论文：浅议距离与离差

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1、-*：200620449哈尔滨师范大学学士学位论文题 目 浅议距离与离差学 生 郭 帅指导教师 佟盛林年 级 2006级专 业 数学与应用数学系 别 数学系学 院 文理学院学 士 学 位 论 文题 目 浅议距离与离差学 生 郭 帅 指导教师 佟盛林年 级 2006级专 业 数学与应用数学系 别 数学系学 院 文理学院哈尔滨师范大学2010年4月目 录摘要1关键字11.点到点的距离12.点到直线的距离12.1平面内点到直线距离的概念及判定12.2平面内点到直线距离的求法12.3空间内点到直线距离的计算13.点与平面间的距离23.1离差的定义及点到平面的距离定义33.2点与平面位置关系的判定33.

2、3点到平面距离的计算33.4平面划分空间问题三元一次不等式的几何意义34.直线到直线的距离44.1空间两直线的相关位置的判定44.2空间直线间距离的计算55.平面到平面的距离65.1平面间的位置关系的判别65.2平面间距离的计算7结束语7参考文献8英文摘要9. z.-浅议距离与离差郭帅摘要：总结平面及空间内点、直线、平面间的距离求法，并浅议距离和离差的关系.关键字：距离; 离差; 空间内直线1.点到点的距离对于点到点的距离可以分成两种状态考虑，即平面内点到点的距离和空间内点到的距离.定理1 在平面内两点与间的距离为在空间两点与间的距离是2.点到直线的距离2.1平面内点到直线距离的概念及判定平面

3、内点到直线距离的定义为，过点向直线做垂线，垂线段的长度就叫做点到直线的距离。若点满足直线方程。则点在直线上，若点不满足直线方程则点在直线外2.2平面内点到直线距离的求法平面直线与点的相关位置有两种情况，即在直线上和不再直线上，在直线上时距离为零；不再直线上时可根据高中时学习过的点到直线距离公式求解，平面内点到直线的距离为2.3空间内点到直线距离的计算空间直线与点的相关位置有两种情况，即点在直线上与点不再直线上，点在直线上的条件是点的坐标满足直线方程，这是点与直线的距离为零当点不在直线上时，在空间直角坐标系下给定空间一点与直线这里为直线上的点，为直线的方向矢量。我们考虑和矢量为两边构成的平行四边

4、形，这个平行四边形的面积等于，显然点到的距离就是这平行四边形的对应于为底的高因此我们有例1 求点到直线的距离解 将直线方程化为标准方程令，解 得3.点与平面间的距离3.1离差的定义及点到平面的距离定义在求点与平面间距离之前，我们先引进点关于平面离差的概念定义 如果自点到平面引垂线，其垂足为Q，则矢量在平面的单位法矢量上的射影叫做点与平面间的离差， 记做则，有如下定理2 点与平面 间的离差为这里推论1 点与平面 间的距离的离差是显然，离差的绝对值，就是点与平面之间的距离。3.2点与平面位置关系的判定容易看出，空间的点与平面间的离差。当且仅当点位于平面的单位法矢量所指向的一侧，与同向，离差0;在平

5、面的另一侧，与方向相反，离差;对于另一部分点，则有,在平面上的点4.直线到直线的距离4.1空间两直线的相关位置的判定 空间两直线的相关位置有异面与共面，在共面中又有相交 平行于重合三种情况，现在我们来导出这些相关位置成立的条件.设两个直线的方程为：定理4 判定空间两直线与的相关位置的充要条件为1异面：；2相交：；3平行： ；4重合；4.2空间直线间距离的计算1.特殊情况时两直线间间距离空间两直线上的点之间的最短距离叫做这两条直线之间的距离显然，两条相交或重合的直线间距离等于零；两平行直线间的距离等于其中中一条直线的任意一点到另一条直线的距离（在点到直线的距离一节中研究）。2.两直线异面时距离公

6、垂线的定义：同时与两条异面直线垂直而且相交的直线只有一条，这条直线我们就称为这两条异面直线的公垂线，其夹在异面直线之间的部分就叫做两条异面直线的公垂线段。异面直线间距离的定义：我们就把两条异面直线的公垂线的长度叫做两异面直线间的距离。 定理5 设两异面直线、与它们的公垂线的交点分别为、，则与之间的距离所以两异面直线、的距离为例3 已知两直线，间的距离解 因为直线过点，方向矢量，从而有所以与为异面直线5.平面到平面的距离5.1平面间的位置关系的判别定理6空间两个平面的相关位置有三种情形，即相交 平行和重合，而且当且仅当两平面有一部分公共点时它们相交，当且仅当两平面无公共点时它们相互平行，当且仅当

7、一个平面上的所有点就是另外一个平面的点时，这两个平面重合，因此如果设两平面的方程为 则，两平面间的距离跟两平面间的位置关系密切相关定理 两平面（1）与（2）相交的充要条件是平行的充要条件是重合的充要条件是 在直角坐标系下，由于两平面与的法矢量分别为与，当且仅当不平行于时，与相交；当且仅当与相互重合所以5.2平面间距离的计算 有了平面位置关系的判定定理，可以轻松判定两个平面间的位置关系，从而知道两平面间的距离 当两平面与重合和相交时，平面间距离为0 当两平面与平行时，平面间距离为下面对此结论简单证明证明 在平面上取一点， 则点到的距离可根据点到平面计算出因为 所以 结论得证例4 求下列两平面间的

8、距离与解 根据平面间距离公式结束语 本文归纳及总结了平面及空间内的点与直线与平面的位置关系，并着重讨论了空间内点与平面的距离与离差的关系，在此过程中充分运用了矢量这一工具，通过矢量来处理这类问题的好处是与坐标系的选取无关.参考文献1 高等教育出版社 解析几何（第三版）吕林根 许子道 等编著2 杨振麟. 点到平面距离的公式的一种简捷求法J. 南昌高专学报3 田宝运, 王秀珍. 浅谈点到平面距离的求法J. 数理化学习(高中版) 4 贾士代殷都学刊 1994-1点到平面的距离公式的简明证法5 张二艳点到平面及异面直线间的距离公式北京印刷学院学报2003年04期ON THE DISTANCE AND DEVIATIONGUO ShuaiAbstract: Summary plane, space, point, line, plane method for finding the distance between, and On the relationship between distance and deviation.Keywords: deviation ;from the linear space. z.