高三二轮复习专题讲座数列

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1、数列寒假培训讲座材料一、高考考纲要求(一)考试内容：内 容要 求ABC数列的概念等差数列等比数列 (二)考试要求：数列各个知识点的具体考试要求是：考点要求1数列的概念理解2数列通项公式的意义了解3递推公式了解4根据递推公式写出数列的前几项掌握5等差数列的概念理解6等差数列的通项公式掌握7等差数列的前n项和公式掌握8等比数列的概念理解9等比数列的通项公式掌握10等比数列的前n项和公式掌握11运用公式解答简单的问题灵活（三）课程标准教学要求：1了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。理解数列的通项公式的意义。 2理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式

2、、前n项和公式，能运用公式解决一些简单问题。 能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。了解等差数列与一次函数的关系。3理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式、前n项和公式，能运用公式解决一些简单问题。 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。了解等比数列与指数函数的关系。数列教学，要注意的问题：（1）教学中，应使学生了解数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的基本数学模型。（2）教学中，理解数列通项公式的三层意思：通项公式是数列的项与序号的对应关系；会由通项公式写出数列的前几项；会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式

3、。（3）教学中，要掌握数列中各量之间的基本关系。但训练要控制难度和复杂程度，避免繁琐的计算、人为技巧化的难题。（4）等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系。通过具体实例（教育贷款、购房贷款、分期付款、放射性物质的衰变、人口增长等）这样做，即突出了问题意识，也有助于学生理解数列的本质。（四）考纲示例1已知数列an的前n项的和Snn29n，第k项满足5ak8，则k的值是 命题意图：考查数列的前n项和与其通项的关系，以及解简单不等式的等基础知识。（中等题）2(1)设a1，a2，an是各项均不为零的等差数列(n4)，且公差d0，若将此数列删去某一

4、项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： 当n4时，求的数值求n的所有可能值；(2)求证：存在一个各项及公差均不为零的n(n4)项的等差数列，任意删去其中的k项(1kn3)，都不能使剩下的项（按原来顺序）构成等比数列命题意图：以等差数列和等比数列为平台，主要考查学生的探索与推理能力（难题）五、近几年的江苏数列题看趋势（2009江苏卷）设an是公差不为零的等差数列，为其前n项和，满足a +a= a+ a, S7=7.。（1）求数列an的通项公式及前n项和Sn； （2）试求所有的正整数m，使得为数列an中的项. 解：（1）an=2n7,Sn=n26n. (2) 符合题意的正整数只有m=2. 已知a

5、n是等差数列，bn是公比为q的等比数列，a1b1，a2b2a1，记Sn为数列bn的前n项和（1）若bk am（m,k是大于2的正整数），求证：Sk1(m1) a1；（4分）（2）若b3 ai（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列bn中的每一项都是数列an中的项；（8分）（3）是否存在这样的正数q，使等比数列bn中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由（4分）设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a26，a311，且(5n8)Sn1(5n2)SnAnB，n1，2，3，其中A，B为常数（1）求A与B的值；（2）证明数列an为等差数列；（3）证明不等式1对任

6、何正整数m，n都成立二、考查形式与特点数列是高中代数的重点内容之一，也是高考考查的重点和热点，在历年高考中占有比较重要的地位，考查的重点是等差、等比数列的基础知识、基本技能、基本思想方法，主要测试学生的运算能力、逻辑推理能力以及分析问题和解决问题的能力，从题型上看有以下特点：分析近两年高考试题，从分值来看，数列部分约占总分的8%左右从题型来看，有以下特点:1一般有两道题，一道客观题，一道主观题，有时会多一道题，有时会少一道题在选择题或填空题中，突出了“小、巧、活”的特点，属中档题，要求学生掌握基本概念与基本技能解答题主要以与函数、不等式、方程、几何等知识的综合为考查对象，属中等难度以上的试题，

7、甚至是难题，多为压轴题2探索性题型在近几年高考中也有所体现解决探索性题型应具有较高的数学思维能力，有利于培养学生创新意识和创造精神，这正是“以能力立意”的命题原则的生动体现3综合题型几乎每年都有，因为综合题都是在知识的交汇点命题，具有较强的考察思维能力的功能，而数列恰好具有这个特点4应用题型在近几年考查中明显增加结合工业、科学、商业、环保等方面的应用题的解决，涉及到学生的读题、审题、抽象建模、数学知识的应用等多方面的能力5等差、等比数列的通项公式、求和公式以及一些特殊性质的应用，基本上每年都有，多以选择、填空题的形式出现，突出“双基”的考查 三主要题型（一）考查等差数列等比数列的基本量1已知数

8、列an的前n项的和Snn29n，第k项满足5ak8，则k的值是 2已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，且，则使得为整数的正整数n的个数是 个3等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3 S3成等差数列，则an的公比为 4对正整数n，设曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和是 （二）考查数列中的归纳推理5将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行

9、 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 6将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 按照以上排列的规律，第n行(n3)从左向右的第3个数为 7函数f(x)由下表定义：x12345f(x)34521若a12，a25，an2f(an)，nN*，则a2008的值是_（三）对等差数列等比数列的综合考查1背景是等差数列等比数列8如果有穷数列a1，a2，a3，an（n为正整数）满足条件a1=an ，a2= an-1 ，an = a1，即ai = an-i+1(i=1，2，n)，我们称其为“对称数列” (1)设bn是项数为7的“对称数列

10、”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1=2，b4=11依次写出bn的每一项；(2)设cn是项数为2k1(正整数k1)的“对称数列”，其中ck，ck+1，c2k-1是首项为50，公差为4的等差数列记cn各项的和为S2k-1当k为何值时，S2k-1取得最大值？并求出S2k-1的最大值；(3)对于确定的正整数m1，写出所有项数不超过2m的“对称数列”，使得1，2，22，2n-1依次是该数列中连续的项；当m1500时，求其中一个“对称数列”前2008项的和S20089设数列an，bn都是等差数列，且a1b1，它们的前n项的和分别为Sn，Tn，若对一切nN*，有Sn3Tn （1）分别写出一个符

11、合条件的数列an和bn；（2）若a1b11，数列cn满足：cn4(1)2，且当nN*时，cn1cn恒成立，求实数的最大值10设无穷等差数列an的前n项和为Sn(1)若首项a1，公差d1，求满足Sk(Sk)2的正整数k；(2)求所有的无穷等差数列an，使得对于一切正整数k都有Sk(Sk)2成立2背景是递推关系11已知数列an中，an2an1n（n2，nN）（1）an是否可能为等比数列？若可能，求出此等比数列的通项公式；若不可能，说明理由；（2）设bn(1)n(ann2)，Sn为数列bn的前n项和，且对于任意的nN*，n10，都有Sn99，求a1的取值范围12设数列an的前n项的和为Sn，已知a1

12、2a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)（1）求a2，a3的值；（2）求证：数列Sn2是等比数列；（3）抽去数列an中的第1项、第4项、第7项，第3n2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列bn，若bn的前n项和为Tn，求证：13设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a26，a311，且(5n8)Sn1(5n2)SnAnB，n1，2，3，其中A，B为常数（1）求A与B的值；（2）证明数列an为等差数列；（3）证明不等式1对任何正整数m，n都成立3背景是函数或其它14幂函数y的图象上的点 Pn(tn2，tn)(n1，2，)与x轴正半轴上的点Qn及原点O 构成一系列正PnQn1Qn(Q0与O重

13、合)，记 anQnQn1(1)求a1的值；(2)求数列 an 的通项公式an；(3)设Sn为数列an的前n项和，若对于任意的实数l0，1，总存在自然数k，当nk时，3Sn3n + 2(1l) (3an1) 恒成立，求k的最小值yxOP1Q1Qn1PnQn15已知直线ln：yx与圆Cn：x2y22ann2(nN*)交于不同点An，Bn,其中数列an满足：a11，an+1|AnBn|2(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(an2)求数列bn的前n项和Sn（四）数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用（1）数列与函数、几何1.(2009年广东卷文)已知点(1, )是函数f(x

14、)=ax(a0, a1)的图象上一点，等比数列an的前n项和为f(n) c,数列bn(bn0)的首项为c，且前n项和Sn满足SnS n1=+(n2).（1）求数列an和bn的通项公式；（2）若数列 前n项和为Tn，问Tn 的最小正整数n是多少? . 解（1）c=1（2）Tn 的最小正整数n是112。2.(2009山东卷理) 等比数列an的前n项和为Sn， 已知对任意的nN+ ，点(n, Sn)，均在函数y=bx+r b0且b 1b, r均为常数)的图像上. （1）求r的值； （11）当b=2时，记bn =2(log2 an+1) (nN+) . 证明：对任意的nN+ ，不等式 成立解:(1)

15、r=1,(2) 用数学归纳法证明略【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知Sn求an的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.3.(2009山东卷文) 等比数列an的前n项和为Sn， 已知对任意的nN+ ，点(n, Sn)，均在函数y=bx+r b0且b 1，（b, r均为常数）的图像上。（1）求r的值； （11）当b=2时，记bn = nN+ 求数列 bn 的前n项和Tn解: （1） r=1；（2）利用错位法可求得：Tn= 4.（2009广东卷理） 已知曲线Cn:x22nx+y2(n=1,2,3)从点P (1,0)向曲线Cn引斜率为kn(

16、kn0)的切线ln，切点为Pn (xn, yn)（1）求数列 xn , yn 的通项公式；（2）证明：x1x3x5 x2n 10且b 1b, r均为常数)的图像上. （1）求r的值； （11）当b=2时，记bn =2(log2 an+1) (nN+) . 证明：对任意的nN+ ，不等式 成立解:(1) r=1,(2) 用数学归纳法证明略6.（2009广东卷理） 已知曲线Cn:x22nx+y2(n=1,2,3)从点P (1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn0)的切线ln，切点为Pn (xn, yn)（1）求数列 xn , yn 的通项公式；（2）证明：x1x3x5 x2n 10且b 1，（b,

17、r均为常数）的图像上。（1）求r的值； （11）当b=2时，记bn = nN+ 求数列 bn 的前n项和Tn解: （1） r=1；（2）利用错位法可求得：Tn= 4.（2009广东卷理） 已知曲线Cn:x22nx+y2(n=1,2,3)从点P (1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn0)的切线ln，切点为Pn (xn, yn)（1）求数列 xn , yn 的通项公式；（2）证明：x1x3x5 x2n 1 sin.解：（1）xn=,yn=(2) 证明：略9.(2009湖北卷理) 已知数列an的前n项和Sn=an()n1+2（n为正整数）。（）令bn=2nan，求证数列bn是等差数列，并求数列an的

18、通项公式；（）令cn= an, Tn= c1+c2+ + cn，试比较Tn与的大小，并予以证明。解：（I）an=. (II) 综上所述，当n=1,2 ,Tn .10.（2009湖南卷文）对于数列un若存在常数M0,对任意的(nN+)，恒有 | un+1 un | +| unun1 | + | u2u1 |M,则称数列un为B数列（1）首项为1，公比为的等比数列是否为B数列？请说明理由;（2）设Sn是数列xn的前项和，给出下列两组论断；A组：数列xn是B数列 数列xn不是B数列B组：数列Sn是B数列 数列Sn不是B数列请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给

19、命题的真假，并证明你的结论；（3） 若数列an是B数列，证明：数列 a 也是B数列.11.(2009陕西卷理) 已知数列xn满足， x1=, xn+1= (nN+).(1)猜想数列x2n的单调性，并证明你的结论；()证明：| xn+1 xn | ( ) n 1 . 12.（2009四川卷文）设数列an的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，记bn=(nN+)。（1）求数列an,bn的通项公式；（2）设数列bn的前n项和为Rn, 是否存在正整数k使得Rn4k成立，若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由； （3）记cn= b2nb2n1(nN+)，设数列cn的前n项和为

20、Tn，求证：对任意正整数n都有Tn;解：（1）an=()n bn= （2）不存在正整数k使得Rn4k成立。（3）证明：略13.（2009四川卷理）设数列an的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，记bn=(nN+)。（I）求数列bn的通项公式；（II）记cn= b2nb2n1(nN+)，设数列cn的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn;（III）设数列bn的前n项和为Rn,已知正实数满足：对任意正整数n,Rnn恒成立，求的最小值。14.（2009重庆卷文）已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an, bn= ,nN+（）求b1,b2,b3的值；. （）设c

21、n=bnbn+1,Sn为数列cn的前n项和，求证：Sn17n;（）求证：|b2nbn|0). 数列bn定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an m成立的所有 n中的最小值.（）若p=, q=，求b3；（）若p=2, q=1，求数列bm的前2m项和公式；（）是否存在p和q，使得bm=3m+2(nN+)？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.解：本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式综合的较难层次题.（）b3=7（）b1+ b2+ b=m2+2m（）存在p和q，使得bm=3m+2(nN+)；p和q的取值范围分

22、别是p=, q. . 16.（2009江西卷理）各项均为正数的数列an，a1=a, a2=b，且对满足m+n=p+q的正整数m,n,p,q都有= （1）当a =, b =时，求通项an . （2）证明：对任意a，存在与a有关的常数，使得对于每个正整数n，都有 an 解：（1）an = (2) 取= , an ,其中g(a)= 17.（2009湖南卷文）对于数列un若存在常数M0,对任意的(nN+)，恒有 | un+1 un | +| unun1 | + | u2u1 |M,则称数列un为B数列（1）首项为1，公比为的等比数列是否为B数列？请说明理由;（2）设Sn是数列xn的前项和，给出下列两组

23、论断；A组：数列xn是B数列 数列xn不是B数列B组：数列Sn是B数列 数列Sn不是B数列请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；（3） 若数列an是B数列，证明：数列 a 也是B数列.解: （1）所以首项为1，公比为的等比数列是B数列 .（2）命题1：若数列xn是B数列，则数列Sn是B数列.此命题为假命题.命题2：若数列Sn是 B数列，则数列xn是B数列。此命题为真命题。(3)若数列an是B数列，则数列 a 也是B数列.。18.（2009四川卷文）设数列an的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，记bn=

24、(nN+)。（1）求数列an,bn的通项公式；（2）设数列bn的前n项和为Rn, 是否存在正整数k使得Rn4k成立，若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由； （3）记cn= b2nb2n1(nN+)，设数列cn的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn1，令bn =an+1 nN+，若数列bn有连续四项在集合54, 23,19,37,82中，则6q= 9 . 4.等比数列an的公比q0, 已知=1，an+2+an+1=6an，则an的前4项和S4= . 二、例题精讲：例1.已知点(1, )是函数f(x)=ax(a0, a1)的图象上一点，等比数列an的前n项和为f(n) c,数列bn

25、(bn0)的首项为c，且前n项和Sn满足SnS n1=+(n2)（1）求数列an和bn的通项公式；（2）若数列 前n项和为Tn，问Tn 的最小正整数n是多少? . 解（1）c=1（2）Tn 的最小正整数n是112。例2.设数列an的通项公式为an =pn+q(nN+,P0). 数列bn定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an m成立的所有 n中的最小值.（）若p=, q=，求b3；（）若p=2, q=1，求数列bm的前2m项和公式；（）是否存在p和q，使得bm=3m+2(nN+)？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.解：本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力

26、、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式综合的较难层次题.（）b3=7（）b1+ b2+ b=m2+2m（）存在p和q，使得bm=3m+2(nN+)；p和q的取值范围分别是p=, q. . 例3.已知an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列（1）若an=3n+1，是否存在m,nN+，有am+1+am= ak？请说明理由；（2）若bn=aqn（a、q为常数，且aq0）对任意m存在k，有bn+1 bn= bk，试求a、q满足的充要条件；（3）若an=2n+1, bn=3n试确定所有的p,使数列bn中存在某个连续p项的和是数列中an的一项，请证明. 【解】（1）不存在m,n

27、N+，有am+1+am= ak .（2）a、q满足的充要条件是a=qc，其中c是大于等于2的整数.(3) 证明: 略例4. 数列an满足a11，a22，an+2(1cos2)ansin2，n1，2，3， (1)求a3，a4，并求数列an的通项公式； (2)设bn，Snb1b2bn证明：当n6时，|Sn2|例5. 幂函数y的图象上的点 Pn(tn2，tn)(n1，2，)与x轴正半轴上的点Qn及原点O 构成一系列正PnQn1Qn(Q0与O重合)，记 anQnQn1(1)求a1的值；(2)求数列 an 的通项公式an；(3)设Sn为数列an的前n项和，若对于任意的实数l0，1，总存在自然数k，当nk

28、时，3Sn3n + 2(1l) (3an1) 恒成立，求k的最小值yxOP1Q1Qn1PnQn反馈练习：1.已知数列an满足：a4n3=1, a4n1=0, a2n = an nN+则a2009= 1 . a2014= 0 2.设a1=2，an+1=，bn =|,，nN+，则数列bn的通项公式bn = 2n+1 3.等差数列an的前n项和为Sn，且6S55S3=5,则a4= .4. 已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，且，则使得为整数的正整数n的个数是 个5(2009湖北卷理) 已知数列an的前n项和Sn=an()n1+2（n为正整数）.（）令bn=2nan，求证数列bn是等

29、差数列，并求数列an的通项公式；（）令cn= an, Tn= c1+c2+ + cn，试比较Tn与的大小，并予以证明。解：（I）an=. (II) 综上所述，当n=1,2 ,Tn .6设数列an的前n项的和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)（1）求a2，a3的值；（2）求证：数列Sn2是等比数列；（3）抽去数列an中的第1项、第4项、第7项，第3n2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列bn，若bn的前n项和为Tn，求证：7设数列an，bn都是等差数列，且a1b1，它们的前n项的和分别为Sn，Tn，若对一切nN*，有Sn3Tn （1）分别写出一个符合条件的数列an和bn

30、；（2）若a1b11，数列cn满足：cn4(1)2，且当nN*时，cn1cn恒成立，求实数的最大值8如果有穷数列a1，a2，a3，an（n为正整数）满足条件a1=an ，a2= an-1 ，an = a1，即ai = an-i+1(i=1，2，n)，我们称其为“对称数列” (1)设bn是项数为7的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1=2，b4=11依次写出bn的每一项；(2)设cn是项数为2k1(正整数k1)的“对称数列”，其中ck，ck+1，c2k-1是首项为50，公差为4的等差数列记cn各项的和为S2k-1当k为何值时，S2k-1取得最大值？并求出S2k-1的最大值；(3)对于确定的正整数m1，写出所有项数不超过2m的“对称数列”，使得1，2，22，2n-1依次是该数列中连续的项；当m1500时，求其中一个“对称数列”前2008项的和S200814 / 14