)数学教学要以学生一定的思维开展水平为前提。(2)从整体上讲，学生的思维开展趋向是由经验型抽象思维向理论型抽象思雄开展的,不同开展阶段的学生其思维方式也不同。(3)要抓紧思维的最近开展区和思维开展的关键期，促进学生思维的迅速开展。5. 注意各种思维的整体性培养。数学思维是由多种不同思维成分构成的复杂系统，只有使各种思维成分协同地开展，才能形成良好的数学思维结构。第五章 逻辑与数学教学数学概念是现实世界中空间形式和数量关系与其本质属性在人们头脑中的反映。数学判断是对事物的空间形式与其数量关系有所肯定或否认的思维形式。数学命题用来表示数学判

46、断的语句或符号的组合。数学概念的产生与开展有各种不同的途径有些是直接从事物的空间形式和数量关系中反映出来,如自然数概念是从事物排列的次序抽象概括得来，几何中的点、线、面、体、平行、垂直、圆、柱、锥、台、球等概念是从形状与大小位置关系抽象出来的；有些概念是在抽象的数学概念的根底上经过屡次复杂的抽象概括过程才产生和开展而成，如“复数的概念是在实数的概念的根底上产生出来,而实数的概念又是在有理数概念的根底上产生的。有些概念是在一定的数学对象的结构中产生出来的，如三线截得的八角。有些概念是根据理论上有存在的可能而提出的，如无穷远点、无穷大等。有些概念是经过思维加工把客观事物的属性理想化、纯粹化得来的,

47、还有些概念是从数学内部需要产生出来的。数学概念的形成不论如何复杂、抽象，它们总是在一定的感性认识的根底上或在一定理性认识的根底上产生并逐步开展的。概念的外延是指概念所反映事物的X围(集合)。它说明概念所反映的对象是哪些，即反映了概念的量的方面。如“平行四边形的外延是指邻边不等的斜平行四边形、矩形、菱形、正方形的集合。概念的内涵是指概念所反映的一切事物的本质属性。它说明概念所反映的事物是什么样的，即反映了概念的质的方面。如“平行四边形的内涵就是平行四边形所代表的所有对象的本质属性：有四条边，两组对边分别平行,对角线互相平分等。概念间的关系1. 相容关系。两个概念的外延至少有一局部重合，这两个概念

48、间的关系称为相容关系。1同一关系(又称全同关系如果两个概念的外延完全重合,如此这两个概念的关系是同一关系全同关系2属种关系从属关系，真包含关系)如果两个概念之间，一个概念的外延完全包含在另一个概念的外延之中，而且仅仅成为另一个概念外延的一局部，如此这两个概念之间的关系是属种关系。3交叉关系如果两个概念的外延有且只有一局部一样重合)，如此这两个概念的关系是交叉关系。概念间的不相容关系(又称全异关系)1反对关系(对立关系如果两个概念的外延完全不同，而且它们外延之和小于其属概念的外延，如此这两个概念的关系称之为反对关系。2矛盾关系如果两个概念的外延完全不同，并且它们外延之和等于其属概念的外延，如此这

49、两个概念间的关系称之为矛盾关系。2. 内涵和外延的反变关系，限定和扩大概念的限定收缩就是由外延广阔、内涵贫乏的概念出发，不断丰富概念的内涵，同时也是相应地缩小其外延,逐次形成新概念的过程，是使概念从一般愈来愈趋向特殊化的过程。例如：在教材中，遵循概念的限定过程来编排教学内容的处理是较多的。例如：几何体棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正方体概念的扩大(概括)就是由外延较窄的概念出发，逐步扩大其外延,同时相应地抽掉概念的内涵形成新概念的过程。例如：。概念定义的规如此规如此1定义必须是相应相称的。指被定义项的外延和定义项的外延必须全同，不能扩大也不能缩小。假如定义项的外延少于被定义项的外延，如

50、此定义“过窄；假如定义项的外延多于被定义项的外延，如此定义“过宽。如把平行线定义为：“两条不相交的直线，就犯了“过宽的毛病；应定义为：“平面内的两条不相交直线。规如此2定义不得循环。指定义项中不能直接或间接地包含被定义项。如果在定义项中直接或间接地包含被定义项,这样的定义项是不明确的，也达不到明确被定义项的目的。犯这样的错误称之为循环定义。例如：“互质数就是互为质数的数。这个定义在定义项中直接包含了被定义项。规如此3定义一般不用否认形式。给概念下定义应表示被定义项具有某种属性，用肯定形式而不应用否认的形式。例如：圆是不方的几何图形；“加就是“不减;“正就是“非负等，都没有揭示出被定义概念的本质

51、属性。但这个要求不是绝对的，有某些事物的本质属性就是揭示它缺乏某种特性，如斜棱柱的定义：侧棱不垂直于底面的棱柱。规如此4定义应当是确定的、简明的。即定义不能有模糊不清的语词。如“一个多边形的顶点在圆周上,那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个定义就模糊不清，因为它既没有指明是多边形的各个顶点在圆周上，又没有指明是在同一个圆周上。定义要简明，即指不能包含互相推出的本质属性,而且不要越级选属。数学中常用的几种定义方式2010简答结合实例说明1. 属加种差定义方式2012简答以“四边形作为属的概念，选择不同的种差，至少给出“平行四边形的三种不同的定义这种定义方式由如下公式表出：被定义项=邻近的属+种

52、差。例如：正多边形是各内角相等且各边也相等的多边形。在这个定义中，“正多边形是被定义项,“多边形是“正多边形最邻近的属概念，“正多边形不仅具有“多边形的本质属性,同时它具有“各角相等且各边也相等这一属性;这是用以区别“正多边形与“多边形这个属概念下的其它种概念的属性，这样的属性称之为该概念的种差用这种方法给概念下定义要解决两个问题：要找出被定义项的概念的最邻近的属概念;要指出它区别于这个属概念下其它种概念的属性，即种差。2. 发生定义方式2013简答列举3个又称构造定义方式它是属加种差定义方式派生出来的一种特殊形式，是用一类事物产生或形成情况作为种差所作出的定义。例如，摆线的定义：一个圆沿着一

53、条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点M的轨迹叫做摆线。种差是描述得到摆线的形成过程。发生定义在数学里很多，例如：数轴，直角坐标系，极坐标系，螺旋线，椭圆，双曲线，抛物线，二面角，二面角的平面角，异面直线所成的角，圆柱，圆锥，圆台，球，。发生定义按概念产生的过程，给出了构造程序，故又称构造定义。3. 外延定义又称概括定义是用并列的种概念给属概念下定义的方法。在外延定义中，被定义项是属，定义项是几个种的集,实质是直接指出被定义项所指对象的外延。例如：抛物线、椭圆和双曲线统称为圆锥曲线；有理数和无理数统称为实数。4. 关系定义方式是以事物间的关系作为种差的定义。它指出这种关系是被定义事物所具有而

54、任何其它事物所不具有的本质属性。例如：抛物线、椭圆和双曲线统称为圆锥曲线；有理数和无理数统称为实数。5. 语词定义方式语词定义就是说明或规定语词或词组的意义的定义。例如：规定“表示“属于关系；“表示“和；“表示“相似于等等。6. 充分必要条件定义(语境定义如：A=B当且仅当A B且BA；一个数是素数，当且仅当这个数只有1和它本身两个约数。7. 公理定义方式就是用一组公理来描述被定义项概念的本质属性的定义方式。例如：自然数的近代定义皮阿诺公理定义8. 递归定义当被定义项与自然数的性质直接有关时，应用递归公式给出的定义。它适用于与自然数的性质有直接关系的对象。下定义时首先给定被定义对象的初始意义，

55、然后明确对象从n过渡到n+1的方法。例如:划分是揭示概念外延的逻辑方法。它是根据一定的准如此标准、将一个属概念分为假如干个外延不相重合的种概念(小类)。概念的划分有三要素：1被划分的概念叫做划分的母项；2分出的各个种概念叫做子项;3进展划分所用的准如此叫做划分的标准。数学中的推理推理就是从一个或几个已有判断，根据判断之间的关系，作出一个或几个新判断的思维形式。归纳推理对从个别的或特殊的、有限的事物所作出的判断，扩大为同类一般事物的判断的思维过程简称由特殊到一般的推理称为归纳推理(归纳法)。根据归纳推理的前提和结论所作判断的X围是否一样可分为不完全归纳推理和完全归纳推理。不完全归纳推理(不完全归

56、纳法归纳推理的前提判断X围的总和小于结论判断的X围，这种归纳推理叫做不完全归纳推理。完全归纳推理(完全归纳法)根据某类事物的每一个对象都具有某种属性，推出这类事物的全体对象都具有这种属性，这种归纳推理的方法叫做完全归纳法。类比推理是以两个或两类对象都具有某些一样或类似的属性,并且其中一个对象还具有另外某些属性作为前提，推出另一个对象也有这些一样或类似属性的思维形式。演绎推理2011术语解释是以某类事物的一般判断为前提，作出这类事物的个别特殊事物的判断的思维形式。直接推理是以一个判断为前提的推理，是一种最简单的演绎推理。三段论推理是由两个包含着一个共同项的性质判断为前提,推出新的性质判断的推理。

57、三段论公理但凡肯定了(或否认了)一类对象的全部，也就肯定(或否认)这一类对象的任何局部对象或个别对象。这个公理反映了客观事物中的一般和个别的关系，即属和种的包含关系，它是三段论推理的逻辑依据。关系推理指根据对象间关系的逻辑特征而,进展推演的推理。直接关系推理。从一个关系判断推出另一个关系判断的关系推理称之为直接关系推理它属于直接推理。常见的有根据对称关系反对称关系进展推演的对称关系推理间接关系推理。从两个关系判断推出一个新的关系判断的关系推理称为间接关系推理。常见的有：传递关系推理。反传递关系推理。指根据反传递关系的性质进展推演的关系推理。联言推理2013术语解释是其前提或结论为联言判断，根据

58、联判断的逻辑性质进展推演的推理。分解式的联言推理。前提是一个联言推理，而结论是一个性质判断，依据联言判断的逻辑特性进展推演的联言推理，叫做分解式的联言推理。其逻辑形式可用公式表述如下：例：组合式的联言推理。前提是几个简单的性质判断，而结论是一个联言判断，这种联言推理叫组合式的眹言推理。其逻辑形式可用公式表示如下：例如：它表示由全部肢判断真而推出联言判断真的联言推理形式。选言推理是指在推理的两个前提中有一个是选言判断，根据选言判断选言肢间的制约关系而逬行推演的推理。否认肯定式。否认大前提中的其余的选言肢,从而肯定其中的一个肢。这是在选言判断本身真实的前提下,相容的选言推理和不相容的选言推理必须遵

59、守的一样的逻辑规如此。其推理形式为：例如：肯定否认式(不相容的选言推理的形式)不相容的选言推理还有另一条规如此，即肯定大前提中的一个选言肢,从而否认另外的选言肢，通过肯定而进展否认的形式。其推理形式为:例如：肯定否认式是根据不相容选言之间的制约关系而推出结论。假言推理是两个前提中有一个是假言判断，根据假言判断前后件之间的关系，通过另一判断对假言判断的前件或后件的肯定或否认而进展推演的推理。充分条件假言推理。是以一个充分条件假言判断作为大前提而构成的假言推理。例如：其推理方式用公式表示为：这条规如此叫别离规如此，即肯定前件就要肯定后件。又例：其推理方式用公式表示为：这条规如此为：否认后件，就要否

60、认前件。它实质上是前述之别离规如此。综上，充分条件假言推理遵守的规如此为：肯定前件，就要肯定后件；否认后件，就要否认前件。必要条件的假言推理。指大前提为必要条件假言判断的推理。这种推理是根据必要条件假言判断前、后件之间的关系进展推演的。规如此有两条：1. 肯定后件就要肯定前件肯定后件式2. 否认前件就要否认后件否认前件式用公式表达为：可见：必要条件假言推理是通过小前提对大前提前件的否认或后件的肯定来进展的。充分而必要条件的假言推理。指以一个充要条件的假言判断为大前提而构成的假言推理。这种推理是根据充分而必要条件假言判断前后件之间的制约关系而推演的。推理规如此为：肯定前件，就应肯定后件；否认前件

61、就应否认后件；反之亦然。推理形式用公式表达有四种：数学中常用的推理，列表如下：数学中的证明数学证明2010术语解释是根据已经确定其真实性的公理、定理、定义、公式、性质等数学命题来论证某一数学命题的真实性的推理过程。直接证法由论题的条件和定义、公理、定理等作为论据，利用逻辑推理法如此直接推出论题结论真实性的证明方法。综合法。从题设的条件出发,运用一系列有关已确定的命题作为推理的依据，逐步推演而得到要证明的结论，这种证明方法叫综合法。综合法的推理方向是由(题设)到求证(题断)，论证过程中步步追求事理的必要条件。分析法。分析法的推理方向是由题断到题设，论证中步步寻求使其成立的充分条件,如此逐步归结到

62、的条件或已经成立的事实,命题便获证。分析法的步骤关系是，后一步是前一步成立的充分条件。表示时应为“要证XXX，如此须证XXX就可以了的语言表达形式，它有别于逆证法。逆证法也是从结论出发,它是假设结论成立,然后进展正确推理，最后推得条件，即结论条件,后一步是前一步的必要条件。因此还须考察每一步是否可逆，如果不能，如此不能算完成了论证；如果能，如此要叙说“步步可逆，否如此是无效的。用逆证法来证明命题“假如A如此D的过程是i假设D成立，且DCBAii上面推理的每步可逆，即DCBA这两步缺一不可。i)证的是每后一步是前一步的必要条件;(ii)的每后一步是前一步的充分条件。就整体而言，逆证法的每一步都是

63、充要的。在使用分析法时，应注意与逆证法的区别，二者不可混为一谈。间接证法不是直接证明论题的真实性,而是考虑证明它的等价命题。同一法。根据同一法如此知,当命题的条件和结论所指的概念是同一概念时，其逆命题与原命题等价。在这种情况下，证题时往往先构造论题的逆命题，并且证明这个逆命题的真实性，然后指出逆命题中题设所指的对象与原命题结论所指的对象是同一对象,从而肯定原命题的真实性,这种证明方法称为同一法。反证法。假设题断的反面成立，在条件和“否认题断这个新条件下,通过逻辑推理，得出与公理、定理、题设、临时假定相矛盾的结论或自相矛盾,从而断定题断的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的,这种证明方法就叫反证法。当题断的反面只有一种可能，这时的反证法叫做归谬法。假如题断的反面不止一种情况，就必须将诸情况加以一一驳倒,这种反证法就叫穷举法。数学概念的教学1数学概念的引入2011