福建师范大学21秋《复变函数》在线作业三答案参考31

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1、福建师范大学21秋复变函数在线作业三答案参考1. 设f(x)存在，求下列函数的二阶导数:设f(x)存在，求下列函数的二阶导数:， $，. 2. 有一矩形薄板，其中板的一组对边绝热，而另一组对边中，一边的温度保持零度，另一边保持常温u0，那么此矩形板的有一矩形薄板，其中板的一组对边绝热，而另一组对边中，一边的温度保持零度，另一边保持常温u0，那么此矩形板的稳定温度分布所满足的定解问题是()。3. 连续4次掷一颗骰子至少出现1次一个6点(设为事件A)与连续24次掷两颗骰子至少出现1次两个6点(设为事件B)，哪个连续4次掷一颗骰子至少出现1次一个6点(设为事件A)与连续24次掷两颗骰子至少出现1次两

2、个6点(设为事件B)，哪个事件的概率更大?P1=4/64 p2=24/624p1/p2=4/64*624/24=6191所以4次的概率大4. 设f(x)满足f(x)+f(x)g(x)-f(x)=0，其中g(x)为任一函数。证明：若f(x0)=f(x1)=0(x0x1)，则f(x)在x0设f(x)满足f(x)+f(x)g(x)-f(x)=0，其中g(x)为任一函数。证明：若f(x0)=f(x1)=0(x0x1)，则f(x)在x0，x1上恒等于0。正确答案：一定存在(x0x1)使f()=0则f()=f()；若f()0则f()0应为f(x)的极小值点但f()0=f(x0)=f(x1)矛盾；若f()0

3、则f()0应为f(x)的极大值点但f()0=f(x0)=f(x1)矛盾。故只能f()=0即f()=0再对x0及x1应用以上结论反复使用知f(x)在x0x1上恒等于0。一定存在(x0,x1),使f()=0,则f()=f()；若f()0,则f()0,应为f(x)的极小值点,但f()0=f(x0)=f(x1),矛盾；若f()0,则f()0,应为f(x)的极大值点,但f()0=f(x0)=f(x1),矛盾。故只能f()=0,即f()=0,再对x0,及,x1应用以上结论,反复使用,知f(x)在x0,x1上恒等于0。5. 求主y3y&39;2y=5，y|x=0=1，y&39;|x=0=2的特解求主y-3y

4、+2y=5，y|x=0=1，y|x=0=2的特解6. 若f(x)为Lebesgue可积函数，则( )A.f可测B.|f|可积C.f2可积D.|f|.a.e.参考答案：ABC7. 利用扩充问题求解下列线性规划问题：min f=-x4+2x5+3x6, s.t. x1+5x4-x5+5x6+x7=17, x2-x4+2x5-x6+x7=-22,利用扩充问题求解下列线性规划问题：min f=-x4+2x5+3x6,s.t. x1+5x4-x5+5x6+x7=17,x2-x4+2x5-x6+x7=-22,x3+x4+x5-x6+x7=-33,xi0(i=1，2，7)添加人工约束：x4+x5+x6+x7

5、=M，对扩充问题迭代两次得表7，从表中x2的对应行可知问题无可行解 表7 x1 x5 x6 x7 f -frac175 -frac15-frac95-4-frac15 x8 x2x3x4 M-frac175-22+frac175-33-frac175frac175 -frac15 frac65 0 frac45frac15 frac95 0 frac65-frac15 frac65-2 frac45frac15-frac15 1 frac158. 模D=1，2，3是Z7的一个(7,3,1)差集。( )模D=1，2，3是Z7的一个(7,3,1)差集。( )正确答案： 9. 生产一个零件需经四道工

6、序，各道工序产生次品的概率分别为5%，3%，3%，2%设各道工序产生次品相互独立，求零件的生产一个零件需经四道工序，各道工序产生次品的概率分别为5%，3%，3%，2%设各道工序产生次品相互独立，求零件的次品率互不相容事件的和 令Ai表示事件：第i道工序产生次品(i=1，2，3，4)，由独立性得 于是，零件的次品率为 10. 如果m=m1m2,且(m1,m2)=1，有m|xy,则m1|xy,m2|xy.( )如果m=m1m2,且(m1,m2)=1，有m|x-y,则m1|x-y,m2|x-y.( )正确答案： 11. 下列等式中是微分方程的有( ) Au&39;v+uv&39;=(uv)&39;

7、By&39;-ex=cosx C Dy+3y&39;+下列等式中是微分方程的有()Auv+uv=(uv)By-ex=cosxCDy+3y+8y=4exBD选项(A)中，uv+uv=(uv)是求导公式，对于任何函数，左右两边恒等，因此不是微分方程； 选项(B)中，可将y视为关于x的未知函数，并且出现了y的导数形式，因此是微分方程； 选项(C)中，对于任何函数，左右两边恒等，因此不是微分方程 选项(D)中，可将y视为关于x的未知函数，并且出现了y的导数形式，因此是微分方程 12. 通过直线且与平面2x+y+z=0垂直的平面方程是_。通过直线且与平面2x+y+z=0垂直的平面方程是_。x-6y+4z

8、=013. Qx中，x416可以分解成几个不可约多项式A、1.0B、2.0C、3.0D、4.0Qx中，x4-16可以分解成几个不可约多项式A、1.0B、2.0C、3.0D、4.0正确答案： C14. 根据设计要求，某零件的内径的标准差不超过0.30 现从该产品中随机抽验了25件，测得其标准差S=0.36 问检验结根据设计要求，某零件的内径的标准差不超过0.30 现从该产品中随机抽验了25件，测得其标准差S=0.36 问检验结果是否说明产品的标准差明显增大了(=0.05)?由于未知期望，由题设可知0=0.30，n=25，S=0.36 据题意，提出假设如下 提出假设H0： 找统计量 求临界值对给定

9、的=0.05，查2分布表， 求观察值计算得 作出判断因为2=34.5636.415，所以接受H0，即认为该产品的标准差没有明显增大 15. 形如：y=f(y，y&39;)的微分方程令y&39;=p，则y=_便可以达到降阶的目的形如：y=f(y，y)的微分方程令y=p，则y=_便可以达到降阶的目的16. 节水洗衣机 我国淡水资源有限，节约用水人人有责洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节水洗衣机我国淡水资源有限，节约用水人人有责洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水漂洗脱水加水漂洗脱水(称

10、“加水漂洗脱水”为运行一轮)请为洗衣机设计一种程序(包括运行多少轮，每轮加水量等)，使在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少选用合理的数据进行计算对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型作出评价17. 设f(x)Ca，b，求曲边梯形(x，y)|0axb，0yf(x)绕y轴旋转一周所成旋转体的体积设f(x)Ca，b，求曲边梯形(x，y)|0axb，0yf(x)绕y轴旋转一周所成旋转体的体积正确答案：18. 下列函数在区间-1，1上满足拉格朗日定理条件的是( ) A By=(x+1)(x-1) C D下列函数在区间-1，1上满足拉格朗日定理条件的是()ABy=(x+1)(x-1)CDB19.

11、(1)设f(x)=sinx,，试证在点x=0处fg(x)连续 (2)讨论函数在定义域内是否连续(1)设f(x)=sinx,，试证在点x=0处fg(x)连续(2)讨论函数在定义域内是否连续(1)由题意有 因此fg(x)处处连续，自然fg(x)也在x=0点处连续 (2)当0xe时，有 当xe时，有 于是有 又由于 可知f(x)在x-=e点连续，从而f(x)的定义域x0上连续 20. 为了鉴定两种工艺方法对产品的某种性能指标影响是否有差异，对9批材料分别用两种工艺进行生产，得到该指标的9为了鉴定两种工艺方法对产品的某种性能指标影响是否有差异，对9批材料分别用两种工艺进行生产，得到该指标的9对数据如下

12、：0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 17.40.10 0.20 0.52 0.32 0.78 0.59 0.68 0.77 0.89假定两种工艺方法生产的产品的性能指标之差服从正态分布根据这些数据能否判定不同工艺对产品的该性能指标影响有显著差异?(=0.05)21. 2xydy=(2y2x)dx2xydy=(2y2-x)dx22. 在1，2，500中，有多少个不可被7整除，但可被3和5整除的整数?在1，2，500中，有多少个不可被7整除，但可被3和5整除的整数?设S=1，2，500，以A1，A2分别表示S中可被15和7整除的整数集合，则问

13、题归结为求|A1-A2|。=33-4=2923. 一曲边梯形由曲线y=2x2+3，x轴及x=-1，x=2所围成，试列出用定积分表示该曲边梯形的面积表达式一曲边梯形由曲线y=2x2+3，x轴及x=-1，x=2所围成，试列出用定积分表示该曲边梯形的面积表达式S=-12(2x2+3)dx24. 设f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0,试证在(a，b)内，一定存在f&39;(x)+kf(x)的零点设f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0,试证在(a，b)内，一定存在f(x)+kf(x)的零点设F(x)=ekxf(x)在a，b上利用罗尔定理可

14、证在(a，b)内，一定存在f(x)+kf(x)的零点25. 证明每个结点的次数至少为2的图必包含一个回路证明每个结点的次数至少为2的图必包含一个回路设L是图G中最长路中的一条，设其长度为m，这条路的一个端点设为a，考察G中与a关联的那些边，这些边中任何一条边的另一端必在L上，否则，将这个结点加进L中就可得到一条更长的路 如果G中每个结点的次数至少为2，那么a也要关联于一条不在L上的边e，若e是环，则e本身就是回路，否则，边e的另一个端点b(与a不同的点)在L上，而连通L中a到b的子通路与边e就组成一个回路本题证明时所设L是考虑了能否构成环的最坏情况(见图(a)，除两头外，其他结点的次数为2(满

15、足至少为2的最少次数情况)，如果不按L来安排结点在图中位置的话，已经可出现回路 由于条件给出每个结点的次数至少为2，那么结点a及L中的另一端点的次数就不会是1，故会有如图(b)所示的情况由a引出的另一条边e的另一头必会去与另一结点相连(如结点b，因为按最差情形所有点均放到了L上)，此时已出现了回路 26. 任意给定Cnn中的矩阵范数M，则存在Cn中的向量范数v，使得对任意的ACnn和任意的xCn都有 AxvAM任意给定Cnn中的矩阵范数M，则存在Cn中的向量范数v，使得对任意的ACnn和任意的xCn都有AxvAMxv(1.16)取非零列向量yCn，定义xv=xyHM，则v是Cn中的向量范数，且

16、满足式(1.16) 证毕 27. 什么是刚性方程组?为什么刚性微分方程数值求解非常困难?什么数值方法适合求刚性方程?什么是刚性方程组?为什么刚性微分方程数值求解非常困难?什么数值方法适合求刚性方程?在求解微分方程组时，经常出现解的分量数量级差别很大的情形，这给数值求解带来很大困难，这种问题称为刚性问题 求刚性方程数值解时，若用步长受限制的方法就将出现小步化计算大区间的问题，因此最好使用对步长h不加限制的方法 如欧拉后退法及梯形法，即A-稳定的方法， 通常求解刚性方程的高阶线性多步法是吉尔方法还有隐式龙格-库塔法 28. 设，2元实二次型XAX的一个特征值是i，证明：Rn中存在非零向量=(1,2

17、n)，使得A=(12,22n设，2元实二次型XAX的一个特征值是i，证明：Rn中存在非零向量=(1,2n)，使得A=(12,22n2)正确答案：因为i是A的一个特征值设为对应于的特征向量且=(12n)则A=i从而f(12n)一TA=Ti=T=i(1222n2)因为i是A的一个特征值,设为对应于的特征向量,且=(1,2n),则A=i从而f(1,2n)一TA=Ti=T=i(12,22n2)29. 试求具有y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex为特解的常系数线性齐次方程试求具有y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex为特解的常系数线性齐次方程y+y-y-y=030. 指出下列点集的内点、边

18、界点、聚点，并说明是否是有界集、连通集、开区域、闭区域。指出下列点集的内点、边界点、聚点，并说明是否是有界集、连通集、开区域、闭区域。(1)E中的任一点都是点集E的边界点；点集E没有内点；x轴上的点，y轴上的点都是E的聚点；E是有界集；集合E不是区域、闭区域，也不是连通集。$(2)集合F中除点(1，0)外的任一点(x，y)都是F的内点；圆周x2+y2=1与(x-2)2+y2=1上的点和点(1，0)都是F的边界点；F的每一个点都是F的聚点；F是有界集，连通集；但不是区域(1，0)不是F的内点)，也不是闭区域$(3)G中的任何一个点(x，y)都是G的内点；(0，0)点是G的边界点；全平面R2上任一

19、点(x，y)都是G的聚点；G是无界集，连通集；G是区域，但不是闭区域。31. 设函数f(x)和f(x)在a，b上可积，则设函数f(x)和f(x)在a，b上可积，则此不等式的证明有多种方法，下面用二重积分证明 记 D(x，y)|axb，ayb 因为 所以 又 故 32. 设f&39;(x)是连续函数，则f&39;(x)dx=_设f(x)是连续函数，则f(x)dx=_f(x)+C33. 设f(x)在(-1，1)内连续，在x=0处可导，且f(0)=0，f&39;(0)=1，求极限设f(x)在(-1，1)内连续，在x=0处可导，且f(0)=0，f(0)=1，求极限434. 有A、B两家生产小型电子计算

20、器工厂，其中A厂研制出一种新型袖珍计算器。为推出这种新产品加强与B厂竞争，考虑了有A、B两家生产小型电子计算器工厂，其中A厂研制出一种新型袖珍计算器。为推出这种新产品加强与B厂竞争，考虑了3个竞争对策：(1)将新产品全面投入生产；(2)继续生产现有产品，新产品小批量试产试销；(3)维持原状，新产品只生产样品征求意见。B厂了解到A厂有新产品情况下也考虑了3个策略：(1)加速研制新计算器；(2)对现有计算器革新；(3)改进产品外观和包装。由于受市场预测能力限制，表3-4只表明双方对策结果的大致的定性分析资料(对A厂而言)。若用打分办法，一般记为0分，较好打1分，好打2分，很好打3分，较差打-1分，

21、差为-2分，很差为-3分。试通过对策分析，确定A、B两厂各应采取哪一种策略？表3-4A厂策略B厂策略1231较好好很好2一般较差较好3很差差一般A、B两厂均采取策略1。35. 隐函数F(x,y)=0，在某点可微，则在这点附近可表示为函数 y=f(x).( )隐函数F(x,y)=0，在某点可微，则在这点附近可表示为函数 y=f(x).( )正确答案：36. 甲、乙两人对策。甲手中有3张牌：2张K，1张A。甲任意藏起一张后然后宣称自己手中的牌是KK或KA，对此乙可以接受或甲、乙两人对策。甲手中有3张牌：2张K，1张A。甲任意藏起一张后然后宣称自己手中的牌是KK或KA，对此乙可以接受或提出异议。如甲

22、叫的正确乙接受，甲得1元；如甲手中是KK叫KA时乙接受，甲得2元；甲手中是KA叫KK时乙接受，甲输2元。如乙对甲的宣称提出异议，输赢和上述恰相反而且钱数加倍。列出甲、乙各自的纯策略，求最优解和对策值，说明对策是否公平合理？游戏公平合理。37. 不存在这样的函数f：在区间a，b上增且使得f&39;(x)在a，b上积分值fdx。( )A.正确B.错误参考答案：B38. 设方程组 (1) 与方程组 (2) 是同解方程组，试确定方程组(1)中的p，q，r的值设方程组(1)与方程组(2)是同解方程组，试确定方程组(1)中的p，q，r的值方程组(2)的同解方程组为 (3) 令x3=0，得方程组(2)的解*

23、=(-2，5，0，-10)T 与方程组(3)对应的齐次线性方程组为 (4) 令x3=1，则方程组(4)的基础解系为=(-3，2，1，0)T. 故方程组(2)的通解为 (R) 将其代入方程组(1)中，得 即 令=1，得r=-2，p=3，q=2 39. 设随机变量X的概率密度，则Y=( )N(0，1) A B C D设随机变量X的概率密度，则Y=()N(0，1)ABCDB40. 证明：两异面直线l1，l2公垂线段的长度就是l1，l2之间的距离。证明：两异面直线l1，l2公垂线段的长度就是l1，l2之间的距离。 (如图所示)设AB是l1与l2的公垂线段，长度为|AB|，在li上任取一点Qi(i=1，

24、2)，作出由Qi，V1，V2决定的平面，于是AB，由Q2作的垂线，设垂足为N，因为l2，所以|AB|=|Q2N|，于是，在直角三角形Q1NQ2中，|Q1Q2|Q2N|=|AB|，所以，|AB|是l1与l2之间的最短距离，即两异面直线l1与l2线段的长度就是l1与l2之间的距离。 41. 试证明： 设fn(x是R1上非负渐降连续函数列若在有界闭集F上fn(x)0(n)，则fn(x)在F上一致收敛于零试证明：设fn(x是R1上非负渐降连续函数列若在有界闭集F上fn(x)0(n)，则fn(x)在F上一致收敛于零证明 由题设可知，对任意的xF以及0，存在自然数指标n，使得fn(x)因为f(x)是连续函

25、数，所以存在x0，使得fn(t)(tB(x，x)注意到B(x，x)是F的开覆盖，故存在有限个开球 B(xi，xi) (i=1，2，m)， 记与xi相应的自然数指标为ni(i=1，2，m)，则令N=maxn1，n2，nm，我们得到 fn(x) (nN，xF) 这说明fn(x)在F上一致收敛于0 42. 证明在a，b上p方可积函数必是L可积函数，即 (1p+)证明在a，b上p方可积函数必是L可积函数，即(1p+)若p=1，则结论显然成立； 若1p+，对，令A=x| |f|1，xa，b，B=a,bA，则有a,b|f|dm=A|f|dm+B|f|dmA|f|Pdm+Bdm=A|f|pdm+mB+，即|

26、f|是L可积，从而f是L可积。 43. 设 都是有理数域Q上的多项式 求u(x)，v(x)Qx，使得设都是有理数域Q上的多项式 求u(x)，v(x)Qx，使得对f(x)与g(x)施行辗转相除法 由此知x2-2是f(x)与g(x)的最大公因式，而 从而有u(x)=-(x+1),v(x)=x+2. 44. 自变量或函数变换在偏微分方程化简和求解中有什么作用?自变量或函数变换在偏微分方程化简和求解中有什么作用?正确答案：45. 证明函数当x0时无极限证明函数当x0时无极限所要求证的结论可由数列当n时趋于零，而f(xn)=(-1)n无极限推知46. 下列数列收敛于0的有( ). A，0，0，0， B1

27、， C D下列数列收敛于0的有().A，0，0，0，B1，CDABCD因为这些数列的奇数项和偶数项都收敛于047. 2一平面经过原点和另一点(6，3，2)且与平而5x+4y-3z=8垂直，求此平面方程。2一平面经过原点和另一点(6，3，2)且与平而5x+4y-3z=8垂直，求此平面方程。2-17x+28y+9=048. 把一个多项式进行因式分解是有固定统一的方法，即辗转相除法。( )把一个多项式进行因式分解是有固定统一的方法，即辗转相除法。( )正确答案： 49. 设(A，*)是一个半群，而且对于A中的元素a和b，如果ab必有a*bb*a，试证明：设(A，*)是一个半群，而且对于A中的元素a和

28、b，如果ab必有a*bb*a，试证明：由题意可知，若a*b=b*a，则必有a=b 因为(a*a)*a=a*(a*a)，所以a*a=a$因为a*(a*b*a)=(a*a)*b*a=a*b*(a*a)=(a*b*a)*a，所以a*b*c=a$因为(a*c)*(a*b*c)=(a*c*a)*(b*c) =a*(b*c)=(a*b)*(c*a*c) =(a*b*c)*(a*c)，所以a*b*c=a*c 50. 试证明： 设，且m*(A)，m*(B)，则 |m*(A)-m*(B)|m*(AB);试证明：设，且m*(A)，m*(B)，则|m*(A)-m*(B)|m*(AB);证明 因为，所以m*(A)m*

29、(B)+m*(AB).从而可知m*(A)-m*(B)m*(AB).类似地，又可得m*(B)-m*(A)m*(AB)综合此两结论，即得所证51. 一底面积为S=4000cm2，高为h=50mn的圆柱形木制浮标浮于水面已知木制浮标的密度为0.8g/cm3求把浮标从水中托一底面积为S=4000cm2，高为h=50mn的圆柱形木制浮标浮于水面已知木制浮标的密度为0.8g/cm3求把浮标从水中托出水面所作的功(水的密度为103kg/m3)假设浮标处于平衡状态时露出水面部分的高度为x0cm，由于水的密度为1g/cm3，因此由Sh80=S(h-x0)1，得到x0=10(cm)，即浮标处于平衡状态时露出水面1

30、0cm如果设F(x)(10x50)为浮标露出水面xcm时所需的托力，则有 F(x)=0.8h-S(h-x)10-3g=4g(x-10)(N)， 其中g=9.8m/s2是重力加速度因此，将浮标托出水面需要作功 52. 设e1，e2，e3不共面，证明：任一向量a可以表示成设e1，e2，e3不共面，证明：任一向量a可以表示成e1，e2，e3不共面，即(e1，e2，e3)0，且任一个向量a可表示为 a=k1e1+k2e2+k3e3 (1) (1)式两边与e2，e3取混合积得 同理，可得 ， 再把k1，k2，k3代入(1)式便得 53. 设集合A=a，b，c，A上的二元关系R=(a，a)，(b，b)不具

31、备关系中下列4个中的哪个性质? (1)传递性； (2)反对称设集合A=a，b，c，A上的二元关系R=(a，a)，(b，b)不具备关系中下列4个中的哪个性质?(1)传递性；(2)反对称性；(3)对称性；(4)自反性不具备(4)自反性如果加入(c，c)，才有自反性54. 设f(x)在x=x0的附近二阶连续可导，f&39;(x0)=0，f(x0)0，则f(x)在x=x0处有( ) (A) 极大值 (B) 极设f(x)在x=x0的附近二阶连续可导，f(x0)=0，f(x0)0，则f(x)在x=x0处有()(A)极大值(B)极小值(C)拐点(D)既非极值点也非拐点B根据洛必达法则， 说明当x充分接近x0

32、时，f(x)-f(x0)0即x=x0是f(x)的极小值点 55. 试求y=x的经过点M(0，1)且在此点与直线相切的积分曲线试求y=x的经过点M(0，1)且在此点与直线相切的积分曲线方程的初始条件为y(0)=1， 代 代入y(0)=l，得C2=1，所求积分曲线为 56. 求由抛物线y2=8x与直线xy6=0及y=0(y0)所围成平面图形的面积求由抛物线y2=8x与直线x+y-6=0及y=0(y0)所围成平面图形的面积57. 已知向量a=2，1，1)，若向量b与a平行，且ba=3，则b=_；已知向量a=2，1，-1)，若向量b与a平行，且ba=3，则b=_；58. 求微分方程y&39;+ytanx=cosx的通解。求微分方程y+ytanx=cosx的通解。5y=(x+C)cosx59. 当( )时，级数收敛(a为常数) Aq1 B|q|1 Cq1 D|q|1当()时，级数a/qn收敛(a为常数).A.q1B.|q|1C.q-1D.|q|1答案：CD解析：60. 下列积分不为零的是( ) A-sinxdx B-x2sinxdx C-exdx D-sinxcosxdx下列积分不为零的是()A-sinxdxB-x2sinxdxC-exdxD-sinxcosxdxC