空间向量讲义

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1、空间向量教学讲义教学内容【新授课知识讲解】知识要点。1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 ;运算律：加法交换律：加法结合律：数乘分配律：3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。当我们说向量、共线（或/）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。（

2、2）共线向量定理：空间任意两个向量、（），/存在实数，使。4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存

3、在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。 （3）空间向量的直角坐标运算律：若，则， ， 。若，则。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（4）模长公式：若，则，（5）夹角公式：。（6）两点间的距离公式：若，则，或 7. 空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：。（2）向量的模：设，则有向线段的长

4、度叫做向量的长度或模，记作：。（3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。（4）空间向量数量积的性质：。（5）空间向量数量积运算律：。（交换律）。（分配律）。【典型例题】在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，则a(bc)的值为()A1B0C1 D2(2012太原高二期末)设空间有四个互异的点A，B，C，D，已知(2)()0，则ABC是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形已知i、j、k是两两垂直的单位向量，a2ijk，bij3k，则ab等于_已知|a|2，|b|，且a与2ba互相垂直，则a与b的夹角大小为_5.已知|a|3，|b|4，ma

5、b，nab，a，b135，mn，则_6.已知空间向量a，b，c两两夹角都是60，其模都是1，则|ab2c|_【典型例题】.已知a(1，2，1)，ab(1，2，1)，则b等于()A(2，4，2)B(2，4，2)C(2，0，2) D(2，1，3).已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且ijk，则B点的坐标为()A(1，1，1) B(i，j，k)C(1，1，1) D不确定已知空间三个向量a(1，2，z)，b(x，2，4)，c(1，y，3)，若它们分别两两垂直，则x_，y_，z_已知ABC的三个顶点为A(3，3，2)、B(4，3，7)、C(0，5，1)，M为BC

6、的中点，则|_5.已知向量a(4，2，4)，b(6，3，2)，则下列结论正确的是()Aab(10，5，6)Bab(2，1，6)Cab10D|a|66.(2012武汉高二检测)已知向量a(2，3，5)与向量b(4，x，y)平行，则x，y的值分别是()A6和10 B6和10C6和10 D6和107.向量a(2，3，)，b(1，0，0)，则cosa，b()A0 B.C. D.8.(2012台州高二期末)已知a(2，1，1)，b(1，4，2)，c(，5，1)，若向量a，b，c共面，则_9.已知空间四点A、B、C、D的坐标分别是(1，2，1)，(1，3，4)，(0，1，4)，(2，1，2)，若p，q.求

7、(1)p2q；(2)3pq；(3)(pq)(pq)10.已知a(cos，1，sin)，b(sin，1，cos)，则ab与ab的夹角是()A90 B60C30 D011.已知a(1t，1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值是()A. B.C. D.12.已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(1，0，1)，(2，1，1)，点P的坐标为(x，0，z)，若，则点P的坐标为_13.已知向量a(1，3，2)，b(2，1，1)，以及点A(3，1，4)，B(2，2，2)(1)求|2ab|；(2)在直线AB上是否存在一点E，使b(O为原点)【题型介绍】 这章学习的内容是在平面向量的基础上进一步

8、去学习的，在高考也是重点内容，固定一道大题，外加不定的选择和填空题，所以学好这章极为重要。【课堂训练】 .设直线l1的方向向量为a(2，1，2)，直线l2的方向向量为b(2，2，m)，若l1l2，则m()A1B2C3 D3已知线段AB的两端点的坐标为A(9，3，4)，B(9，2，1)，则线段AB与哪个坐标平面平行()AxOy BxOzCyOz DxOy与yOz设O为坐标原点，(1，1，2)，(3，2，8)，则线段AB的中点P的坐标为_已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，x，则x的值为_5.设两条直线所成角为(为锐角)，则直线方向向量的夹角与()A相等 B互补C互余 D相等或互补6.已知

9、A、B、C三点的坐标分别为A(4，1，3)、B(2，5，1)、C(3，7，)，若，则等于()A28 B28C14 D147.l1的方向向量为v1(1，2，3)，l2的方向向量v2(，4，6)，若l1l2，则等于()A1 B2C3 D48.已知两异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，若cosv1，v2，则l1与l2所成角为_9.若(，R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是_10.已知A(2，1，0)，点B在平面xOz内，若直线AB的方向向量是(3，1，2)，求点B的坐标11.已知直线l1的方向向量a(2，4，x)，直线l2的方向向量b(2，y，2)，若|a|6，且ab，则xy的值是()

10、A3或1 B3或1C3 D112.正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是()A90 B60C45 D3013.已知直线l的方向向量v(2，1，3)，且过A(0，y，3)和B(1，2，z)两点，则y_，z_14.已知正方体AC1中，O1为B1D1的中点，求证：BO1平面ACD1.【巩固训练】若n(2，3，1)是平面的一个法向量，则下列向量中能作平面法向量的是()A(0，3，1)B(2，0，1)C(2，3，1) D(2，3，1)若平面与的法向量分别是a(1，0，2)，b(1，0，2)，则平面与平面的关系是()A平行 B

11、垂直C相交但不垂直 D无法判断平面，的法向量分别为m(1，2，2)，n(2，4，k)，若，则k等于_已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的单位法向量坐标为_【巩固训练】若直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面的法向量为u(4，0，8)，则()Al BlCl Dl与斜交已知平面上的两个向量a(2，3，1)，b(5，6，4)，则平面的一个法向量为()A(1，1，1) B(2，1，1)C(2，1，1) D(1，1，1)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1ACC1的一个法向量可以是()A.B.C.D.已知l，且l的方向向量为(2，m，1)，平面的法向量为

12、，则m_在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，则与平面A1D1F的关系为_如图，ABCD是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，求平面SCD的一个法向量已知平面过点A(1，1，2)，法向量为n(2，1，2)，则下列点在内的是()A(2，3，3) B(3，3，4)C(1，1，0) D(2，0，1)(2012杭州高二检测)直角三角形ABC的直角边AB在平面内，其中B为直角，顶点C在外，且C在内的射影为C1(C1不在AB上)，则ABC1是()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D以上都有可能如图所示，已知矩形ABCD，AB1，BCa，PA平面

13、ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQQD，则a的值等于_在四棱锥P-ABCD中，已知PA平面ABCD，PBA60，底面ABCD是直角梯形，ABCBAD90，ABBCAD.求证：平面PCD平面PAC.【课堂回顾】1了解空间向量的基本概念；掌握空间向量的加、减、数乘、及数量积的运算；了解空间向量共面的概念及条件；理解空间向量基本定理.2理解空间直角坐标系的概念，会用坐标来表示向量；理解空间向量的坐标运算.【课后作业】平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的2倍，则斜线与平面所成角的大小为()A30B60C45 D120若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于(

14、)A120 B60C30 D以上均错若平面的一个法向量为n(3，3，0)，直线l的一个方向向量为b(1，1，1)，则l与所成角的余弦值为_在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD1与平面A1B1C1D1所成角的正切值为_5.直线l与平面所成角为，直线m在平面内且与直线l异面，则直线l与m所成角取值范围为()A， B0，C， D，6.正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.7.AB平面于B，BC为AC在内的射影，CD在内，若ACD60，BCD45，则AC和平面所成的角为()A90 B60C45 D308.如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射

15、影的方向向量分别是a(0，2，1)，b(，)，那么这条斜线与平面的夹角为_9.已知空间四边形ABCD各边和对角线的长都相等，那么AC与平面BCD所成角的正弦值为_10.正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角11.正方体ABCDA1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为()A. B.C. D. 12.如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M、N分别为PC、PB的中点，则BD与平面ADMN所成的角为()A30 B60C120 D15013.等腰RtABC的斜边AB在平面内，若AC与成30角，则斜边上的中线CM与平面所成角的大小为_