欧拉积分的性质及其应用

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1、-欧拉积分及其应用 专业：数学与应用数学(师类)班级：2012级：唐颖. z.-目 录引言31预备知识.52欧拉积分的性质.72.1函数的性质.7函数的定义域.7函数的连续性.8函数的可微性.9函数的递推公式.112.1.5函数的极值与凸性.12函数的延拓.132.2函数的性质.13函数的定义域.13函数的连续性.14函数的可微性.15函数的对称性.15函数的递推公式.16函数的其他形式.172.3 函数和函数的联系.183欧拉积分的应用.203.1欧拉积分在数学分析中的应用.203.2欧拉积分在概率和统计中的应用.223.3欧拉积分在微分方程中的应用.253.4欧拉积分在物理中的应用.26函

2、数在超代数相干态表示当中的应用.26函数在半导体物理中的应用.27结 论.29致 .30参考文献.31. z.-摘 要欧拉积分是由含参变量的反常积分定义的两个十分重要的非初等函数，在理论与实践上，它的地位仅次于初等函数，应用领域十分广泛然而，对于欧拉积分性质的研究远远比对初等函数性质的研究要复杂得多为了对欧拉积分有一个更加全面、更加系统的认识，为了探索欧拉积分的应用领域，充分挖掘欧拉积分的应用价值，在深刻理解伽马函数、贝塔函数定义的基础上，对两类函数的定义域、函数的连续性、函数的可微性、函数的递推公式、函数的*些性态以及伽马函数和贝塔函数的在联系等性质进行全面归纳总结，并加以严格的理论证明通过

3、典型例题来说明利用伽马函数、贝塔函数的性质有效地解决*些具有特殊类型的定积分计算问题，有效地解决概率和统计、微分方程中的相关问题，沟通知识间的在联系同时还将伽马函数、贝塔函数的性质应用于物理学中，为物理学中相关问题的顺利解决提供有力工具关键词：欧拉积分；一致收敛；连续性；可微性AbstractEulerintegral is two important elementary functiondefined by improper integral containing parameper,on the theory and practice,it is second only to the e

4、lementary function,its application is very wideHowever,the study on the properties of Eulerintegral is far more comple* than the ones of elementary functionIn order to have a more comprehensive and systemic knowledge of Euler integral,and in order to e*plore the application of Euler integral,make fu

5、ll use of the Euler integral value,on the base of the deep understanding ofgamma function and beta function,this paper summarizes the domain,the continuity,the differentiability,the recurrence formula,the inner link of gamma function and beta function,the nature and so on of two kinds of function,an

6、d gives strict theoretical proofTypical e*amples illustrate that the use of the properties of the gamma function and beta function can effectively solve somedefinite integral calculation problem with special types,effectively solve the related problems in differential equation,probability and statis

7、tics,communicate the intrinsic relationship between knowledgesAt the same time,we apply the gamma function and beta functionto physics,they provide the related problems a powerful tool in physicsKeywords:Euler integral; uniform convergence;continuity; differentiability引 言莱昂哈德欧拉于1707年4月15日在瑞士出生，他被公认与

8、阿基米德、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”阿拉戈也曾说过：“欧拉进行计算看起来毫不费劲儿，就像人进行呼吸，像鹰在风中盘旋一样”这句话对欧拉那无与伦比的数学才能来说并不夸，与他同时代的人们称他为“分析的化身”他作为数学教授，是有史以来最多产的数学家欧拉的著述浩瀚，不仅包含科学创见，而且富有科学思想，他给后人留下了极其丰富的科学遗产和为科学现身的精神在数学的许多分支中经常可以看到以他的名字命名的重要常数、公式和定理等等他作为欧拉近似法的创始人为微分方程理论作出了巨大的贡献，同时，由于他对微分方程中贝塞尔问题的深入研究，最终使得贝塞尔问题得以解决，使得二阶微分方程特解的表示简洁明了，后续工作得以顺

9、利完成他还根据牛顿定律建立了流体力学里的欧拉方程，为物理学揭开了新的篇章欧拉对含参变量积分的研究十分深入，最终揭开了关于含参变量积分神秘的面纱,使得含参变量积分成为数学学习中的重点，同时也是数学学习中的难点容表示非初等函数可用各种不同的数学工具，如例，可变上限的定积分、收敛的函数项级数、函数方程或者函数方程组等，含参变量积分也是表示非初等函数的一种重要的数学工具深刻理解含参变量积分的本质，并且通过本质和它的性质解决许多复杂的综合性问题以及一些实际问题，可以大大提高问题解决的效率欧拉积分就是由欧拉整理得出的两类含参变量积分表示的非初等函数，第一类型积分称为贝塔函数(函数)，第二类型积分称伽马函数

10、(函数)它的地位仅次于初等函数然而，目前对于欧拉积分的性质及其应用的研究仍然不够全面，关于欧拉积分性质的研究方法也十分复杂，如果我们能够对欧拉积分有一个充分、全面的认识，则对于解决许多含参变量积分问题和一些实际生活中的问题都会有很大的帮助因此，探讨欧拉积分及其应用问题对于我们具有重要的意义和价值，对欧拉积分的深入研究也是必要且有实际意义的德国数学大师Hilbert曾在巴黎的国际数学家大会上说过：“揭开隐藏在未来之中的面纱，探索未来世纪的前景，谁不高兴呢”随着时间的推移，一百年过去了，关于数学欧拉积分的百年面纱层层被揭开随着对欧拉积分全面深入的研究以及科学技术的不断发展和研究水平的显著提高，欧拉

11、积分的应用领域不断扩大，不断地解决更多的实际生活中的问题，发展前景十分广阔1 预备知识为了能够深入研究欧拉积分的性质及其应用，必须要先了解与欧拉积分密切相关的知识容如无穷积分与瑕积分敛散性的判别方法、一致收敛的判别方法以及函数的连续、可导等相关知识因此，只有在掌握好预备知识的前提之下才能更加深入地研究欧拉积分的性质及其应用定理1 设，函数，且有极限， 1)若，则无穷积分收敛；2)若，则无穷积分发散定理2 设，有， 是常数1) 若无穷积分收敛，则无穷积分也收敛；2)若无穷积分发散，则无穷积分也发散 定理3 无穷积分收敛，无穷积分也收敛 定理4 设，函数，且有极限，1)若，则瑕积分收敛；2)若，则

12、瑕积分发散 定理5 设，有， 是正常数1)若瑕积分收敛(是瑕点)，则瑕积分收敛；2)若瑕积分发散(是瑕点)，则瑕积分发散定理6 若，有，且无穷积分收敛，则无穷积分在区间一致收敛 定理7 设函数在区域(，)连续，则函数在闭区间连续定理8 设函数在区域(，)连续，且无穷积分在闭区间一致收敛，则函数在闭区间连续 定理9 若函数与在区域(，)连续，且无穷积分在闭区间上收敛，而无穷积分在闭区间上一致收敛， 则函数在闭区间可微，且即2欧拉积分的性质欧拉积分由两类含参量积分表示的非初等函数，第一类型积分称为贝塔函数(函数)，即函数第二类型积分称伽马函数，即函数(函数)2.1函数的性质函数称为函数(伽马函数)

13、关于函数的性质，主要研究它的定义域、函数在定义域的连续性、可微性、函数相关的递推公式、极值与凸性以及函数的延拓2.1.1函数的定义域性质1 函数的定义域是 证明 首先将无穷积分改写为其中，(i)考察积分，当1时，是被积函数的瑕点，有 因此，根据定理4可知，当，即时，瑕积分收敛(ii)考察无穷积已知对于，有极限其中，根据定理1可知，则，无穷积分都收敛 综上可知，瑕积分与无穷积分同时收敛的的公共部分是于是，函数的定义域是区间 2.1.2函数的连续性性质2 函数在区间连续证明 首先将无穷积分改写为令，有，和，使 ，有，有(i)对于积分，有而积分收敛，根据定理6可知，则积分在上一致收敛(ii)对于积分

14、，有而积分收敛，根据定理6可知，则无穷积分在区间上一致收敛综上可知，积分在区间上一致收敛而被积函数在区域(+，)连续，根据定理8可知，函数在区间连续于是，函数在点连续由的任意可知，函数在区间连续2.1.3函数的可微性性质3 函数在区间可导，且证明 ，,，使被即函数与在，连续，无穷积分在收敛再考察积分在区间的一致收敛性，将此积分表示成 (i)考察积分的一致收敛性 当时，有 由上可知，无穷积分收敛根据定理6可知，含参变量积分在上一致收敛(ii)考察积分在的一致收敛性方法1当，有由数学分析知识可知，由洛必达法则可知因此其中，根据定理1可知，无穷积分收敛由定理3可知，无穷积分也是收敛的根据定理6可知，

15、积分在上一致收敛 方法2 当时，则有 由上可知，无穷积分收敛，根据定理6可知，积分在上一致收敛 综上两种方法都可知，含参变量积分在上一致收敛根据定理9可知，函数在区间可导，所以，函数在点可导，由的任意性可知，函数在可导且类似地可证在闭区间()上连续且可在基础上求导通过数学归纳法可知，对任意正整数，在上都存在连续且可在积分号下求导数，得， 函数的递推公式 性质4 递推公式 ，有 证明 由分部积分公式，有=设，逐次应用递推公式，有而由此可见，只要知道函数在区间的函数值，由递推公式就能计算出任意正数的函数值 特别地，有而，即 这是！的一个分析表达式，函数就是！的推广，后者只对自然数有定义，现已推广到

16、自变量是任意正整数的围2.1.5函数的极值与凸性 性质5 函数在区间是下凸函数，且存在唯一一个极小值点 证明 对，通过对上述函数求导，有，=因此，函数在时是下凸的且位于轴上方而，所以由性质2可知，函数在区间是连续的，因此函数在区间也是连续的所以在区间一定有最小值点，且函数在区间是严下凸的由此，函数在上有唯一一个极小值点落而在在区间函数的延拓证明 由递推公式可得，当时，上式右端有意义，运用上式来定义左端函数在的值，由于，推得此时利用在有定义，又可定义在值，而这时依此类推，可把延拓到整个数轴(除=，外)对于伽马函数的性质还有余元公式以及勒让德公式,其中余元公式 设，则勒让德公式，有因为数学分析教材

17、中已经给出了详细的证明，这里不再进行研究2.2函数的性质 函数=称为函数(贝塔函数)关于函数的性质，主要也是研究它的定义域、它在定义域的连续性、可微性、对称性以及函数递推公式2.2.1函数的定义域 性质1的定义域为证明 首先将积分改写为其中，(i)首先考察积分，有当时，积分为定积分；当时，被积函数的瑕点是，因为当，即时，由定理4可知，瑕积分收敛(ii)再考察积分，有当时，积分为定积分；当时，被积函数的瑕点是，有当，即时，由定理4可知，瑕积分收敛 综上可知，当且时，瑕积分与瑕积分都收敛，所以函数的定义域为2.2.2函数的连续性性质2在定义域连续 证明 ，使，而积分收敛，根据定理5可知，含参变量积

18、分在区域上是一致收敛的同时，由于在上连续因此，根据定理9可知，含参变量积分在区域连续，因此积分在连续由的任意性可知，函数在定义域连续2.2.3函数的可微性性质3在区域(，)可微证明 ，使，函数，在连续，积分是收敛的再考察含参变量积分在上的一致收敛性，有而积分收敛(已证)根据定理6可知，积分一致收敛因此，无穷积分在间存在偏导数即同理可证在区间也存在且即函数在区间存在偏导数由的任意性可知，在区间存在偏导数同理可证，存在二阶、三阶等任意阶偏导数2.2.4函数的对称性性质4 函数具有对称性：即证明 令，当时，；当时，有-函数的递推公式性质5函数的递推公式： (i)，有 (2-1) (ii)，有 (2-

19、2) (iii)，有 (2-3) 证明(2-1) 对于，由分部积分公式，有-即成立 由对称性，有因此，成立同理可证即对于，也成立函数的其他形式性质6，证明 设，有 (2-4)由公式(2-4)，有下面几个简单的公式：，有 (2-5) 在公式(2-5)中，令与，当时，；当时，,有 (2-6)在公式(2-6)中，令，有或即 (2-7)2.3函数和函数的联系在函数的递推公式中，特别地，取，逐次应用递推公式，有而，即当，时，有或这个公式可以表明，尽管函数=和函数(，)的定义在形式上没有任何联系，但通过对函数和函数性质的全面研究发现，它们在之间有着紧密的联系这个公式可以推广为，有3 欧拉积分的应用函数和函

20、数是两个含参量的反常积分所定义的非初等函数，它们有十分广泛的应用，如欧拉积分在计算定积分和广义积分中的应用以及证明一些重要的积分等式中的应用、在概率和统计中的应用、在微分方程中都有重要的应用，同时在物理和工程技术等方面起到至关重要的作用3.1 欧拉积分在数学分析中的应用 通过上述对函数和函数的性质的全面深入的学习和研究，可以帮助我们在数学分析的定积分的计算、广义积分的计算、平面图形围成区域面积的计算以及三角函数求解积分的计算方面都有十分广泛的应用，大大简化了计算过程，节省了计算的时间例1 计算积分 分析 上述积分的形式符合函数定义的基本形式，通过换元法，化为函数形式，利用函数来计算此积分解 令

21、，有例2 计算由曲线所围城的区域的面积分析 由题意可知，所求封闭区域的图形关于轴、轴都是对称的令第一象限那部分图形的面积为，且在第一象限的曲线方是所以，这个图形围成的区域的面积应该是第一象限那部分图形的面积的四倍因此，面积 解 换元法，令，当时，；当时，则再设，当时，；当时，因此，将积分转化为欧拉积分：特别地，当时，曲线方程为，这是半径为的圆，其面积，这与所学的圆的面积计算公式一致例3 计算积分分析 这道题显然被积函数非常复杂，若变化技巧使用不恰当会导致计算过程极为复杂，甚至一无所获当然可以用万能换元，但很复杂令，则有再利用三角恒等式可得，当时，；当时，则有由三角函数和贝塔函数联系可知，此时转

22、化为欧拉积分会更加简单 解 令，当时，；当时，则有 3.2 欧拉积分在概率和统计中的应用欧拉积分不仅在数学分析当中有广泛的应用，同时在概率和统计当中的应用更加非常广泛并且至关重要利用函数和函数的性质可以帮助我们解决求解概率密度函数、求解分布函数的随机变量以及随机变量有关的证明问题等等，这样对于学习概率和统计这一课程也提供了方便 例4 分别求出下列分布密度中的常数使其成为概率密度函数分析 上式中符合函数的被积函数的形式，因此利用函数来解决问题会更加便利 解 由于，所以，即 例5 求下列分布函数的期望和方差(1)随机变量即(2)贝塔分布函数解(1)令，当时，；当时，则有同理可得由公式，有(2)同理

23、可得由公式，有例6 设随机变量，且与相互独立，则证明 由于，因此由卷积公式可知 当时， 当时， 当时，即3.3 欧拉积分在微分方程中的应用二阶微分方程(，不一定是整数)的解所定义的函数叫贝塞尔函数，在微分方程中应用十分广泛贝塞尔方程的两个特解为：，其中与是两个函数称为阶贝塞尔函数，称为阶贝塞尔函数对于贝塞尔方程求特解的方法是非常困难和繁琐的此时，利用它与函数的密切的关联来求解贝塞尔方程的特解，使得二阶微分方程特解的表示简洁明了，为后续工作的顺利完成提供极方便3.4 欧拉积分在物理中的应用欧拉积分不仅在数学分析和概率统计以及微分方程中得到了非常广泛，同时在物理和工程技术等方面也有应用3.4.1函

24、数在超代数相干态表示当中的应用现代物理学当中的超代数，在物理学当中的超统一理论、量子场理论以及超统一理论等领域当中具有极其重要的作用在研究超代数的相干态表示的时候，无法避免的要确定相干态的完备性关系，因为一个不具有完备性的相干态是没有多大的价值的在确定完备性关系的时候，经常会遇到类似于的积分形式，为了方便它的计算，我们将此积分的计算结果作一推导.根据函数的定义形式，利用换元法，有令，当时，；当时，则有令，当时，；当时，则有通过函数和函数的联系，可知当，时，因此通过上面对于超代数相干态的完备性关系常遇到的积分形式的求解，可以确定超代数相干态的完备性与欧拉积分有密切的关联因此，利用欧拉积分可以为确

25、定超代数相干态的完备性关系提供有力工具3.4.2函数在半导体物理中的应用函数在半导体物理当中也同样有着广泛的应用在热平衡状态下半导体物理时常常会遇到的积分形式，如果积分当中的为一个确定的值，则无法进行积分求解；如果将换成，则可以只需要对积分进行计算即可根据函数和公式(2-7) 当时，有应用递推公式，有试用代替令，则有令，则此时的极值点为同理可得在极值点的值，而因此，函数在上是严上凸的，且在处函数的极大值约为当时，函数随的增大而迅速减小；在时，因此，将积分当中的积分上限换成，对结果不产生影响 经过数学讨论，将半导体物理中常常遇到的繁琐的积分进行了合理的简化，结果表达简练，使得热平衡状态下半导体的

26、研究得以深入和顺利的进行结 论 通过以上分析，使我们对欧拉积分有了一个比较清晰的认识，对伽马函数和贝塔函数的性质了解的更加系统、更加全面同时，应用伽马函数和贝塔函数的这些性质更加巧妙的解决了以下问题： (1)为解决*些具有特殊类型的定积分、含参变量积分的计算问题提供了简洁、实用的方法 (2)简化了概率和统计中求解概率密度函数、求解分布函数的期望与方差等问题的计算过程，为证明有关随机变量的问题提供了方便 (3)使得二阶微分方程特解的表示简洁明了，便于后续工作的完成 (4)为物理学中超代数相干态表示、热平衡状态下半导体的研究问题的解决提供了有力工具，使得物理学中的相关问题得以深入和顺利的进行 由此

27、表明，欧拉积分的应用不仅局限在数学分析、概率和统计、微分方程等数学学科中，而且也渗透到物理等其它学科中，随着问题的进一步探究，欧拉积分的应用领域一定会得到进一步拓展致 在这次的毕业设计中，我发自心最想感的人就是我的指导教师唐晓翠老师，如果没有她的悉心指导与鼓励，我的论文根本不可能顺利完成我深深地感觉到唐晓翠老师是一位治学严谨、学识渊博、诲人不倦的好老师，她不仅拥有高尚的师德，对待工作更是一丝不苟、精益求精，这些都深深地感染和激励着我她在本文的选题、构思、撰写以及许许多多的细节方面都给予了我极帮助，而且对于论文的修改问题上也提出了许多恳切的建议与意见，并且每次都非常认真的审阅和批注她的每次指导就

28、像指南针一样，让我在迷茫的旅途中重新找到前进的方向最让我暖心的就是她的亲切、温柔与耐心，每次都为我的论文工作到很晚，正是在她的帮助下才使我的论文得到了不断的完善，乃至最终定稿同时感教过我的所有的老师，没有他们对我的培养就没有如今即将大学毕业的我，感他们让我拥有了许多知识，这将成为我人生当中最强大的力量同时也要感我的室友们，她们总是会在我无暇顾及论文的时候及时的提醒我，在我为论文着急的时候带我放松在她们的帮助下才使我顺利的写完论文不仅在精神上安慰、鼓励、支持着我，也在论文书写格式和排版等方面提供了很大帮助总之，我要感所有培养过我、关心鼓励过我的所有老师和同学们，感短暂的人生中有你们的出现，与你们

29、相处的点点滴滴都将成为我今后人生路上的最美好的回忆，载着大家的期待与祝福努力过好今后的每一分、每一秒参考文献1周晓晖. 伽马函数和贝塔函数的性质及其应用J. 西南学昌学报(自然科学版)，2014,03:16-192何其祥. 欧拉公式在含参量积分中的应用J. 教育教学坛，2015,15:149-1503玉琏. 数学分析讲义M. 第五版下册. ：高等教育，2008：319-3284卢路加，君会，志隐. 欧拉积分的性质及应用J亚太教育，2015,20:222-2235王琪，国林. 欧拉积分在积分学中的应用J. 科教文汇(下旬刊)，2011,06:97-986林清，蔡萍. 利用欧拉公式推导三角函数公式J. 高等数学研究，2014,02：10-127宁丽娟. 伽马函数与概率统计中几个常见的连续型分布J. 科技信息，2011,27:17-278谭雪梅，侯秀梅. 伽玛函数在概率统计中的应用分析武J. 汉生物工程学院学报，2014,02:29-319晓慧. 函数在超代数相干态表示中的应用J. 数学的实践与认，2004,34:145-14710世清，牟海维，王立刚，高宇飞第. 二类欧拉积分在半导体物理中的应用J. 石油学院学报，2006,04:134-135. z.