泛函分析第2章度量空间与赋范线性空间

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1、第2章 度量空间与赋范线性空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念。 事实上，它是n维欧几里得空间Rn 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数 空间。因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。2.1 度量空间的基本概念2.1.1 距离（度量）空间的概念在微积分中，我们研究了定义在实数空间R上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R上现有的距离函数d,即对x,y R,d（x,y） |x y。度量是上述距离的一般化：用抽象集合X代替实数集，并在X上引入距离函

2、数，满足距离函数所具备的几条基本性质。【定义2.1】 设X是一个非空集合，（?,?）： X X 0,是一个定义在直积X X上的二元函数，如果满足如下性质：（1）非负性 x, y X,（x, y） 0, （x, y 0x y；（2）对称性 x, y X,（x, y） （y,x）（3）三角不等式 x, y,zX, （x, y） （x,z）（z, y）;则称（x, y）是X中两个元素x与y的距离（或度量）。此时，称X按（?,?）成为一个度量空间（或距离空间），记为（X,）。注：X中的非空子集A,按照X中的距离（?,?）显然也构成一个度量空间， 称为X的子空间。当不致引起混淆时，（X,）可简记为X，并

3、且常称X中的元素为点。例2.1离散的距离空间设X是任意非空集合，对X中任意两点x,y X,令(x, y)显然，这样定义的（?,?）满足距离的全部条件，我们称（X,）是离散的距离空间。这种距离是最粗的。它只能区分 X中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度。此例说明，在任何非空集合上总可以定义距离，使它成为度量空间。例2.2 n维欧几里得空间Rn表示n维向量x Xi,X2,L ,%的全体组成的集合，也表示n个实数Xi,X2,L ,4组成的数组Xi,X2,L ,xn的全体形成的集合。对x Xi,X2,L ,Xn , yyi,y2,L ,ynRn,定义1(x,y)n2 2(x y)i 1卜面

4、来证（?,?）满足度量定义中的条件（1） （3）。(2.1)3）,需利用p 2时的离散型Minkowski不等式（见1.5 节）。取 zZ1,Z2,L ,ZnRn ,则有(x, y)n(Xi i 1(x,z)n(Xii 112 4)2yi)2n(4i 1(Xi z) (Z12 yi)2(乙y)因此，Rn是一距离空间。（Rn,）称为n维欧氏空间。2yj由式（2.1）不难验证（?,?）满足条件（1）, （2）。为证满足条件注：若在Rn中规定1(x,y)maxxV(2.1，)则（Rn, 1）也是距离空间（读者自己验证）例2.3所有数列组成的集合S ,对anbnS，定义anbnnbn(2.2)那么（，

5、）是$上的度量。式（2.2）通常称为Frhet组合（,）显然满足度量条件（1） （2）,我们来证也满足条件（3）。事实上，对CnS,由于函数(x) _L(x 0)是单调增函数，因此由1 xanbnancnanbn|anbnanci |cnbn |ancn在上市不等式两边同乘1|an cn | cn bn5再求和，便得ancn|cn bn |1 |g bn因此(S,)是距离空间。(2.3)例2.4连续函数空间C a,b，对f,g C a,b，定义(f,g) max f (t) g(t)a t b则(f,g)是C a,b上的一个度量(f ,g)显然满足度量条件(1) (2)。对另一连续函数h C

6、a,b ,由f(t) g(t) |f(t) h(t)| |h(t) g(t)maX f(t) h(t) max h(t) g(t) a t ba t h=(f ,h)(h,g),( t a,b )所以(f ,g)(f ,h)(h, g)例2.5 函数类Lp(E)(p 1)(参见1.6节)，对f,g Lp(E)定义1p p(f,g) E|f(t) g(t) dt p则(f,g)是Lp(E)上的一个度量，(Lp(E),)是度量空间。1由(f,g) 0 E( f(t) g(t)pdt)p 0根据Lebesgue积分的性质有f (t) g(t)a e。反之,若f (t) g(t)a e ,则(f ,g

7、) 0。所以，(f,g)满足度量定义2.1中条件(1);条件(2)显然满足；对另一函数h Lp（E）,根据1.6节Minkowski不等式有（f ,g） f g p f h p h g p （九h） （h,g）即（f,g）满足度量定义条件（3）,所以（f,g）是Lp（E）上的一个度量，（Lp（E）,）是度量空间。f(t) g(t) varisup f(t) g(t)t a,b(2.5)例2.6 L a,b是本性有界可测函数的全体，即 a,b上除某个零测度外，在 它的补集上是有界的可测函数全体。对f,g L a,b ,定义(f, g) inf sup mEa0b t a,b E则（f,g）是L

8、a,b上的一个度量，（L a,b ,）是度量空间由式（2.5）显然可知，（f,g）满足度量条件（1） （2）。现证（f,g）满足度量条件（3）,对f,g,h L a,b及0存在&a,b ,E2a, b且(f,h)2(h,g)2mEmE2 0,使sup f (t) h(t) t a,b Eisup h(t) g(t)t a,b Ei从而有(f,g) sup f(t) g(t)t a,b Ei E2sup I f (t) h(t)| |h(t) g(t) t a,b Ei E2sup f(t) h(t) sup h(t) g(t)t a,b E1 E2t a,t E1 E2sup f (t) h(

9、t)t a,b Eit a,b 旦sup h(t) g(t) (f ,h)(h,g)(f ,g)(f, h) (h, g)。所以（09）是1 a,b上的一个度量,（L a,b ,）是度量空间。2.1.2 距离空间中点列的收敛性非空集合X引入距离（度量）后，就可以在其上定义点列的收敛概念【定义2.2】设X是一个度量空间，Xn，x X,（n 1,2,L ）称点列收敛于X ,是指（Xn,X）0（n）, X叫做点列Xn的极限，记作lim Xn X或nXn X（X ）。度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。【定理2.1】度量空间（X,）中的收敛点列Xn的极限是唯一的，且若Xn收敛于X X

10、,则Xn的任意子列X%也收敛于X。证明：首先证明定理的第一部分。设X,y X都是Xn的极限，则对n N, 有（X, y）（X, Xn）（Xn,y）令n 有（Xn,X） 0, （Xn, y） 0,必然有 （X,y） 0,因此X y,这说明Xn最多有一个极限。其次证明定理的第二部分。设 Xn收敛于X X ,于是 0,存在自然数N ,当 n N 时，(Xn, X)。由于nk N ,从而当k n时，也有（x%,x）收敛于X 。证毕。卜面讨论某些具体空间中点列收敛的具体含义O例2.7 Rn空间中点列x（0）X1（m）,x2m）,L ,xnm）按度量式（2.1）收敛于(0) .(0),X2 , L ,Xn

11、的充分必要条件是对每个i,(1n)有 x(m)Xi(0)（m ）,即按坐标收敛。证明： 对i（1 i（m） xix(0)当(x(m) x(0)0( m )时，(X(m),X(0)定有 x(m)x(0)0(m),(m)Xix(0)(m) 0由于1 n2 2(x(m)x(0)xkm)xk0) 2x(m)x(0)x2m)x20)Lxnm)xn0)k 1所以，对 i,(1 i n),当 xi(m)x(0)(m )时(x(m)x(0)0(m)。证毕。同样我们也可以证明Rn中点列xn按距离式(2.1)收敛于x(0)的充要条件是对于每个 i,(1 i n),有 x(m)x(0) (m )0例2.8 C a,

12、b空间中点列fn按式(2.3)度量收敛于f。C a,b的充分必要条件是fn在a, b上一致收敛于fo。证明： 由(fn,fo)0(n),知对 0, N,当n N时，max fn(t) f0(t)，即对任意 t a,b,当 n N 时，fn (t) f0(t),所以 fn 在 a,b上一致收敛于fO。若fn在a, b上一致收敛于f0,则对 0, N,当n N时，对于t a,b 恒有 fn(t) f0(t)，从而 maxfn(t) f0(t), a t b即(fn,f0)0(n)。证毕。若C a,b按式(2.4)定义度量，则C a,b就构成Lp a,b的子空间，令xn(t)(b a)n(t a)n

13、t a,b ,(n 1,2,L )由勒贝格控制收敛定理，xn在Lpa,b中收敛于x(t) 0,显然xnC a,b,但xn不一致收敛于x(t) 00例2.7,例2.8表明，如果在一个非空集合上定义了两个度量，那么，由它们导 出的收敛概念可以是一致的，也可以是不一致的。但当我们引入了适当的距离后， 都可以统一在距离空间中考虑收敛概念，这就为统一处理各个具体空间提供了方便。习题2.11 .对x, y R,定义(x, y) (x y)2, (x, y)是R上的距离吗？若是，给出证明,若不是，为什么?2 .对x,y R,规定(x,y) J|x y|,证明(R,)是距离空间。3 .把所有收敛数列的集合记为

14、c ,对x,y c,x x , y y ,(i 1,2, L),定义(x, y) sup x y ,证明(c,)是距离空间。i N4 .设X是度量空间，在X中若xnx, yn y(n )。证明：(xn,yn)(x, y)。5 .设 x(m)x(m),x2m),L ,xnm),L (n 1,2,L),及 x1，x2,L ,%,L S ,证明点列x(m)收敛于x的充分必要条件是x(m)依坐标U敛于x,即对每个自然数1, x(m)xi(m)2.2度量空间中的开、闭集与连续映射在第1章中，我们对Rn空间中的点集进行了详细讨论，介绍了开集、闭集等一系列概念，为了更深入研究度量空间中集合的内在结构， 本节

15、我们将把这些概 念推广到一般度量空间中，其中大多数定义的叙述和定理的证明与以前的行文相 似。2.2.1 度量空间中的开、闭集【定义2.3设X是度量空间，Xo X , r 0是一个正数，点集x| (x,x。)r,x X称为以xo为中心、以r为半径的开球，或xo的r邻域，记为B,(x0)或 Br(Xo,r);点集x| (x, Xo) r,x X称为以x为中心、以r为半径的闭球，记为 Br(Xo)或 Br(Xo,r)0X中的点歹IXn收敛于x X ,用邻域的术语来说，就是：对于 x的任意邻 域B(x,),存在自然数N ,使当n N时，xn B(x,)。例2.9设X是离散距离空间，Xo X ,则B(X

16、o,1) Xo, B(x0,2) X,1,、B(Xo,1) X, B(%，2 %。例 2.10 设 X 0,1 U 2,3 ,X是R的子空间，则 B(2,3) 2,3) , B(2,1) 2,3)1 1u1, Bq/)(0,1), Bq/) 0,1o设A是X的子集，比是X中的一个定点，则X。与A的关系只能有如下三种 情况：(1)在X0 “附近”全是A的点；(2)在X0 “附近”根本没有A的点；(3)在X0 “附近”既有A的点，又有不属于A的点。根据以上情况，我们给出如下定义：【定义2.4设X是距离空间，A X , X0 X ,如果存在X0的邻域B(X0,)A,则称X0是A的内点；如果X0是X

17、A的内点，则称X0是A的外点；如果X0 既非A的内点，有非A的外点，即X0的任何邻域内既有属于 A的点，也有不属于 A的点，则称X0为A的界点或边界点；如果X0的任意邻域B(X0,r)都含有A x 中的点，即B(X0,r)I (A x0),则称X0是A的聚点。注：A的聚点不一定是A的内点，还可能是A的界点；其次，A的内点必属于A, 但A的聚点则可以属于A,也可以不属于Ao由此可知A的界点不是聚点，便是 孤立点。X中的点，对A来说可分为内点、界点、外点或聚点、孤立点、外点三种。例2.11若X为离散距离空间，A X ,则A中均为内点且为A的孤立点， X A中的点均为A的外点。【定义2.5 设X是距

18、离空间，G X ,如果G中每一点都是G的内点， 则称G是开集。例2.12 任何开球Br(x0)是开集。证明：设 x Br (X0),则(x, X0) r ,令 R r(x,x0),那么 B1(x) Br(x0),事实上，若y B/x),则(x,y) 口，由于0X0)(y,x)(X,X0) r1(X,X0) r所以 y Br(x0) o【定理2.2 设X是度量空间，X中开集有如下性质:(1)空间X及空集是开(2)任意多个开集的并是开(3)有限多个开集的交是开证明：性质(1)、(2)显而易见，现证性质(3)。设Gi,G2, ,Gn是X中的有限个开集，即nG GiI G2I I GnI Gii 10

19、,使对x G,及一切i(1 i n),有x Gi,由于Gi是开集，所以存在nB(x5)Gi ,取 r minri,2, ,rn,则对 1 i n ,有 B(x,r) Gi ,可见nB(x,r) I G ,所以x是G的内点，有x的任意性知，G是开集。证毕 i 1注：任意多个开集的交不一定是开集，例如-1Gn(0.1 ) R(n 1,2,),nI Gn(0,1, (0,1并不是R的开集i 1对于度量空间X的子集A, A的聚点全体记为 A ,称为A的导集，集合A AU A称为A的闭包。1 1-11例2.13 设 A 1-,-, R,则 A 0, A 1-,-, 。2 n2 n【定义2.6 设X是距离

20、空间，A是X的子集，如果A的每一个聚点属于A, 则称A为闭集。显然，A为闭集的充要条件是A A【定理2.3】(开集与闭集的对偶性)设X是距离空间，A X ,若A是X 的开集，则X A是X的闭集；若A是X中的闭集，则X A是开集。证明：设A为开集，x X是X A的聚点，则x的任一邻域都有不属于A的 点，这样x不可能是A的内点，从而x A,即x X A,由于x的任意性，知X A 是闭集。反之，设A为闭集，x X A,若x不是X A的内点，则x的任意邻域B(x,)至少有一个点属于 A的点，而且异于x,这样x是A的聚点，从而 x A,和假设矛盾。证毕。正是由于开集和闭集有这样的对偶关系，我们常将闭集看

21、成是由开集派生出 来的一个概念。由定理2.1与定理2.2得闭集的性质：【定理2.4】 设X是距离空间，X中的闭集具有如下性质：1 1) X及是闭集；2 2)任意多个闭集的交是闭集；3 3)有限多个闭集的并是闭集。注：任意多个闭集的并不一定是闭集，例如Fn -,1 -, (n 3,4,),n n则Fn是R中闭集，但U Fn (0,1) ,(0,1)不是R中的闭集。 n 34 .2.2度量空间上的连续映射【定义2.7 设(X,)与(丫，1)是两个度量空间，T是X到Y的一个映射，xo X ,若对 0,存在 0,当(x,xo)时，有1(Tx,Txo)，则称T在点xo连续；若T在中每一点x都连续，则称T

22、为X上的连续映射。度量空间之间的连续映射是数学分析中连续函数概念的推广，特别，当映射是值域空间Y R时，映射就是度量空间上的函数。例2.14 设(X,)是距离空间，x0是X上一定点，对x X , f(x)(x,x0)是X到R上的连续映射(函数)。事实上，对x,y X ,由下式I f (y) f(x)| | (y,x0)(x,x0)| (y,x)即可证明是连续映射。【定理2.5】 设X, Y是两个度量空间，T： X Y, xo X ,则下列命题等价：(1) T在Xo点连续；(2)对 0,存在 0,当 x B(Xo,)时，有 Tx B(TXo,);(3)对于X中任意点列xn,若xnx0(n),则T

23、xnTx0(n)。证明：(1)(2)显然；(2) (3)由于XnX0(n),对 0存在自然数 N ,当n N时，(Xn,X。)，即 Xn B(Xo,),因此 T4 B(Tx。，)，即 1小,丁心)；(3) (1)反证法，若T在X。点不连续，则存在0 0,使对任意0,存1一在 x X,且(x,x)，但 1(Tx ,Tx)0,特别取 一，(n 1,2,)，则有 XnX ,(Xn,Xo)一，但i(TXn,TXo) ,这意味着XnX(n)，但nTXnTx0(n)不成立，矛盾。证毕。下面定理是通过开集与闭集来刻画连续映射的。【定理2.6】 设X,Y是两个度量空间，T： XY是一个映射，则下述命题等价：(

24、1) T是连续映射；(2)对于Y中任何开集G , T 1(G)是X中的开集；(3)对于Y中任何闭集F , T 1(F)是X中的闭集。证明：命题(1) (2)设xo T1(G),则Tx G。因G是Y中开集，所以 存在 0 ,使B(Tx0, ) G ,由T在点Xo连续，所以对于上述 0 ,存在 0 , 当 x B(Xo,)时，有 Tx B(TXo,),即 T(B(TXo, ) B(Tx0, ) G，故 B(X0, ) T 1(G) o所以x0是T 1(G)的内点，由x0的任意性，T 1(G)是开集。命题(2) (1)对Xo X,及 0,取G B(TXo,),那么T 1(G)是X中 开集，而Xo T

25、 1(G),所以存在 0 ,使得B(X0, ) T 1(G),即 T(B(X0, ) G B(TX0,),这说明T在比点连续。由X。的任意性知，T在X的每 一点都连续。命题(2) (3)对于任何闭集F Y , F的余集Fc是开集。根据映射像也原像的性质有T 1(Fc) (T 1(F)c0命题(3) (2)对于任何开集G Y , Gc是闭集，同样T 1(Gc) (T 1(G)c。 证毕。注：关于映射的性质T 1(Ac) (T 1(A)c留作习题。下面介绍一个十分有用的特殊映射同胚映射。【定义2.8】 设X,Y是两个距离空间，T是X Y上的一一映射，T 1是 T的逆映射，若T及T1都是连续映射，则

26、称T是X到Y上的同胚映射；若从X到 Y上存在某一同胚映射，则称X与Y是同胚的。例2.15 y arctanx是R至U(万,万)上的同胚映射，R与(万,万)是同胚的。由于两个同胚的距离空间点之间一一对应，所有邻域也是一一对应的，而且 连续概念只依赖于邻域的概念，因此， 在只讨论与连续性有关问题时，可以把两 个距离空间看成一个。习题2.21 .证明闭球是闭集。2 .设X是距离空间，A X, A0表示全体内点构成的集合，称为 A的内部，证明A0是开集。3 .设X是距离空间，A X ,证明A是闭集的充要条件是对于任意4 A ,若 Xn Xo(n)，则 Xo A。4 .证明从离散距离空间X到任意距离空间

27、Y的映射T： X Y是连续映射。5 .设X是一度量空间，Xo X,证明f(x)(x, %)是X上的连续函数。6 .设X是度量空间，F X是一个非空闭集，又tx X,记作inf (x, y): yF (x, F),证明：对任意r 0,集合x X : (x, F) r是开集。7 .设Fi与F2是度量空间X中的闭集，且FiI F2,证明存在开集G-G2,使 F1 G1 , F2 G2，且 G11G2。8 .设X是度量空间，A X,若x。A ,证明对任意0,集AI B(x。，)是无限集。9 .设X是度量空间，A,B X ,证明：(1)若 A B ,则 A B ；(2) A A；(3) AU B AU

28、B ；(4) aTb AI B ,并举例说明等号未必成立。10 .设X是度量空间，证明：(1) X中每个非空闭集必为可列个开集的交；(2) X中每个非空开集必为可列个闭集的并。11 .设X, Y是两个非空集合。T: X Y是一个映射，A X ,证明:1c _ 1_ cT (A) (T (A)。2.3度量空间中的可分性、完备性与，列紧性2.3.1 度量空间中的可分性有理数集在实数集中的稠密性，实数集的完备性及有界数列必有收敛子列是 数学分析的理论源泉。本节将把实数空间这几个重要性质推广到一般的距离空间 中。【定义2.9】设X是一度量空间，A与B都是X的子集，若B A,则称A 在B中稠密。由定义2

29、.9及2.2节有关定义、定理易证如下定理。【定理2.7 设X是度量空间，A, B X,则如下说法等价：(1) A在B中稠密；(2)对 x B,0,存在 y A,使(x, y);(3)0 ,有 B U B(x,);x A(4)对 x B,存在点列xn A,使 xn x(n ) o例2.16 有理数在实数中稠密，有理数也在无理数中稠密。注：稠密概念在数学分析中学中是很有用的， 当考察距离空间是否具有某种 性质时，往往先是在它的稠密子集上考察，然后通过极限过程得出X上相应的结论。【定义2.10】称度量空间X是可分的，是指存在X中一可列集A,使A在 X中稠密。例2.17欧氏空间是Rn可分的。证明：取A

30、 (ng ,rn):ri是有理数(1 i n),则A是可列集。对x Rn及 0 ,记x (Xi,X2, ,xn),取有理数 ri满足 | X n | 7=,令 a (r, 2，7), 则a A,由于(x,a)(为) j 所以A在Rn中稠密。例2.18连续函数空间Ca,b是可分的。证明：设A为系数是有理数的多项式组成的集合，A为可数集。对任一连续 函数f Ca,b,由Weierstrass定理对a,b上任一连续函数f ,必存在一列多项式 Pn(x) Ca,b,(n 1,2, ), pn(x)在a,b上一致收敛于 f(x)。则对 0, 存在多项式 pn(x)且满足 (f,Pn) max|f(x)

31、pn(x)|:x a,b 2 ,取多项式 P0 A,满足(pn,P0) max| pn(x) P0(x)|:x a,b ,于是，P0,f) ( Po, Pn) (Pn, f) ，从A而在Ca,b中稠密。例2.19Lpa,b( p 1)是可分的度量空间。证明：由勒贝格积分的绝对连续性可证a,b上的有界可测函数全体 Ma,b中稠密，例2.18中的集合A在Ca,b中稠密，所以Lpa,b(p 1)是可分的。 下面举一个不可分度量空间的例子。例2.19有界数列空间l ,在l上定义度量(,)sup|ai bi |, (ai,bi l )i 1则l在度量下是不可分的。证明：用反证法，若l是可分的，则存在可列

32、稠密集 A。取l的一个子集B 廿: a 0或1(i 1,2, ) , B与区间0,1可以通过二进制小数建立如下对应：ai0.aa2，该对应是映射，因此B是不可数集。以A中的所有点.、11.11为中心，-为半径的开球 B(a,-)(a A)满足 UB(a,i) l。因止匕B UB(a,1)。33a-A3M 3由于A可数，B不可数，所以至少存在B中两个不同点，落入某个开球11 1 2Ba,1)。直接计算，显然(，)1,但(，)(a)(ao, ) - 1,33 3 3矛盾，故l不可数。2.3.2 度量空间中的完备性我们在学习数列收敛时，已经知道数列收敛的准则是该数列是否为Cauchy列，因为数列收敛

33、的充要条件是数列是Cauchy列，这完全是由实数的完备性所致。在度量空间中，这一结果未必成立。为此，我们引入一个重要的概念一一度 量空间的完备性。【定义2.11 度量空间X中的点列%称为Cauchy列，是指对任意0 ,存在自然数N ,当n,m N时，有(xn,xm)；度量空间X称为完备的，是指X中任何Cauchy列都是收敛的。由定义易知X中的收敛点列是Cauchy列。X中的Cauchy列若有子列收敛， 则Cauchy列也收敛。例2.21 欧氏空间Rn是完备的。证明：设x(k)是Rn中任一 Cauchy歹I，则对 0,存在自然数N,当khk2 N时，有(x(kl),x(k2)，于是，对每个坐标所

34、形成的数列(k)(k)/(k)(k)(k)、Xi (x(X1 ,X2 , ,Xn )(1 I n),.(k1)(k2)(k1) 的)| XXi| (x ,x )这说明xi(k)是Cauchy列，因此，存在实数X1 ,满足x(k) X|(k ),记作 X (Xi, X2, , Xn),则 x Rn。这样有 X(k)x(k ) o例2.22 空间Ca,b是完备的。证明：设fn是Ca, b中任一 Cauchy列，则对 0,存在自然数N ,当n,m N 时，有(fn, fm) ，即对任意 t a,b,必有 |fn(t) fm(t) | ，令 m , 有 | fn(t) f0(t)| ,则fn 一致收敛

35、于 。而 fn a, b,所以 a,b,且(fn, fc) 0 (n )，故Ca,b空间是完备的。例2.23 l空间是完备的。证明：设Xm是l中的Cauchy歹I，其中Xm1(m),2(m), ,n(m), ,则对0 ,存在自然数N ,当n, m N时，下式成立(Xnf SUP| j j N对每个j N ,也有| jj(m)|j (m )。令 X 1, 2, , n事实上，在| j(n) j?中令n(m)j |成立，这样对每个 j存在j R ,有，则 x l 且 xkx(k ) o,得到对一切m N , | j(m)j |成立。又因为Xm l ,因而存在实数km,使得对所有j , | j(m)

36、| km成立。这样就有| j | | j j(m)| | j?这就证明了 X l ,由|上j |,可知对一切m N ,下式成立(Xm，X)SUp| j(m)j |所以Xmx(m ),因而l是完备的。注：不完备距离空间是存在的。例如有理数域就是不完备的，再如 Ca,b按Lpa,b (p 1)空间的距离构成的度量空间是不完备的。a b事实上，Ca,b是Lpa,b的子空间。在(a,b)中取一点c,如取c ,令2Xn(t) atctan(n(t c), t a,b, n 1,2,则,a t c2Xn(t)X0(t)0, t c一,c t b2且|Xn(t)| 2( t a,b),由勒贝格控制收敛定理可

37、以证明Xn收敛于Lpa,b中的函数 x0,因而xn是 Cauchy列，TMxn Ca,b,所以xn是Ca,b中的 Cauchy列，但X。不可能对等于一个连续函数，故Xn不收敛于Ca,b中某个元，所以Ca,b作为Lpa,b的子空间是不完备的。从以上例子可以看出，同一集合由于距离定义不同会得到本质上不同的结果。【定理2.8】度量空间的完备子空间是闭集；一个完备度量空间的闭子空问是完备的。证明：设S是距离空间X的完备子空间，设x S ,则存在 Xn S,Xn x X , (n ),因为Xn是收敛的，所以它是S中一 Cauchy歹！J, 又因为S是完备的，所以x S,即S是闭的。设X是完备的距离空间，

38、S是X的闭子空间，设xn是S中的Cauchy列，则必是X中的Cauchy列，因X完备，故xnx X(n)，所以x S,而S是闭的，故x S,这就证明了 S是完备的。类似于空间R上的闭区间套定理，我们在距离空间中可得到闭球套定理。【定理2.9 设X是度量空间，Bn Bn(xn，rn)(n 1,2,L)是X中一列以为中心，以rn为半径的闭球，则X是完备的充要条件是若BnBni(n 1,2,L )且rn0( n),则必有惟一点x I Bn on 1证明:对 n,m N ,由 xm n Bn ,知(xn m, xn )rn由于rn0(n ),从而(xn m,xn)0(n),因此,xn是X中的基本列，由

39、于X是完备的，所以必有xoX ,使 xnx(n再在式(2.6)中令m ,由距离函数的连续性得到(x0,xn) rn(n 1,2,L )因止匕x0Bn(n 1,2,L )，从而凡 I Bn。如果又有n 1X中点y0I Bn ,从而n 1(y0,xn) rn, n 1,2,L，令 n ，即得(y。？。)lim(y0,xn)所以x0y0 ,即I Bn中只有一点。n 1设4是X中的基本列，由基本列定义知，对2k 1 (k1,2,L )存在当 y B(xnk1,1 一.一27)时，由于nk N ,当n,m 、时，有(xn , xm)2k 11在X中作一列闭球B(xn9),k 1,2,L 。11（Xnk,

40、y）（KG（-9 歹歹得知所以另一方面,:1、y B（xnk，2）-1-1B（Xnk，牙）B（9i,2）,k 1,2,L1 . . 一 1B（Xnk，2k）的半径2k0（k）,则有惟一点1、x0 kI1B（Xnk，2V）从而(Xnk, X0)0(k)，所以(Xn,Xo)0(n)。即X是完备的。一般的度量空间，如果不是完备的，应用起来往往很困难。例如，方程解的 存在问题，在不完备的度量空间中解方程， 即使近似解的序列时基本列，也不能 保证这个序列有极限，从而也就不能保证方程在该解空间内有解，因此研究能否在任意度量空间中通过“添加” 一些“点”，使之成为完备化的距离空间是很有 意义的。康托将有理数

41、域完备化成实数域的方法为解决此问题提供了重要借鉴。 用他的思想方法解决了度量空间的完备化问题。【定义2.12】 设(X, ) ,(X1, 1)是两个度量空间，如果存在满影射T:X”,使得对一切x, y X ,都有1(TX,Ty) (x, y),则称T是X到X1的等距映射，称X与X1是等距的。注：等距影射一定是同胚映射。显然，凡是等距的度量空间，由度量导出的性质全是一样的，因此，当只限 于讨论与度量空间有关的性质时，对彼此等距的度量空间可以不加区分。【定理2.10(度量空间的完备化定理)对于每个度量空间X ,必存在一个完备的度量空间X。，使得X等距一个在X。中稠密的子空间X ,如除去等距不计，X

42、0是惟一的。由于这个定理证明冗长，且一般泛函分析教材均有证明过程，这里从略。例2.24 有理数全体Q按距离 亿出)Inb|所成度量空间是不完备的，它的完备化空间就是全体实数按距离,幻|x y|所成的距离空间；Pa,b是a,b上全体多项式函数，按度量(1,2) max|xy(t) |所成度量空间是不完a t b 备的，它的完备化空间是Ca,b； Ca,b按Lpa,b(p 1)空间的度量构成的度量空间是不完备的，它的完备化空间是Lpa,b2.3.3度量空间中的列紧性在实数集中，有界数列一定存在收敛子列，但这个结论不能推广到一般的度 量空间中。例如，在,上的三角函数系lsint,Lcosnt，sin

43、 t,L 是空间L2,中的一个有界集，但其中任意两个不同元素距离等于22 ,不可能存在收敛子列。因此，有必要引入下面的概念。【定义2.13 设X是度量空间，A X ,如果A中的每一点列都存在一个 子列收敛于X中某一点，则称A为列紧集；如果A中的每一点列都存在一个子 列收敛于A中某一点，则称A是紧集。由此可见，一个集合是紧集则必是列紧集，但反之不然。例 2.25 X R, A (0,1, 1 A, lim1 0,但 0 A。因此，A 是列 n n n紧集，但不是紧集。由定义我们可以得出结论：列紧集的子集也是列紧集；有限个列紧集的并一 定是列紧集；列紧的闭集一定是紧集。例2.26 X Rn, A

44、Rn是有界集，则A是列紧集。证明：x A,记x(k) /点xn的,由A有界知存在M 0,使Xi(k) M(1 i n)。对个数列x，是有界的，对x(k)有子列J收敛，xzk仍是有界的，故又存在收敛子序列x2(k2), kJ是K的子集。依次类推，得到自然数集的子列kn,使外0心山xn(kn)者B收敛，因此依)在Rn中收 敛，即A为列紧集。根据定以来直接判断一个集合是否列紧往往比较困难，为了便于刻画和判断 一个集合的列紧性，我们引入全有界集概念。【定义2.14 设X是度量空间，A X是全有界的，如果对 0,存在nA中有限个点Xi,X2,L ,xn满足A UB(xi,)。 i 1【定理2.11全有界

45、集是有界的，且是可分的。证明：设X是度量空间，A X是全有界的，则对1存在Xi,X2,L ,Xn A,n使 A UB(x,1),因此对一切 x A,有 Xk(1 k n),使(x,xj 1 ,所以i 1(x,Xn)(x, Xk)(Xk,Xn) 1 max (Xk,Xn) 1 M ( M 是有限数)1 k n故A有界。1 .力一方面，右A全有界，对n ,存在有限集nBn X1,X2叫L ,Xmn（n）（n 1,2,L）mn1使A UB（Xi,），令B U a,则B是可列集。任取x A,存在某个1 k m0 , i 1nn 1使Xk（n） Bn B,且（x,Xk（n） 1,说明B在A中稠密，故A可

46、分。 n注：定理2.11逆命题不真。【定理2.12如果A是度量空间X中的列紧集，则A是全有界集。证明：若A不是全有界集，那么存在0 0,使得A中任意有限个点为中心，半径为0的球并不能盖住A。取X1 A ,球B（X1, 0 ）不能盖住A ,于是存在x2 A且X2 B（x, 0）即有（X1,X2）0,同样B（X1, 0）UB（X2, 0）也不能盖住 A,存在X3A 且 X3B（X1,0）UB（X2,0）,既有（为W）,（X2,X3）0 ,如此继续下去，得到A中点列Xn满足（Xn,Xm）0（m n）。可见点列4的任何子列均不能收敛，这与A是列紧集矛盾。【定理2.13 如果X是完备的度量空间，则A是列

47、紧集的充要条件是A为 全有界的。证明：必要性由定理2.12即得。1现证充分性：设A是全有界集，Xn A,取k （k 1,2,L）,对1 1存 k在以A中有限个点为中心，1为半径的球的并盖住A,所以必有某个球B（aC）中含有Xn的某子列，该子列记为XnX1;取2 2,同样存在以A中有限个点为 11中心，X1L为半径的球盖住A,所以必有某个球B（a2,1）含有子列Xn（1）的子列，记为Xn，如此进行下去，可得子列用为/3Xn, L，其中后一个是前一个的子列，且Xn（k） B（akJ）。从这一个子列申中重新选择一个子列XnR ,即 k将子列用排成下面的表，选取对角线元素而得(1)X2(1)X3(1)

48、X4X2LX3LX4L(n)(n)(n)(n)x1x2x3X4L L L L L我们来证明xn(n)是Cauchy歹1.事实上，对任意 0,取自然数N ,使2一,则对任何n, m N ,有Nxn(n) , N Ba5)所以(kbm?%aN)相向国)(即xn(n)是Cauchy列。由X完备，可知xn(n)是收敛列，证得A为列紧集。注：在完备的度量空间中，集的列紧性和全有界性是一致的；在一般的度量空间中，列紧性强于全有界性，全有界性强于有界性；在Rn空间中三者是一致的。现在我们将古典分析中闭区间上连续函数的某些性质推广到度量空间的紧 集上。【定理2.14】 设A是度量空间X中的一个紧集，f是定义在

49、A上的一个 连续函数，那么f是有界的，且上下确界可达。证明：先证f有界。若不然，则存在xn A ,使pm | f (xn) | ,由于A是紧 的，有xn子列%k在A中收敛，即有 A,使xnk 汽。由于f在点孔连续， 有f(x0) lim f (xnk),从而f (x0) ,这是不可能的。所以f在A上是有界的。1记 sup f (x),由上确界定义，同样可以找到A中点列xnk,满足f(xn)-,x an由A紧性，存在子列xnk及Xo A ,使xnkx(k)，由f在点Xo连续，得f (Xo) lim f (Xnk),显然f (Xo),于是f (Xo)。同理可证下确界可达。kk .关于判断重要空间C

50、a,b中子集的列紧性有下述著名的Arzela-Asccoli 定理。【定理2.15 集合A Ca,b是列紧的充要条件是下面两个条件成立：(1) A是一致有界的，即存在常数M 0,使得每个f A , max| f(t)| M ：a t b(2) A是等度连续的，即对 0,存在 0,使对任意t1,t2 a,b,当|ti t2 | 及 f A 时，|f(ti) f(t2)| 成立。该定理证明较为繁杂，这里从略。习题2.31 .设 X 0,1U2,3,L ,n,对 x,y X,(x, y) |x y|,问：(1) X是否完备； (2) X是否可分；(3) X是否全有界； (4) X是否列紧。2 .证明

51、稠密性具有传递性即若 A在B中稠密，B在C中稠密，则A在C中也 稠密。3 .证明列紧集中的Cauchy列必是收敛列。4 .举例说明完备度量空间的连续像未必是完备的。5 .设X是度量空间，A X,证明A在X中稠密的充要条件AC是无内点。6 .记l(,)|ai bj,aj,bi li 1证明：l1是可分的且是完备的。7.设A是列紧集且是闭集，证明 A是紧集。8.设Fn是一列非空紧集，若满足F1F2 F3 L ,则I匕 。i 19.设X是度量空间，x X, A是X中紧集，记(x, A) inf (x, y) : y A证明：当(x, A) 0,那么x A;如果将A换为列紧集，结论是否成立?10.证明

52、紧集的连续像是紧集。11.设X是度量空间，A X是紧集，B X是闭集，记(A,B) inf (a,b):a A,b B若(A, B) 0 ,证明 AI B 。12.试证l空间不是列紧的。13.证明L a,b空间是不可分的。 ：|ai| ，在l1上定义度量为i 12.4Banach压缩映像原理作为完备度量空间概念的应用，我们介绍压缩映像原理。压缩映像原理是求 解代数方程、微分方程、积分方程，以及数值分析中迭代算法收敛性的理论依据， 是数学和工程计算中最常用的方法之一。2.4.1 压缩映像原理在众多情况下，求解各种方程的问题可以转化为求其某一映射的不动点，现在以大家熟悉的一阶常微分方程孚 f(x,

53、y)(2.7)dx为例来说明这一点。求微分方程(2.7)满足初始条件y(xo) y。的解与求积分方程xy(x) y。f(x,y(t)dt(2.8)Xo等价。我们做映射xTy(x) y。 f(x,y(t)dtx则方程(2.8 )的解就转化为求y ,使之满足Ty y。也就是求这样的y ,它经映射作用后仍变为y o因此，求解方程(2.7)就变为求映射T的不动点。这种求解方程变为求解映射的不动点的做法在数学中是常用的。那么如何求解映射的不动点呢？在R中求方程解的逐次逼近法给了我们启示。例2.27求Kepler方程x sinx a的解，其中，a为已知常数，01。解:做映射T:R R,使Tx sinx a

54、 ,求方程的解就转化为求映射T的不动点，即求一点，使T 。任取一实数x。，做如下迭代序列Tx。, x2 TxiT2x。，L ,xnxisinXoax2sinx1aLLLLxn 1 sin xna由于|XniXn|TXnTXn1| | Sin Xn Sin Xn 1 |sinXn SinXnil |Xn 1 Xn |所以|Xn iXn|TXnTXn1| n | A X。|因而，对任何自然数m、n, n m,有| XnXm | XnXn 1 | Xn 1Xn2 | L| Xm1Xm|n 1 n 2m(L ) | X1 Xo |m-|X1 Xo| 1因01 ,故当m时，上式后部分极限为0,因此Xn是

55、R中的Cauchy歹【,所以 R,使limXn。又T是连续映射，对41 TXn,令n ，有 T ,n故 为映射T的不动点，即为所求Kepler方程的根。这个根是惟一的，与 Xo选取无关。事实上，如果方程还有另一根| | sin sin | |sin sin |sincos22I 2 |sin|这是不可能的，故。这种迭代原理是解决映射不动点问题最基本的方法。在解决上述问题中，看 到实数完备性的重要作用。代数方程、微分方程、积分方程及其他方程求解的逐次逼近法在泛函分析中 成了一个一股原理，即压缩映象原理，压缩映象原理就是某一类影射不动点存在 和惟一性问题，不动点可以通过迭代序列求出。【定义2.15

56、 设X是一个度量空间，T:X X是一个映射，称x是T的不动点，是指Tx x o【定义2.16】 设X是一个度量空间，T :X X称为压缩映像，是指存在常数 a0.1满足(TX,TY) a (x,y),(x,y X)。从定义2.16可见，压缩映像一定是连续映射。因为若 Xnx,由(TXn,Tx) a (Xn, x),得 TXnTx。【定理2.16(Banach压缩映像定理)设X是完备度量空间，T:X X是压缩映像，那么T存在惟一的不动点。证明：任取x。X ,作迭代序列xn Txn 1 (n 1)。为证xn是收敛仅需证明 它是Cauchy点列，因为X是完备的。由于(x2,xi)(Txi,Tx。)

57、a (xi,x。)2(x3,x2)(Tx2,Txi) a (Txi,Tx。) a (x1,x。)(xn，xn 1 )(Txn1，Txn2)a (xn 2,xn 3)an1 (xi，xo)于是对任何自然数(xn p,xn)(xn p，xn p 1 )(xn p 1，xn p 2)(xn 1,xn)n p 1 n(a aan) (xi,x。)np、a (1 a )(xi,x。)(xi, x。)可见,(xn p，xn)0(n),因此xn是Cauchy点列。从而存在 X中x使xnx我们来证x便是T的不动点，事实上由(Tx , x ) (Tx ,Txn)(Txn,x )a (x ,xn) (xn 1,

58、x )0(n)得(Tx , x ) o ,即(Tx , x ) 0 ,故 Tx x。最后来证惟一性。设另有一不动点 y ,即有Ty y ,因(x ,y ) (Tx ,Ty ) a (x ,y ),0 a 1 所以(x , y ) 0 ,即x y。证毕。注：(1)从定理的证明过程中发现，迭代序列的初始值可任意选取，最终都 能收敛到惟一不动点。(2)该定理提供了近似计算不动点的误差估计公式，即n/、 a、(x , Xn)-(TX0,X0)1 a因为完备度量空间的任何子集在原有度量下仍然是完备的，所以定理中的压缩映像不需要在整个空间 X上有定义，只要在某个闭集上有定义，且像也在该 闭集内，定理的结论

59、依然成立。在实际应用过程中，有时T本身未必是压缩映像，但T的若干次复合Tn是 压缩映像，这时T仍然有惟一不动点，这就是如下所述的对压缩映像原理的改进 定理。【定理2.17】 设X是完备度量空间，T :X X是一个映射。如果存在某 个自然数n,使Tn0是压缩映射，那么T存在惟一的不动点(这里Tn0是T的n次 复合，即 T2x T(Tx), ,Tn0x T(Tn0lx)证明：Tn0是压缩映像，所以存在惟一的不动点 x ,即Tn0x x ,由于 Tn0(Tx ) Tn0 1x T(Tn0x ) Tx这说明Tx仍是Tn0的不动点，而Tn0的不动点惟一，所以Tx x ,即x是T 的不动点。若T另有不动点y .即Ty y , 则 Tn0y Tn0 1(Ty ) Tn0 1yy ,那么y也是Tn0的不动点，根据不动点的惟一性有xy证毕。2.4.2压缩映像原理的应用本小节通过代数方程、微分方程、积分方程来说明定理2.16与定理2.17的 具体应用。例2.28 线性代数方程Ax b均可写成如下形式x Cx D (2.9)其中C (q)nn,D &, ,dn)T