电力系统动态潮流计算及网络拓扑分析参考模板

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1、TM734分 类 号： 单位代码： 10422密 级： 学 号： 200413208硕 士 学 位 论 文论文题目：电力系统动态潮流计算及网络拓扑分析作者姓名张国衡专业电路与系统指导教师姓名专业技术职务王良 副教授 2007 年 5 月 15 日 80 / 83目 录摘要1Abstract2第1章 绪论31.1 课题背景31.2 潮流计算的基本要求和要点31.3 潮流计算程序的发展41.4 动态潮流算法的提出5第2章 潮流计算的数学模型62.1 节点网络方程式62.2 电力网络方程的求解方法82.3 潮流计算的定解条件11第3章 P-Q分解法的基本潮流算法133.1 牛顿拉夫逊法的基本原理13

2、3.2 极坐标下的牛顿-拉夫逊法潮流计算153.3 P-Q分解法的原理183.4 P-Q分解法的特点203.5 P-Q分解法的潮流计算步骤21第4章 基于电网频率计算的动态潮流224.1电力系统的频率特性和一次调频234.2频率计算274.3微分方程的求解284.4频率计算和潮流计算的联合30第5章 基于面向对象的动态潮流程序325.1 面向对象的编程思想325.2 对象模型的建立325.3 类的处理和实现345.4 生成应用程序405.5 算例分析425.5 一次调频的手工算例465.6 结论48第6章 电力系统的网络拓扑分析496.1 离线数据准备496.2 网络拓扑分析506.3 电网拓

3、扑分析的例题536.4 拓扑分析和潮流计算的接口56第7章 动态潮流综合算例分析577.1 程序流程图577.2 型考题综合算例597.3 华北电网综合算例637.4结束语65参考文献66附录67致谢78攻读硕士学位期间发表的学术论文79电力系统动态潮流计算及网络拓扑分析摘要电力系统潮流计算是电力系统规划设计与运行分析的基本工具。通过几十年的发展，潮流算法日趋成熟。但由于电网的复杂性，传统的潮流算法依然存在着一些方面的局限性。在电网各种运行方式中，节点注入功率的改变特别是节点注入停运将使系统节点有功、无功注入发生较大的变化,使系统功率出现严重不平衡，而使以往的潮流计算方法在计算这种情况下往往会

4、出现收敛性差、计算结果与实际不符的情况。本文提出的动态潮流算法，主要是在常规潮流计算的基础上考虑了负荷和发电机的静态频率特性，其核心是潮流计算和频率计算。在动态潮流计算中，系统中由于功率扰动（切负荷、发电机增减出力）而产生的不平衡功率按照各发电机和负荷的功频静特性系数在多台发电机及负荷之间进行分配，得到调整后的发电机出力和负荷的大小以及系统的频率连续变化的情况，这克服了常规潮流算法中由平衡节点独自承担不平衡功率而导致潮流收敛性差、结果和实际不符的情况。显然，相对于常规潮流算法来说，动态潮流算法能够对系统运行的实际情况进行更有效的模拟，是一个较大的进步。电力系统在正常运行情况下，可用电力系统状态

5、参数之间的代数方程组来描述其某个特定运行状态。包括潮流计算的许多程序都是以导纳矩阵为基础的。而结点导纳矩阵又是随网络拓扑而变，若不能及时而准确地随着开关所处状态实时变化而修改网络拓扑结构，就会造成分析计算结果的错误。本文将电力系统网络拓扑分析和电力系统的动态潮流两个问题衔结起来，构成一个整体。可实时地随着开关等电气元件信息的变化，进行动态潮流计算，这在工程实际中也有非常广泛的应用。论文还通过典型算例系统的仿真，分析了动态潮流算法的合理性，说明了新算法为准确分析电力系统随负荷变化后的潮流状态提供了一种比较理想的工具。并应用动态潮流和网络拓扑分析成功的模拟了电网的解列和并网操作。关键词：动态潮流；

6、P-Q分解法；稀疏矩阵；节点导纳矩阵；因子表；频率静特性；网络拓扑分析Investigation on Dynamic Load Flow and Network Topological AnalysisAbstractPower flow calculation is a basic tool for system programming and operational analyzing in power system. The algorithm has been put forward by the deep research of researchers in and abroad

7、for several decade years. But because of the complexity of power system ，more or less the traditional algorithms have some certain limitations. The traditional load flow isnt easy to converge when a large unbalance power exists which coursed by the change of node injection power. And the result does

8、nt conform to the reality.The dynamic load flow model be put forward in this paper is to have been considered the frequency static characteristic of load and generator on the foundation of traditional load flow, the core is flow calculation and frequency calculation. In dynamic load flow calculation

9、 the unbalance power which coursed by the change of node injection power is distributed according to the frequency static characteristic of each generator between all generators, and gets the change of systematic frequency follow load as well as generators active power. So, it has surmounted the con

10、dition that flow convergence to be not good and result is inconsistent with reality which since balanced node undertakes unbalanced power alone in traditional load flow. Obviously, relative to traditional load flow, dynamic load flow algorithm can go on for the actual condition that system runs, is

11、more effective and simulated, it is a great advance.A lot of power programs that include flow calculation are basic with bus admittance matrix. And bus admittance matrix is also to make rubbing with the change of network topological structure. If we can not modify network topological structure in ti

12、me accurately along with the switch located state change of real time to make rubbing，will cause result mistake. The thesis links up dynamic load flow analysis and network topological analysis in power system as a whole to take dynamic load flow calculation of real time. This project has broad appli

13、cation in practice.The thesis also validates the rationality of the dynamic power flow algorithm through emulating on a typical system. The result indicates that the new algorithm has provided a more ideal tool for analyzing the power flow state of power system after the change of system loads well

14、and truly。Finally we have simulated untie row and parallel operation of electrical network successfully according to the theory of dynamic load flow and network topological analysis.Key words：Dynamic load flow, P-Q decomposition method, Sparse matrix, Bus admittance matrix,Factor table,Frequency sta

15、tic characteristic; Network topological analysis第1章 绪论1.1 课题背景 当今，电能以其清洁、高效、便于输送等突出优点，己经成为全球广泛使用的最主要能源，在社会经济的发展中起到举足轻重的作用。电力系统是当今世界最庞大的人工系统，它包括发电、输电、配电、用电四个环节，对其运行的最基本要求有三点:保证安全可靠的供电、要有合乎要求的电能质量、要有良好的经济性。随着国民经济的进一步发展，社会各部门对电力系统的发展提出了更新、更高的要求，当今电力系统正向着超高压、大容量、远距离的输电方式发展，全国电网区域互联也成为一种必然的趋势，这样的发展趋势在很大程

16、度上提高了系统运行效率，增加了经济效益，促进了对能源的合理开发和利用，减轻了对环境保护的压力，但同时也给电力系统的安全运行带来了新的问题。经过近几年的技术改造和升级，大多数电网数据采集与监控（SCADA）系统都已通过实用化验收。在此基础上，对电力系统调度自动化的要求也不断提高，能量管理系统（EMS）在调度中心的应用逐步走向实用化。一个实用化的能量管理系统包括：数据库管理系统、人机管理系统、经济调度系统、网络管理系统和高级应用软件系统，五大部分有机地结合在一起，为用户提供服务1。其中，高级应用软件系统是整个能量管理系统的灵魂，只有它的正常工作才可以为用户提供分析与控制服务。高级应用软件系统又由实

17、时网络状态估计、在线潮流、安全分析、最优潮流等可以不断延伸的各种分析与控制功能组成。在这些众多功能中，潮流计算是基本的工具，它根据给定的运行条件及系统接线情况确定整个电力系统各部分的运行状态，是电力系统运行、规划以及安全性、可靠性和优化的基础，也是各种暂态分析的基础和出发点。现代电力系统规模庞大，结构复杂，其规划、设计和运行均需借助电子计算机进行潮流计算分析。近几十年来，随着电力系统规模的不断扩大与结构的日益复杂、电力系统自动化水平的提高和计算机技术的日新月异，电力系统潮流的计算机算法也在不断地进步与更新。但是，从计算效率、收敛性以及对实际系统的有效模拟程度等各个方面综合起来看，现有的诸多潮流

18、算法仍然存在不少尚待解决的问题。所以，还需对电力系统潮流进行更深入的研究，发展更加完善的潮流算法，以满足处于不断扩大与更新中的当代电力系统的需求。1.2 潮流计算的基本要求和要点 潮流计算随计算性质不同而有不同的要求，如长距离输电、区域性网络、城市配电网络等都有不尽相同的要求，但仍有其共同的基本要求。首先是不同类型的网络在各种运行方式下，网络各节点的电压水平应符合有关规定。其次如网络中各线路的潮流分布不应有线路过载等。 对潮流计算的分析主要根据计算的目的而定。在电力系统运行方式中一般含高峰负荷和低谷负荷时运行方式下，在具有水力发电厂的电力系统中根据水电厂水文特点又有丰水期、平水期、枯水期的运行

19、方式，此外，也需要研究事故运行方式和各种特殊运行方式。 在潮流计算中首先应效验网络枢纽点的电压水平及网络各节点的电压是否满足要求，其次效验各发电厂发电机的有功及无功出力是否符合技术要求，另外根据计算的要求对各线路、变压器的潮流进行分析。1.3 潮流计算程序的发展电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的一项基本运算，其数学本质是一组多元非线性方程，主要采用迭代的方法求解。电力系统潮流计算从提出至今，经历了一个由手工，利用交、直流计算台到应用数字电子计算机的发展过程，现有的潮流算法都以计算机的应用为前提。由于潮流计算在电力系统分析研究中具有重要的地位，吸引了大量的专家学者对其进行了研究，针对各

20、种实际情况以及特殊需求，发展了多种用于电力系统潮流计算的计算机算法。 在现有的潮流算法之中，最早出现的是常规潮流算法，其它潮流算法都是根据不同的实际需求在常规潮流的基础上发展起来的。利用电子计算机进行电力系统潮流计算始于上个世纪 50年代中期，最初以节点导纳矩阵为基础进行迭代，其原理简单，易于编程实现，同时由于导纳矩阵是稀疏矩阵，对计算机内存需求不大。但是此法收敛性较差，其迭代次数会随着系统规模的扩大而急剧增加，易出现不收敛的情况。在这种情况下，出现了基于阻抗矩阵的迭代方法，大大改善了潮流计算的收敛性，可以求解一些用导纳法无法收敛的潮流问题。但是，阻抗矩阵是满秩矩阵，不但占用内存大，而且每次迭

21、代所需的计算量也比较大，这就引入了新的问题。随后出现的分块阻抗法，它将一个大系统分为若干小系统，只需存储各个小系统的阻抗矩阵以及它们之间联络线的阻抗，此法能够在一定程度上克服阻抗法对内存需求大以及计算效率低的缺点。为了使潮流算法得到进一步的完善，数学中求解非线性问题的经典方法 牛顿-拉夫逊方法也被引入到了电力系统潮流计算当中，它以导纳矩阵为基础，其方程有直角坐标和极坐标两种形式，在不同的应用情况下各有所长。相对于阻抗法来说，它在保证良好收敛性以及计算精度的前提下，降低了对计算机内存的需求，提高了运算速度。正因如此，牛顿一拉夫逊法至今仍然是使用最为广泛、效果最好的一种潮流计算方法，也是目前所有潮

22、流计算机算法中最为成熟的一种方法。此后，由牛顿-拉夫逊法的极坐标形式经过一定的简化和改进而得到的PQ分解法 (又称改进牛顿法)，也是一种性能比较优越的潮流计算方法，它根据电力系统的特点，抓住主要矛盾，以有功功率误差作为修正电压相角的依据，以无功功率误差作为修正电压幅值的依据，使有功功率和无功功率迭代分开进行，不但降低了修正方程组的阶数，而且使雅可比矩阵的元素在整个迭代过程中维持常数，不必在每次迭代时重新求解，因而在运算速度方面较以前的潮流算法有了很大的突破。由于速度上的明显优势，PQ分解法还可以用于在线计算2。 目前，常规潮流算法仍然大量地应用于电力系统各个领域，但由于其模型过于简单，不能全面

23、考虑系统运行时多方面的实际情况，同时选择不同的发电机节点作为平衡节点亦会使所得的潮流结果存在差异，因而在一些特殊的场合以及特定需求下，产生了以常规潮流为基础，而又在某些方面具有特殊功能的其它潮流算法。1.4 动态潮流算法的提出 常规潮流截取某一时间断面进行计算，其前提是假设系统中功率绝对平衡，全部发电机的输出功率正好等于所有负荷功率与网损之和。然而，实际的电力系统是一个动态的系统，各处的负荷时刻都在发生变化，为了达到供需平衡，系统中发电机的有功输出总体上跟随负荷的变化而变化。在电力系统中，供需恰巧平衡，不存在不平衡功率，频率不发生变化的情况是极为罕见的。通常情况下，都是供需大体平衡，系统存在着

24、不平衡（有功）功率，这将导致系统频率发生变化。本文试图在常规潮流计算的基础上引进频率计算模块，通过发电机和负荷的一次调频来动态分配电网的功率扰动所产生的不平衡功率，改造后的潮流算法称之为动态潮流算法。动态潮流主要是在常规潮流计算的基础上考虑了负荷和发电机的频率动态特性，其核心是潮流计算和频率计算。在动态潮流计算中，系统中由于功率扰动（切负荷、发电机增减出力）而产生的不平衡功率按照各发电机和负荷的功频静特性系数在多台发电机及负荷之间进行分配，得到调整后的发电机出力和负荷的大小以及系统的频率连续变化的情况，这完全克服了常规潮流算法中由于平衡节点选取的差异而导致潮流结果不同的情况。显然，相对于常规潮

25、流算法来说，动态潮流算法能够在一段时间范围内对系统运行的实际情况进行更有效的模拟，是一个较大的进步。程序为了进一步仿真电力系统的扰动，还添加了拓扑分析模块，模仿大电网由于支路开关的断合而导致的系统解列、并网的过程，并能对各个子系统进行潮流计算和频率计算，通过对小系统分析处理完成子网的并网。第2章 潮流计算的数学模型 应用电子计算机对电力系统进行分析计算时，需要掌握电力系统的数学模型，计算方法和程序设计三个方面的知识，在这一章里我们将介绍潮流计算的数学模型和计算方法。电力系统的数学模型是对电力系统运行状态的一种数学描述。通过数学模型可以把电力系统中物理现象的分析归结为某种形式的数学问题。2.1

26、节点网络方程式 电力网络的运行状态可用节点方程来描述，节点方程以母线电压为待求量，母线电压能唯一地确定网络的运行状态。知道了母线电压，就可以算出母线功率、支路功率和电流。电力系统计算通常采用节点方程。 在图2-1(a)的简单电力系统中，若略去变压器励磁功率和线路电容，负荷用阻抗表示，便可得到一个有5个节点（包括零电位点）和7条支路的等值网络，如图2-1(b)所示。将接于节点1和4的电势源和阻抗的串联组合变换成等值的电流源和导纳的并联组合，便得到图2-1(c)所示的等值网络，其中和分别称为节点1和4的注入电流源。 2 41 y24 y12 y23 y34 3 I 1 I 4 y10 y20 y4

27、0 (c) 2 41 y24 y10 y12 y23 y34 y40+ 3 + Y20_ _ (b) 2 41 3 (a)E1E4图2-1电力系统及其等值网络以零电位作为计算节点电压的参考点，根据基尔霍夫电流定理，可以写出4个独立节点的电流平衡方程如下：y101 + y12(1-2)= 1 y12(2-1) + y202+ y23(2-3) + y24(2-4)= 0 y23(3-2) + y34(3-4)= 0 （2-2）y24(4-2) + y34(4-3) + y404= 4 上述方程组经过整理可以写成：Y111+Y122=1Y121+Y222+Y233+ Y244= 0 Y232+Y3

28、33+Y344= 0 （2-2） Y422+Y433+Y444=4 式中 Y11=y10+y12 ；Y22= y20+y23 +y24+y12 ；Y33= y23+y34 ；Y44= y40 +y24+y34 ；Y12= Y21= -y12 ；Y23= Y32= -y23 ；Y24= Y42= -y24 ；Y34= Y43= -y34 ；一般地，对于有n个独立节点的网络，可以列写n个节点方程Y111+Y122+ +Y1nn=1 Y211+Y222+ +Y2nn=2 （2-3）Yn11+Yn22+ +Ynnn=n也可以用矩阵写成 （2-4） 或缩写为矩阵称为导钠矩阵。导纳矩阵的形成可以归纳以下几

29、点：1）导纳矩阵的阶数等于电力电力网络的节点数。2）导纳矩阵各行非零非对角元个数等于对应节点所连接的不接地支路数。3）它的对角线元素Yii称为节点的自导纳，其值等于接于节i的所有支路导纳之和。4）非对角线元素Yij称为节点i、j间的互导纳，它等于直接接于节点i、j间支路导纳的负值，若节点i、j间不存在直接支路，则有Yij=0（由此可知节点导纳矩阵是一个稀疏的对称矩阵）。按照以上原则，则无论电力网络如何复杂，都可以根据给定的输电线路参数和接线拓扑直接求出导纳矩Vp I p I pq Z pq Iq V qp q I p0 Zp0 Iq0 Z q0 2-2 变压器支路等值电路 P Z 1:k q阵

30、。对含变压器的支路，根据型等值电路3，可以求出节点p、q的自导纳和互导纳分别为：Ypp=1/kz +（k-1）/kz=1/z Yqq=1/kz + (1-k) /k2z=1/k2z （2-5）Ypq= Yqp =-1/kz电力网络通常是由相应的节点导纳矩阵来描述的。在现代电力系统分析中，我们需要面对成千上万个节点及电力网络所连接的电力系统。对电力网络的描述和处理往往成为解决有关问题的关键。电力网络的导纳矩阵具有良好的稀疏特性，可以用来高效处理电力网络方程，是现代电力系统分析中广泛应用的数学模型4。2.2 电力网络方程的求解方法2.2.1 用高斯消去法解网络方程目前电力网络方程主要用高斯消去法求

31、解5。高斯消去法求解线性方程组由消去运算和回代运算两部分组成。消去运算又叫前代运算，可按行也可按列进行，同样回代运算也可按行或列进行。通常采用“消去按列，回代按行”的方式进行。设有n阶线性方程组AX=B。其中矩阵A和向量B的元素可以是实数也可以是复数。由于消去运算只对A和B进行，因此可以把B作为第n+1列附在A之后，形成n(n+1)阶增广矩阵 （2-6）为了讨论方便就用aj，n+1替代了bj (j=1,2,n)。首先讨论按列消去过程，它的运算步骤如下：第一步消去第一列。首先把增广矩阵的第一列规格化为：1 a12(1) a13(1) a1，n+1(1) （2-7） 式中a1j(1) =a1j /

32、a11 (j=2,3,n+1) 然后用式（2-7）所表示的行消去的第一列对角线下各元素a21 a31 an1元素，结果使的第2n行其它元素化为aij(1) =aij ai1 a1j(1) (j=2,3,n+1; i=2,3,n) 式中：上标 (1)表示该元素第一次运算的结果。这时矩阵变为： 与之对应的方程组是A1X=B1，它与AX=B同解。矩阵未标出的元素为零。第二步，消去第二列，步骤同上。一般地，在消去第k列时要做以下的运算akj(k) =akj(k-1) / akk(k-1) (j=k+1,n+1) （2-8）aij(k) =aij(k-1) aik(k-1) akj(k) (j=k+1,

33、n+1; i=k+1,n) （2-9）经过对矩阵的n次消去运算，即k从1依次取到n按式(2-8) 、(2-9)运算使矩阵A对角线以下的元素全部转化为零，从而得到增广矩阵 （2-10）与之相对应的方程组是AnX=Bn，即 （2-11）它与AX=B同解。现在来讨论按行回代过程。对于方程组（2-11）回代运算自下而上进行。首先由第n个方程可知xn=an,n+1(n)。然后将xn代入第n-1个方程，解出 xn-1=an-1,n+1(n-1) - an-1,n(n-1) xn再将xn-1和xn代入第n-2个方程可解出xn-2。一般地把已求出的xi+1，xi+2 ,xn代入第i个方程，即可求出xi=ai,

34、n+1(i) ai,j(i) xj (i=n,2,1) （2-12） 这就是回代的一般公式。2.2.2 利用因子表法在实际计算中，常常遇到这种情况：对于方程组AX=B需要多次求解，每次仅改变其常数项B，而系数矩阵A通常是不变的。这时，为了提高计算速度，可以利用因子表对线形方程组求解。因子表可以理解为高斯消去法解线性方程过程中对常数项B全部运算的一种记录表格。高斯消去法分为消去过程和回代过程。回代过程的运算由对系数矩阵进行消去后得到的上三角矩阵元素确定。见式（2-10）。为了对常数项进行消去运算（又称回代运算），还必须记录消去过程运算所需要的运算因子。消去过程又分为规格化运算和消去运算。由式（2

35、-8）、（2-9）可知，消去过程对常数项B中的第i个元素Bi的运算包括：bi(i)= bi(i-1)/ aii(i-1) (i=1,2.n) （2-13）bi(k)= bi(k-1) - aik(k-1) bk(k) (k=1,2.i-1) （2-14）将上式中的运算因子ai1, ai2(1) ，aik(k-1) ai,i-1(i-2)以及1/ aii(i-1)逐行放在下三角部分和式（2-10）的上三角矩阵元素合在一起，就得到因子表： （2-15）其中下三角及对角线元素可用来对常数项B进行(消去)前代运算，上三角用来进行回代运算。因子表也可写成如下的形式： （2-16）其中 不难看出，因子表式

36、（4-9）中下三角部分的元素就是系数矩阵在消去过程中曾出现的元素，因此只要把它们保留在原来的位置，并把对角线取倒数就可以得到因子表的下三角部分。而因子表的上三角部分的元素就是系数矩阵在消去完成后的结果。对于方程组，需要多次求解，每次仅改变其常数项B而系数矩阵A是不变的情况，应首先对其系数矩阵A进行消去运算，形成因子表。有了因子表，就可以对不同的常数项B求解。这时可以直接应用因子表中的元素，用下面的公式代替式（2-13）、（2-14）进行消去运算：bi(i)= bi(i-1)/ dii(i-1) (i=1,2.n) （2-17）bi(k)= bi(k-1) - likbk(k) (k=1,2.i

37、-1) （2-18）用以下公式代替式进行回代运算：xn=bn (n) ; xi=bi (i) ui,j xj (i=n,2,1) （2-19）2.3 潮流计算的定解条件 1 2SG1 SLD1 SG2 3 1 2 4S1 S2 3 图2-3简单电力系统及其等值电路电力系统由发动机、变压器、输电线路及负荷等构成。如上图2-3表示2.1节的简单电力系统的等值电路，其网络方程为 （2-20）节点电流可以用节点功率和电压表示： （2-21） 把（2-21）代入（2-20）可得： （2-22）这是一组复数方程式，而且是对于V的非线形方程，如果把实部和虚部分开便得到6个实数方程，但是每一个节点都有6个变量

38、：发电机发出的有功功率和无功功率，负荷需要的有功功率和无功功率，以及节点电压的幅值和相位（或对应于某一选定参考直角坐标的实部和虚部）。对于n个节点的网络，可列写2n个方程，但是有6n个变量。通常把发电机与负荷功率作为已知量，并把节点注入功率Pi=PGi-PLDi和Qi=QGi-QLdi引入网络方程，就成为4n个变量。这样，n个节点电力系统的潮流方程一般形式是： （2-23）或 （ i=1，2，n） （2-24）将上述方程式的实部和虚部分开，对每一个节点可得两个实数方程，但是变量仍有4个，既P、Q、V、。我们必须给定其中的2个，而留下两个作为待求变量，方程组式可以求解。根据电力系统运行条件，按给

39、定变量的不同一般将节点分为以下三种类型。1. PQ节点：这类节点有功功率P和无功功率Q给定，节点电压（V、）是待定量，通常变电所都是这一种类型的节点，由于没有发电设备，其发电功率为零。在一些情况下，系统中某些发电厂送出的功率在一定时间内为固定时，该发电厂母线也作为PQ节点，因此，电力系统的大多数节点属于PQ节点。2. PV节点：节点的P、V给定，Q、待求，这类节点必须得有足够的可调无功功率，用以维持给定的电压幅值，因此又称为电压控制节点。一般是选择有一定无功储备的发电厂和具有可调无功电源设备的变电所作为PV节点。在电力系统中这一类节点很少。3. 平衡节点：节点的V、给定，P、Q待求。在潮流分布

40、算出以前，网络中的功率损耗是末知的。因此，网络中至少有一个节点的功率不能给定，这个节点承担了系统的功率平衡，故称之为平衡节点6。另外必须选定一节点，其电压相位均为零，作为各节点电压的参考，这个节点称之为基准节点（其电压幅值给定）。为了计算方便，常将平衡节点和基准节点选为同一节点，可称之为平衡节点，平衡节点只有一个。它的电压幅值和相位已经给定，而其有功功率和无功功率待求。一般选择调频发电厂为平衡节点比较合理，但在进行潮流计算时也可按照别的原则来选择。从以上的讨论可以看到，尽管网络方程是线形方程，但是由于在定解条件中不能给定节点电流，只能给出节点功率，这就使潮流方程变为非线形方程了。由于平衡节点的

41、电压已经给定，所以平衡节点不参加求解。第3章 P-Q分解法的基本潮流算法 3.1 牛顿拉夫逊法的基本原理 首先介绍牛顿法，这是解非线性方程式的有效方法。这个方法把非线性方程式的求解过程变成反复对相应的线性方程式的求解过程，通常称为逐次线性化过程。设有单变量非线性方程 f(x)=0 （3-1）求解此方程时，先给出解的近似值x(0)，它与真解的误差为x(0)，则将满足方程(3-1)，即 f(x(0)+x(0)=0 （3-2）将式(3-2)左边的函数在x(0)附近展成泰勒级数，于是便得 （3-3） 式中f(x(0),，f(n)(x(0)分别为函数f(x)在x(0)处的一阶导数，n阶导数。 如果差值x

42、(0)很小，式(3-3)右端的二次及以上阶次的各项均可略去。于是，式(3-3)可简化为 （3-4）这是关于修正量x(0)的线性方程，亦称为修正方程式。解此方程式可得修正量 （3-5）用所求得的x(0)去修正近似解，便得y 图3-1牛顿法的几何解释x 由于式(3-4)是略去了高次项的简化式，因此所解出的修正量x(0)也只是近似值。修正后的近似解x(1)与真解仍然有误差。但是，这样的迭代计算可以反复进行下去，迭代计算的通式是 （3-6） 迭代过程的收敛判据为 （3-7）或 （3-8）式中的1，2是预先给定的小正数。这种解法的几何意义可以从图(3-1)中得到证明。函数y=f(x)为图中的曲线，f(x

43、)=0的解相当于曲线与x轴的交点。如果第k次迭代中得到x(k)，则过x(k),y(k)=f(x(k)点做一切线，此切线同x轴的交点便确定了下一个近似解x(k+1)。由此可见，牛顿-拉夫逊法实质上就是切线法，是一种逐步线性化的方法。牛顿法不仅用于求解单变量方程，也是求解多变量非线性方程的有效方法。设有n个联立的非线性代数方程： （3-9） 应用牛顿法求解多变量非线性方程组(3-9)时，假定已给出各变量的初值x1(0)，x2(0)，xn(0)，令x1(0)，x2(0)，xn(0)分别为各变量的修正量，使其满足方程，即 （3-10）将上式中的n个多元函数在初始值附近分别展成泰勒级数，并略去含有x1(

44、0)，x2(0)，xn(0)的二次及以上阶次的各项，使得 （3-11）方程式可以写成矩阵形式 （3-12）方程式(3-12)是对于修正量x1(0)，x2(0)，xn(0)的线性方程组，称为牛顿法的修正方程式。利用高斯消去法或三角分解法可以解出修正量x1(0)，x2(0)，xn(0)。然后对初始近似解进行修正 xi(1)=xi(0)+xi(0) (i=1,2,n) （3-13）如此反复迭代，在进行第k次迭代时，求解修正方程式 （3-14）得到修正量x1(k)，x2 (k)，xn(k)，并对各变量进行修正 xi(k+1)=xi(k)+xi(k) (i=1,2,n) （3-15）式(3-14)和(3

45、-15)也可以缩写为F(X(k) = - J(k)X(k) （3-16）和 X(k+1) = X(k)+X(k) （3-17） 式中，X和X分别是有n个变量和修正量组成的n维列向量；F(x)是由n个多元函数组成的n维列向量；J是nn阶方阵，称为雅可比矩阵，它的第i、j个元素是第i个函数fi(x1 ,x2, ,xn)对第j个变量的偏导数，上角标(k)代表示J阵每一个元素都在点(x1(k),x2(k),xn(k)处取值。迭代过程一直进行到满足收敛判据Max| 1 （3-18）或 Max|xi(k)| 2 （3-19）为止，1和2为预先给定的小正数。将牛顿-拉夫逊法进行潮流计算，要求将潮流方程写成形

46、如（3-9）的形式。由于节点电压可以采用不同的坐标系来表示，牛顿-拉夫逊法潮流计算也将相应的采用不同的计算公式。 3.2 极坐标下的牛顿-拉夫逊法潮流计算 采用极坐标时，节点电压表示为，导纳矩阵元素则表示为 将其和导纳矩阵表示式带入节点的功率方程（2-24）右端，展开并分出实部和虚部，变得 （3-20）式中，ij=i-j是两节点电压的相角差。方程式(3-20)把节点功率表示为节点电压的幅值和相角的函数。在有n个节点的系统中，假定第1m号节点为PQ节点，第m+1n-1号节点为PV节点，第n号节点为平衡节点。在极坐标系中Vn和n是给定的，PV节点的电压幅值Vm+1Vn-1也是给定的。因此，只剩下n

47、-1个节点的电压相角1，2，n-1和m个节点的电压幅值V1，V2，Vm是未知量，一共包含了n-1+m个方程式，正好同未知数的数目相同。实际上，对于每一个PQ节点或每一个PV节点都可以列写一个有功功率不平衡量方程式 (i=1,2,n-1) （3-21）而对于每一个PQ节点还可以在列写一个无功功率不平衡量方程式 (i=1,2,m) （3-22）对于方程式（3-21）和（3-22）可以写出修正方程式如下 方程式可简写为 （3-23）式中 （3-24）H是(n-1)(n-1)阶方阵，其元素为 ；N是(n-1)m阶矩阵，其元素为；K是m(n-1)阶矩阵，其元素为；L是mm阶方阵，其元素为。 在这里把节点

48、不平衡功率对节点电压幅值的偏导数都乘以该节点电压，相应地把节点电压的修正量都除以该节点的电压幅值，这样，雅可比矩阵的表达式就具有比较整齐的形式。对式（3-21）和式（3-22）求偏导数，可以得到雅可比矩阵元素的表达式如下：当ij时： 当i=j时：（3-25） （3-26） 计算步骤如下，首先要输入网络的原始数据以及各节点的给定值并形成节点导纳矩阵。输入节点电压初值Vi(0)和i(0)置迭代计数k=0。然后开始进入牛顿法的迭代过程。在进入第k+1次迭代时其计算步骤如下：(1) 按上一次迭代算出的个节点电压，利用式（3-21）和（3-22）计算各类节点的不平衡量Pi(k)、Qi(k)和Vi2 (k

49、)。(2) 按条件（3-18）校验收敛，即max|Pi(k)，Qi(k)，Vi2 (k) | 1(3) 计算雅克比矩阵的各元素(4) 解修正方程式求各节点的修正量Vi(k)和i(k)(5) 修正各节点的电压Vi(k+1)= Vi(k)+Vi(k) ，i(k+1)= i(k)+i(k)(6) 迭代计数加一，返回第一步继续迭代过程。3.3 P-Q分解法的原理 采用极坐标形式表示节点电压，能够根据电力系统实际运行状态的物理特点，对牛顿潮流计算的数学模型进行合理的简化。在交流高压电网中，输电线路的电抗要比电阻大得多，系统中母线有功功率的变化则主要受母线电压幅值变化的影响。在修正方程式的系数矩阵中，偏导

50、数和数值是相当小的。作为简化的第一步，可以将方程式（3-24）中的子块N和K略去不计，即认为它们的元素为零。这样，n-1+m阶的方程式（3-24）便分解为一个n-1阶和一个m阶的方程P = - H （3-27）Q= - LVD-1V （3-28）这一简化大大地节省了机器内存和解题时间。方程式（3-27）和（3-28）表明，节点的有功功率不平衡量只用于修正电压的相位，节点的无功功率不平衡量只用于修正电压的幅值。这两组方程轮流迭代，这就是所谓的有功-无功功率分解法。但是矩阵H和L的元素都是节点电压幅值和相角差的函数，其数值在迭代过程中是不断变化的。因此，最关键的一步简化就在于，把系数矩阵H和L简化

51、为常数矩阵。它的根据是什么呢？在一般情况下，线路两端电压的相角差是不大的（不超过10o20o），因此可以认为cosij1, GijsinijBij 此外，与系统各节点无功功率相适应的导纳LDi必远小于该节点自导纳的虚部，即BLDii/Vi2Bii和iVi2 Bii 考虑到以上的关系，矩阵H和L的元素的表达式便简化成HijViVjBij（i，j=1，2， ，n-1） （3-29）LijViVjBij（i，j=1，2， ，m） （3-30）而系数矩阵H和L则可以分别写成 （3-31） （3-32）将（3-31）和（3-32）分别代入（3-27）和（3-28），便得到 P= -VD1 BVD1 Q=

52、 -VD2 B”V用 VD1-1和VD2-1分别左乘以上两式便得VD1-1P= - BVD1 （3-33）VD2-1Q= - B”V （3-34）这就是简化了的修正方程式，它们也可展开写成 （3-35） （3-36）在这两个修正方程式中，系数矩阵都由节点导纳矩阵的虚部构成，只是阶次不同，矩阵B/为n-1阶，不含平衡节点对应的行和列，矩阵B/为m阶，不含平衡节点和PV节点对应的行和列。由于修正方程式的系数矩阵为常数矩阵，只要作一次三角分解，即可反复使用，结合使用稀疏技巧，还可以进一步的节省机器内存和计算时间。利用公式（3-21）和（3-22）计算节点功率的不平衡量，用修正方程（3-35）和（3-36）解出修正量，并按下述条件： max | P i(k)| p，max | Q i(k)| Q检验收敛，这就是分解法的主要计算