成考专升本高等数学(二)重点与解析

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1、高等数学二重点知识及解析、函数、极限一、基本初等函数：1常值函数： 2幂函数：3指数函数：0,4对数函数：0,5三角函数：,6反三角函数：,二、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。例如：是由,这两个个简单函数复合而成.例如：是由,和这三个简单函数复合而成.该部分是后面求导的关键！三、极限的计算1、利用函数连续性求极限代入法：对于一般的极限式即非未定式,只要将代入到函数表达式中,函数值即是极限值,即。注意：1常数极限等于他本身,与自变量的变化趋势无关,即。 2该方法的使用前提是当的时候,而时则不能用此方法。例1：, 例2：例3： 非特殊角的三角函数值不用计算出来2、未定式

2、极限的运算法1对于未定式：分子、分母提取公因式,然后消去公因式后,将代入后函数值即是极限值。例1：计算. 未定式,提取公因式解：原式=例2：计算. 未定式,提取公因式解：原式=2对于未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂,然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。例1：计算未定式,分子分母同时除以n解：原式无穷大倒数是无穷小例2：计算. 未定式,分子分母同除以解：原式=无穷大倒数是无穷小,因此分子是0分母是23、利用等价无穷小的代换求极限1定义：设和是同一变化过程中的两个无穷小,如果=1,称与是等价无穷小,记作.2定理：设、均为无穷小,又,且存在则= 或 3常用的等价无穷小代换：当时

3、, 例1：当时,2,例2：极限=用2等价代换例3：极限=用等价代换、一元函数的微分学一、导数的表示符号1函数在点处的导数记作：, 或 2函数在区间a,b内的导数记作：, 或 二、求导公式必须熟记1 C为常数 2345 67 8例：1、= 2、 3、=4、 5、6、三、导数的四则运算运算公式设U,V是关于X的函数,求解时把已知题目中的函数代入公式中的U和V即可,代入后用导数公式求解.12 特别地为常数 3例1：已知函数,求.解：=例2：已知函数,求和.解：=所以= 注意：lne=1,ln1=0 例3：已知函数,求.解：=四、复合函数的求导1、方 法 一：例如求复合函数的导数.1首先判断该复合函数

4、是由哪几个简单函数复合而成的.如由和这两个简单函数复合而成2用导数公式求出每个简单函数的导数.即=,=23每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量替代回去.=2=22、方 法 二直接求导法：复合函数的导数 等于 构成该复合函数的简单函数导数的乘积。如果对导数公式熟悉,对复合函数的过程清楚,可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导.例1：设函数,求.解：=例2：设函数,求. 解：=注意：一个复合函数求几次导,取决于它由几个简单函数复合而成。五、高阶导数1、二阶导数记作：,或我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数.2、求法：1二阶导数就是对一阶导数再求一次导 2三阶

5、导数就是对一阶导数求两次导,对二阶导求一次导例1：已知,求.解：=,=例2：已知,求.解：=,=2=4即=六、微分的求法：1求出函数的导数.2再乘以即可.即.例1：已知,求.解：=例2：设函数,求.解：=、二元函数的微分学一、多元函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数,称为多元函数。其自变量的变化范围称为定义域,通常记作。例如：二元函数通常记作：,二、二元函数的偏导数1、偏导数的表示方法：1设二元函数,则函数在区域D内对和对的偏导数记为：, ； ,2设二元函数,则函数在点处对和对的偏导数记为：,；,；2、偏导数的求法1对求偏导时,只要将看成是常量,将看成是变量,直接对求导即可.2对求

6、偏导时,只要将看成是常量,将看成是变量,直接对求导即可.如果要求函数在点处的偏导数,只要求出上述偏导函数后将和代入即可.例1：已知函数,求和.解：=,=例2：已知函数,求和.解：=,=三、全微分1、全微分公式：函数在点处全微分公式为：2、全微分求法：1、先求出两个一阶偏导数和. 2、然后代入上述公式即可.例1：设函数,求.解：=,=例2：设函数,求.解：=,=四、二阶偏导的表示方法和求法：1=两次都对求偏导2=先对求偏导,再对求偏导3=先对求偏导,再对求偏导4=两次都对求偏导可见二元函数的二阶偏导共四种,它们都是的函数。在求二阶偏导的时候一定要注意对变量的求导次序写在符号前面的变量先求偏导.例

7、1：设函数,求,和.解：=, =得=,=,=,=例2：设函数,求,.解：= 得=,=、一元函数的积分学一、原函数的定义：设是区间I上的一个可导函数,对于区间I上的任意一点, 都有 ,则称是在区间I上的一个原函数.例1：,因此是的一个原函数,是的导数.由于,可见只要函数有一个原函数,那么他的原函数就有无穷多个.例2：设的一个原函数为,求.解：因为是的一个原函数,即=,所以=.得= 注：二、不定积分一、定义：我们把的所有原函数称为在区间I上的不定积分,记作： 其中注意：不定积分是原函数的的全体,因此计算结果常数C勿忘！二、不定积分的性质12 其中为常数三、基本积分公式和导数公式一样,必须熟记1 2

8、 k为常数3 4 56789例1：例2：利用换元法,设又如：四、不定积分的计算1、直接积分法：对被积函数进行恒等变形,并用积分性质和积分公式进行积分的方法。例1：=例2：2、凑微分法1适用前提：如果被积函数是两个函数相乘或相除或者被积函数是复合函数通常为较为简单的复合函数的情况,此时可以考虑用凑微分法。2凑微分法解法步骤1凑微分2换元3直接积分法4反换元例1：求不定积分解：原式=1.凑微分将凑成 =2.换 元将换元成=3.直接积分法求出的不定积分=4.反换元再用反换元例2：求不定积分 解：原式=1.凑微分将凑成=2.换 元将换元成=3.直接积分法求出的不定积分=4.反换元再用反换元例3：求不定

9、积分解：原式=1.凑微分将凑成=2.换 元将换元成=3.直接积分法求出的不定积分=4.反换元再用反换元注意：凑微分时要注意凑完微分后前后变量要统一！如果能熟练掌握换元过程,此时就可以不必写出中间变量,而直接进行积分。例4：=将凑成例5：=将凑成3、分部积分法三、定积分一、定积分的定义：由曲边梯形的面积引出定义公式 A= A为曲边梯形的面积其中为被积函数,为积分区间,为积分下限,为积分上限。用定积分所要注意的事项：1、因为定积分是曲边梯形的面积,因此定积分的值一定是一个常数,所以对定积分求导,导数值必为零。例：, 2、当a=b时,=0因定积分上限ba,当ba时,=例：, 二、定积分的计算1、变上

10、限积分的计算1定义：积分上限为变量时的定积分称为变上限积分,变上限积分是上限的函数, 记作2变上限积分的导数：将代入到即可例1：设,则.例2：2、牛顿莱布尼茨公式1公式：如果是连续函数在上的一个原函数,则有=2由公式可知：连续函数在上定积分,就是的一个原函数在上的增量上限值减下限值。而连续函数的不定积分,就是的全体原函数原函数后面加常数C。可见定积分和不定积分的计算都是围绕求原函数进行的。例1：求定积分解：原式=例2：求定积分将凑成解：原式=例3：求定积分 将凑成解：原式=注意：用凑微分法计算定积分时,在换元时,由于引入了新的变量,故原变量的积分限要更换成新变量的积分限;如不想更换积分限,可省略换元步骤。3、分部积分法附表：几个特殊角的三角函数值 角 度三 角 -不存在不存在不存在不存在不存在不存在. .