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1、 导数及其应用知识体系总览导数概念平均变化率瞬时变化率导数的几何意义几个初等函数的导数导数在研究函数中的应用函数的单调性函数的极值和最值生活中的优化问题导数导数的运算法则3.1导数的概念知识梳理1.平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度，即一段时间或一段位移内的速度； 若物体的运动方程为则物体从到这段时间内的平均速度；一般的，函数在区间上的平均变化率为。2. 瞬时速度：是某一时刻或位置物体的速度，方向与物体运动方向相同。我们测量的瞬时速度是用很短时间内的平均速度来代替的，是对物体速度的一种粗略的估算。当平均速度中的无限趋近于0 时，平均速度的极限称为在时刻的瞬时速度，记作
2、v=。求瞬时速度的步骤为：(1)设物体的运动方程为；(2)先求时间改变量和位置改变量(3)再求平均速度 (4)后求瞬时速度：瞬时速度v=.3. 求函数的导数的一般方法：（1）求函数的改变量（2）求平均变化率（3）取极限，得导数4.上点（）处的切线方程为;3.1.1 问题探索 求自由落体的瞬时速度典例剖析题型一 平均速度例1已知自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s= ，计算t从3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒.各段内平均速度（）。分析：先求出，再求出，即为各段时间内的平均速度。解：设指时间改变量；=指路程改变量。则=；所以t从3秒到3.1秒平均速度 ；t从3秒到3
3、.001秒平均速度 ；t从3秒到3.0001秒平均速度 ；评析：通过对各段时间内的平均速度计算，可以思考在各段时间内的平均速度的变化情况；可见某段时间内的平均速度随变化而变化。题型二 瞬时速度例2.以初速度为做竖直上抛运动的物体，秒时的高度为求物体在时刻t=m处的瞬时速度。 分析：先求出平均速度, 求瞬时速度。解：所以物体在时刻m处的瞬时速度。评析：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.备选题例3：设函数，求：（1）当自变量x由1变到1.1时，自变量的增量；（2）当自变量x由1变到1.1时，
4、函数的增量；（3）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；解：（1）（2）（3）评析：本题也可以由直接求解。点击双基1. 在求平均变化率中，自变量的增量（ ）解：故选D2. 一质点的运动方程是，则在一段时间内相应得平均速度为：（ ）解：平均速度=，故选D3、在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+x,2+y）,则为（ ）A.x+2 B.x2 C.x+2 D.2+x解: =x+2，故选C4.一物体位移s和时间t的关系是s=2t-3,则物体的初速度是 解：平均速度=2-3t,当t趋向0时，平均速度趋向2.5. 一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的
5、瞬时速度是 解：课外作业：一选择题1、若质点M按规律运动，则秒时的瞬时速度为（ ）A B C D解：，故选C2、任一做直线运动的物体，其位移与时间的关系是，则物体的初速度是（ ）A 0B 3C 2 D 解：，故选B3、设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（）ABCD解：=，故选D4、物体的运动方程是，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为( )A1 B2 C 3 D 4解：，故选B5、一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在1秒末的瞬时速度是（ ）A3米/秒 B2米/秒 C1米/秒 D4米/秒解：，故选C6、在曲线的图象上取一点（1,）及附近一点，则为（）ABCD解：=，故
6、选C7. 物体的运动规律是，物体在时间内的平均速度是（ ） 当时，解：由平均变化率知 故选B8.将边长为8的正方形的边长增加a,则面积的增量S为 （ ）A16a B.64 C.+8 D.16a+a 解： S =S（8+a）-S（8）=（8+a-=16a+a 故选D二填空题：9、已知一物体的运动方程是，则其在_时刻的速度为7。解：10. 物体运动方程y=+3x，则物体在时间段上的平均速度为解：平均速度=911、当球半径r变化时，体积V关于r的瞬时变化率是解：=4;所以瞬时变化率是。三解答题：12、环城自行车比赛运动员的位移与比赛时间满足（求。解 13. 设一物体在秒内所经过的路程为米，并且，试求物体在运动第5秒末的速度。解：14、求函数y=-+4x+6在x=2时的瞬时变化率解：平均变化率=-2x+4-当x趋于0时, 瞬时变化率为-2x+4, x=2, 瞬时变化率为0.思悟小结求瞬时速度的步骤：1设物体的运动方程为；2.先求时间改变量和位置改变量3.再求平均速度 4.后求瞬时速度：当无限趋近于0，无限趋近于常数v，即为瞬时速度。8 / 8
高三数学导数及其应用
