清华大学微积分高等数学定积分一

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1、会计学1清华大学微积分高等数学定积分一清华大学微积分高等数学定积分一2022-5-172第十六讲第十六讲 定积分定积分（一）（一） 二、定积分的概念二、定积分的概念三、可积性条件与可积类三、可积性条件与可积类一、两个典型例子一、两个典型例子四、定积分的基本性质四、定积分的基本性质第1页/共28页2022-5-173例例1 曲边形的面积问题曲边形的面积问题adxyo)(xfy i ix1 ix一、两个典型例子一、两个典型例子曲边梯形曲边梯形第2页/共28页2022-5-174), 2, 1(,1nkxxnbakk 个个子子区区间间分分成成将将bxxxxxanii 11011:, kkkkkkxx

2、xxx 记记任任取取(1) 细分细分:,区区间间任任意意插插入入分分点点在在ba形形面面积积近近似似个个曲曲边边梯梯形形的的面面积积用用矩矩将将第第kkkkxfA )(个个小小曲曲边边梯梯形形将将曲曲边边梯梯形形分分成成 n(2)(2) 取近似：取近似：第3页/共28页2022-5-175(4) 取极限取极限: 0max,1 knkx 即即无限细分无限细分存存在在如如果果极极限限 nkkkxf10)(lim 的的面面积积越越接接近近曲曲边边梯梯形形分分点点越越“密密” nkkkxf1)(, Axfnkkk 10)(lim 则则 nkkknkkxfAA11)( (3)求和求和: :第4页/共28

3、页2022-5-176.,),(sbatvv所所走走过过的的路路程程内内求求在在时时间间间间隔隔已已知知速速度度 btttttankk 110例例2 变速直线运动的路程问题变速直线运动的路程问题), 1()(nitvskkk nkkknkktvss11)( nkkktvs10)(lim (1) 细分：细分： :,区区间间任任意意插插入入分分点点在在ba), 2, 1(,1nkttnbakk 个个子子区区间间分分成成将将(4) 取极限取极限:以匀速近似变速以匀速近似变速,1kkktt 任取任取(2)取取近似：近似：(3)求和求和：第5页/共28页2022-5-177二、定积分的概念二、定积分的概

4、念（一）黎曼积分定义：（一）黎曼积分定义： ,max,)(:,;), 1(,:, :11111110knknkkkkkkkkkkknkkxxfxxxxxnkxxkbxxxxxababaRbaf 记记构构造造和和式式任任取取长长度度为为的的个个小小区区间间记记第第中中插插入入一一组组分分点点即即在在作作任任意意划划分分对对区区间间设设函函数数第6页/共28页2022-5-178.,)(;,)(lim10上上的的定定积积分分在在称称此此极极限限值值为为并并且且记记上上可可积积在在称称则则存存在在如如果果和和式式极极限限baxfbaRfbafxfnkkk knkkbaxfdxxf )(lim)(10

5、记作记作:积分上限积分上限积分下限积分下限,ba称为称为积分区间积分区间定积分是定积分是 : 积分和式的极限积分和式的极限 badxxfA)( badttvs)( 例例11曲边梯形的面积曲边梯形的面积 例例22变速直线运动的路程变速直线运动的路程第7页/共28页2022-5-179面面积积定定积积分分表表示示曲曲边边梯梯形形的的即即则则若若,)(,0)()1(Adxxfxfba 面面积积的的负负值值定定积积分分表表示示曲曲边边梯梯形形的的即即则则若若,)(,0)()2(Adxxfxfba （二）定积分的几何意义（二）定积分的几何意义xyab1 ixixi )(if )(xfy oiiixfA

6、)(第8页/共28页2022-5-1710上上可可积积在在证证明明例例,)(1baCxf 证证 ), 1(,10nkxxxbakkknkk 任任取取的的一一个个划划分分任任给给 nkknkkkxCxf11)( )(1abCxCnkk )()(abCdxCdxxfbaba 即即)()(lim10abCxfnkkk 第9页/共28页2022-5-1711上上不不可可积积在在为为无无理理数数为为有有理理数数函函数数证证明明例例1, 001)(2 xxxDDirichlet证证 nkkx01, 0 的的一一个个划划分分任任给给), 1(,1nkxxkkk 是是有有理理数数任任取取 ), 1(,1nkx

7、xkkk 是是无无理理数数另另取取 1)(11 nkknkkkxxD 0)(1 nkkkxD 1)(lim10 nkkkxD 0)(lim10 nkkkxD 上上不不可可积积函函数数在在故故1, 0Dirichlet第10页/共28页2022-5-1712定理定理1：三、可积性条件与可积函数类三、可积性条件与可积函数类.,)(,)(上上有有界界在在上上可可积积，则则在在若若baxfbaxf证明思路证明思路：反证法。假设：反证法。假设 f(x) 在在a,b上无界上无界， 则至少在一个子区间上无界，所以黎曼则至少在一个子区间上无界，所以黎曼 和式无界，与和式极限存在相矛盾和式无界，与和式极限存在相

8、矛盾. 定积分作为黎曼和式的极限，其构造十定积分作为黎曼和式的极限，其构造十分复杂，因此想通过计算这个和式的极限来分复杂，因此想通过计算这个和式的极限来研究定积分，实际上是不可行的研究定积分，实际上是不可行的. . 另一途径另一途径是先研究其存在性，得到有关可积性的理论是先研究其存在性，得到有关可积性的理论。第11页/共28页2022-5-1713定理定理3：.,)(,)(上上可可积积在在则则有有限限个个间间断断点点上上只只有有在在若若有有界界函函数数baxfbaxf.,)(,)(上上可可积积在在则则上上单单调调在在若若函函数数baxfbaxf定理定理4：定理定理2：.,)(,)(上上可可积积

9、在在则则上上连连续续在在若若函函数数baxfbaxf第12页/共28页2022-5-1714四、定积分的基本性质四、定积分的基本性质 定积分是一种极限，因此其性质与极限定积分是一种极限，因此其性质与极限性质密切相关性质密切相关性质一：性质一： 线性性质线性性质有有则对任意常数则对任意常数若若, baRgf bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()( 性质二：性质二：关于区间的可加性关于区间的可加性 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(并且有并且有则则若若,),(,bcRfcaRfbacbaRf 第13页/共28页2022-5-1715 bababaduufdttfdx

10、xf)()()( 注意注意1 1 定积分的值只依赖于被积函数和积分的上、定积分的值只依赖于被积函数和积分的上、 下限，而与积分变量用什麽字母表示无关。即下限，而与积分变量用什麽字母表示无关。即 注意注意2 2 定积分的定义中，下限定积分的定义中，下限a a小于上限小于上限b b，否则，否则， 做如下规定做如下规定: : abbadxxfdxxfba)()(:,规规定定时时当当关于区间可加性的推广关于区间可加性的推广有有则则若若,babaRf dxxfdxxfdxxf)()()(第14页/共28页2022-5-1716性质三：性质三：积分的不等式性质积分的不等式性质则则有有且且若若函函数数),(

11、)(,)(,)(xgxfbaxbaRxgbaRxf babadxxgdxxf)()(（证明：利用极限的保序性质）（证明：利用极限的保序性质）性质四：性质四：积分的保号性积分的保号性则则有有且且若若函函数数, 0)(,)( xfbaxbaRxf0)( badxxf第15页/共28页2022-5-1717性质五：性质五：积分的不等式性质积分的不等式性质且且则则若若函函数数,)(,)(baRxfbaRxf babadxxfdxxf)()(注意注意,)(,)(baRxfbaRxf 得得不不出出由由 是是无无理理数数是是有有理理数数例例xxxf, 1, 1)(性质六：性质六：积分的估值性质积分的估值性质

12、则则且且若若函函数数,)(,)(MxfmbaRxf )()()(abMdxxfabmba 第16页/共28页2022-5-1718性质七：性质七：积分中值定理积分中值定理使使存存在在一一点点上上至至少少则则在在若若函函数数,)( babaCxf )()(abfdxxfba 性质八：性质八：广义积分中值定理广义积分中值定理使使上上至至少少存存在在一一点点则则在在不不变变号号且且若若函函数数, ,)(,)( babaRxgbaCxf babadxxgfdxxgxf)()()()( 第17页/共28页2022-5-1719xyo)( f)(xfy ab badxxfabf)(1)( 平均高度平均高度

13、函数平均值函数平均值第18页/共28页2022-5-1720)(0)(bxaxg 不不妨妨设设)()()()(, 0)(xMgxgxfxmgxg 由由于于证证)(,)(,xfMinmxfMaxMbaxbax ,)(baCxf Mxfmbax )(, bababadxxgMdxxgxfdxxgm)()()()(由假设条件，可以证明由假设条件，可以证明,)()(baRxgxf . 0)(, 0)( badxxgxg所以所以因为因为第19页/共28页2022-5-17210)()(0)( babadxxgxfdxxg性性质质成成立立,ba 0)(badxxgMdxxgdxxgxfmbaba )()(

14、)(.)(,),(),(,)(:, fbaMmxfMinmxfMaxMbaCxfbaxbax使使存存在在一一点点至至少少则则在在闭闭区区间间若若函函数数介介值值性性定定理理使使上上至至少少存存在在一一点点在在, ba babadxxgdxxgxff)()()()( babadxxgfdxxgxf)()()()( 即即第20页/共28页2022-5-1722为为面面积积轴轴所所围围成成的的平平面面图图形形的的及及直直线线证证明明由由曲曲线线xbxaxxfy,)( badxxfA)(1S2S3Sxyoab1c2c例例1第21页/共28页2022-5-1723321SSSA 线线性性可可加加性性 b

15、ccccadxxfdxxfdxxf2211)()()( bccccadxxfdxxfdxxf2211)()()( badxxf)( bccccadxxfdxxfdxxf2211)()()(1S2S3Sxyoab1c2c证证第22页/共28页2022-5-1724的的值值估估计计定定积积分分例例dxxx 24sin2 xxxfsin)( 设设Mmxf和和最最大大值值上上的的最最小小值值在在区区间间首首先先求求出出 2,4)( 22cos)tan(sincos)(xxxxxxxxxf 故故时时当当,tan,2,4xxx 解解 第23页/共28页2022-5-17252,40)( xxf上上严严格格

16、单单调调减减在在 2,4)( xf 2)2( fm 22)4( fM)42(22)42(224 dxxSinx222124 dxxSinx即即第24页/共28页2022-5-1726)20(0sinlim30 adxxann证证明明例例证证 利用估值定理利用估值定理上上单单调调增增加加在在, 0sinaxnaxnnsinsin0 aaxdxnansinsin00 1sin0,20 aa 0sinlim ann0sinlim0 annxdx故故根根据据夹夹逼逼定定理理得得到到第25页/共28页2022-5-1727 22001sinsin04 dxxdxxnn证证明明例例证证 2, 0sin1 Cxn 2, 0, 0sin1 xxn0sin,2, 0010 xxn使使且且 0sin201 dxxn2, 00)sin1 (sinsinsin1 xxxxxnnn使使且且,2, 01 x0)sin1 (sinsinsin11111 xxxxnnn第26页/共28页2022-5-17280sinsin)sin(sin22201001 dxxdxxdxxxnnnn 22001sinsin0 dxxdxxnn第27页/共28页