高中数学2.5

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1、数学北师大版必修1路漫漫其修远兮吾将上下而求索 第二章函数 第二章5简单的幕函数1 课前自主预习3 易错疑难辨析2 课堂典例讲练4 课后强化作业島目课前自m预习二 4T *M情境引入导学数学史上很早就使用“幕”字，起先用于表示面、面积， 后来扩充为表示平方或立方.1859年我国清末大数学家李善兰 (18111882)译成代微积拾级一书，创设了不少数学专有 名词，如函数、极限、微分、积分等，并把“Power”这个词 译为“幕” 这样“幕”就转译为若干个相同数Z积.知能自主梳理1. 帑函数如果一个函数，底数是_自变量X,指数是_常数Q ,即y =H,这样的函数称为幕函数.2. 奇函数与偶函数(1)

2、 -般地，图像关于陳占对称的函数叫作奇函数.在奇函数/O)中，/W与/(力绝对值 相等,符号相反 ,B|J/( x= fM : 反之，满足.兀一x)=./U) 的函数y =/W定是奇函数.(2) -般地，图像关于 y轴对称的函数叫作偶函 数.在偶函数/)中，./W与人一力的值相筲,即人一兀)= ,/l.v):反之，满足/1一兀)=心)的函数y=/i定是偶函数.(3) 当函数您0是奇函数或偶函数时，称函数/匕)具有 奇偶性.3. 幕函数性质与图像所有的寤函数在()，+0,则慕函数的图像还过一 (0.0),并在区间0, +oo)上 递增：如果avO,则幕函数在区间0, +oo)上递减在第一象限内，

3、当/从右边趋向于原点时，图像与丫轴无限接近当K體向于+oo时,图像与x轴无限接近呼5预习效果展示1 .下列所给函数中,是幕函数的是(A. y=x3C y=xB. y=3xD. y=jc 1答案C解析幕函数的形式为y = 只有C符合.2.寤函数y=x（aeR）的图像一定不经过（）A第四象限B第三象限C第二象限D.第一象限答案A解析VaR,兀0,=00,；图像不可能经过第 四象限，故选A.3 T1Ty7T C ? 一O12x4. 如图给出奇函数y=/W的局部图像，贝肌一2)的值是3答案扌3解析由图像知/(2) =3又7U)为奇函数，/( - 2)= -人2)=-5. 幕函数y=/(x)的图像过点(

4、4,2),贝”的值等于答案22解析设心)=屮，点(4,2)在爲函数图像上,/. 2 = 4, = 2./U) = 2/2.j课堂典例讲练对幕函数定义的理解例题1函数心）=（加2加一5）屮-1是幕函数，且当兀三（0, +8）时，爪兀）是增加的，试确定加的值.思路分析由己知人兀）是幕函数，且x0时是增加的，口J 先利川幕函数的定义求加的值，再利川单调性对求出的加值进 行验证.规范解答根据幕函数的定义得m2 - m - 5 = 1,解得加 3或加=- 2.当加=3时，= F在(, +8)上是增加的； 当加=- 2时，/(%) = x3在(0, +8)上是减少的， 不符合题意.故m = 3.规律总结形

5、如y=H的函数叫幕函数，这里需有： 系数为1；指数为一常数；后面不加任何项.这是判断一 个函数是否为篆函数的重要依据和唯一标准，对本例来说，还 要根据单调性验根，以免产生增根.跟踪练习下列函数为幕函数的是()2A. y=2x3 1B y=D. y=2x2答案C解析J A、B、D都是鬲函数经过变化得到的函数，C中,命题方向金扇函数的图像与性质例题2讨论下列函数的定义域、值域、奇偶性，并作出函数图像.(l) y=x4；(2)y=x:(3)y=x 3.思路分析I把分数指数鬲化为根式，并使根式有意义.规范解答(1)函数的定义域为R,值域为0, +8).设因为函数的定义域关于坐标原点对称，且几- X)=

6、 ( -x)4 = x4 =fx)y所以函数y = x是偶函数，因此函数图像 关于y轴对称，如图(1)所示.(2) 函数的定义域为0, +8),值域为0, +8).因为函数的定义域关于坐标原点不对称，所以函数y = *既 不是奇函数也不是偶函数.其图像如图(2)所示.(3) 函数的定义域为(一8, 0)U(0, +8),值域为(一8, 0)U(0,十 8).设y=/u),因为函数的定义域关于坐标原点对称，且 X)= (x) 3=X_3=/(X),所以函数y=x 3是奇函数，因此函 数图像关于坐标原点对称.如图(3)所示.规律总结1.画麻函数的图像时，可先画出其在第一象 限内的图像，再由定义域、

7、单调性、奇偶性得出在其他象限内 的图像.2.麻函数图像的特征：(1) 在第一象限内，直线乂=1的右侧，y = 2的图像由上到 下，指数a由大变小；在第一象限内，直线兀=1的左侧，y = 的图像由上到下，指数a由小变大.(2) 当a0时，麻函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点，在第一 象限内，当0val时，曲线上凸；当aNl时，曲线下凸；当avO 时，探函数的图像都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸.跟踪练习如图，图屮曲线是星函数y=f在第一象限的大致图像.已知a取一2, 2四个值，则相应于曲线Cp C2, C3,C4的a的值依次为()A._2,B2,号，2C.12一2,2, D. 2

8、, -2,函数奇偶性的判定答案B解析解法1:在第一象限内，在直线x= 1的右侧，y 的图像由上到下，指数a由大变小，故选B.解法2:赋值法.令兀=4,则4 J 器，4；,车=2,4?=16,易知选B.例题3判断下列函数的奇偶性.(lg)=G (2g)=/11 x2(3金)=1汕(4)/(x) =思路分析确定函数的奇偶性，首先确定其定义域是否 关于原点对称，然后化简解析式，要注意等价转化再验证f(x) 与fi-x)的关系.J规范解答(1)7W的定义域为0, +8),不关于原点 对称，故/U)=心为非奇非偶函数.(2) 7U)=J?的定义域为R,关于原点对称且/(-x) = (-x)3 =-x3=

9、 -Ax)，.-./(x) = X3 为奇函数.(3) 70) = 1x1的定义域为R,关于原点对称且/( -x) = I -xl n*/(%) = Lvl为偶函数.lWxWl 且 xHO定义域关于原点对称.T 一 1 WxW 1 且兀H0,二 lx + 21 2 =规律总结函数奇偶性的方法判断（1）定义法注意：利川定义判断函数奇偶性时，首先应看函数的定义域是否关丁-原点对称.（2）在选择、填空题屮，也可以用如下性质判断函数奇偶 性： 偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数； 奇函数的和、差仍为奇函数； 奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇（偶）函数; 一个奇函数与一个偶函数的

10、积为奇函数.+ lx +II =/W，因此，函数/U)是偶函数.跟踪练习判断卜列函数的奇偶性 代刈=五二2+冷2x；(2) /(兀)=寸 1 F+yx2 ；(3) /W = lx+ll + Lrll；x(4用)=冲解析(iyu)的定义域为2,不关于原点对称.因此， 函数7U)为非奇非偶函数.(2J/U)的定义域为 - 1,1,且fix) = 0,几-1) = 0, AD = 0.A-1) = A1),且爪一1)= -XD.因此，函数/U)既是奇函数，又是偶函数.的定义域为 R,又几一对=1-兀+ ll + 1-x- ll = lx- II（4）由/一 1H0 得兀Hl,函数的定义域为;dxHl

11、,定义域关于原点对称，T XX又求-）=（-才-厂-厂T 如函数/U）为奇函数.二 0,则-xvO.*/( - X)= ( - X)2 - 1 = X2 - 1=-(-x2 +1)= 一 用)又任取xvO,则-x0.*./( -X)= - ( - X)2 + 1 = -X2 + 1=-(x2 -1)= n对 x ( - , 0) U (0, + 8)都有-x) = -fix)成立.函解法 2: Ax)= V : 1x (0,+ 8)0)数/U）为奇函数.即 /W = 1x1( - X + )(兀H0),则 /(_*) =出(兀 _ )1划(_% + )= -fix)./W为奇函数.规律总结1

12、.判断分段函数的奇偶性，必须分段考虑.2.若分段函数是奇函数或偶函数，常用含绝对值符号的函数表达式来表示.很踪练习x2+2(x0)判断函数几0= o(X=O)的奇偶性.x22 (x0 时，_ xvO, /( - x) = - ( - x)2 - 2 = - x2 - 2 = - (x2 +2) = _/W，当 x0, /(-%) = (- x)2 + 2= x2 + 2 = - ( - x2 2)- 7W当 x = 0 时，/（O） = 0,即 x = 0 时，/（ 一 x） = -fix）.综上所述，xR,有/（-X）= -fix）,故该函数为奇函数.函数的奇偶性与单调性的综合应用二 M命题

13、方向。例题5 设定义在-2,2上的奇函数/（兀）在区间0,2上是 减少的，若/）+爪加一1）0,求实数加的取值范围.I思路分析|坎加）+/（加l）0|f 川一加）今）IT根据单调性列不等式组 -I求解得加的取值范围规范解答由几加）+人加- 1）0,- 1）,即几1 -1WW3,一 2Wn?W2,1mm,解得- 1W加vg跟踪练习已知函数，=/（兀）是1上的偶函数，且在（一8, 0上是减少 的，若/（d）次2）,求实数4的取值范围.二 MM解析解法1:因为y=f（x）在R上为偶函数，且在（-oo,0上是减少的,所以在0, +oo）上为增加的. 当泾0时，因为皿，所以必2. 当4三0时，因为人X）

14、为偶函数,所以皿）=风-2）又因为几0次2）,所以心）次- 2）.而几0在（-8, 0上为减少的，所以必-2. 由可得衣- 2或血2.解法2:因为几朗在R上为偶函数且在（-8, 0上为减少 的，所以y=yw在0，+8）上是增加的.因此由爪）次2）得ldlN2,解得衣-2或左2即a的取值范围为aS - 2或左2易错疑难辨析例题6错解将解析式变形为：/W =-叮(1 _ a/(i +力(1 - x)=-1 - X2.因为f(-x) =f(x),所以./Cx)为偶函数.辨析没有考虑函数的定义域，且在变形时，也出现了 错误.事实上，（X - 1）、）七+= -f（l - ）2二:只有当兀- lvO 时才成立.=- X2.正解由口三0得xGl,l）,函数/U）的定义域为-1,1）,不关于原点对称，故函数 /U）是非奇非偶函数.规律总结判断函数奇偶性的步骤：（1）求函数定义域，若定义域关于原点对称，执行（2）,否则 下结论：函数为非奇非偶函数.（2）判定a-v）与关系.3. fix）=x3 + 的图像关于（）A.原点对称B. y轴对称C. y=x对称D.歹=一兀对称答案A解析7（ _ 朗=（-窃 + 士 = x2x= -/（），函数/U）为奇函数，图像关于原点对称.