勾股定理的证明的方法

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1、-【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即，整理得.【证法2】（邹元治证明）以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.RtHAE RtEBF, AHE = BEF.AEH + AHE = 90,AEH + BEF = 90.HEF = 18090

2、= 90. 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA.HGD + GHD = 90,EHA + GHD = 90.又GHE = 90,DHA = 90+ 90= 180.ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于. .【证法3】（赵爽证明）以a、b 为直角边（ba），以c为斜边作四个全等直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.RtDAH RtABE, HDA = EAB.HAD + HAD = 90，EAB + HAD = 90， ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.E

3、F = FG =GH =HE = ba ,HEF = 90.EFGH是一个边长为ba的正方形，它的面积等于.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.RtEAD RtCBE, ADE = BEC.AED + ADE = 90,AED + BEC = 90.DEC = 18090= 90.DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又DAE = 90, EBC = 90 ADBC.ABCD是一个直角梯形，它的面积等于.【证法5】（项明达证明

4、）做两个全等的直角三角形，设它们的两直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为c. 再做一个边长c的正方形. 把它们拼成如图所示多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QPBC，交AC于点P. 过点B作BMPQ，垂足为M；再过点F作FNPQ，垂足为N. BCA = 90，QPBC，MPC = 90，BMPQ，BMP = 90，BCPM是一个矩形，即MBC = 90.QBM + MBA = QBA = 90，ABC + MBA = MBC = 90QBM = ABC，又BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c，RtBMQ RtBCA.同理可证RtQNF RtAEF【证法6】

5、（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. D、E、F在一条直线上, RtGEF RtEBD,EGF = BED，EGF + GEF = 90BED + GEF = 90，BEG =18090= 90.又AB = BE = EG = GA = c，ABEG是一个边长为c的正方形. ABC + CBE = 90.RtABC RtEBD,ABC = EBD.EBD + CBE = 90. 即CBD= 90.又BDE = 90，BCP = 90，BC = BD =

6、 a.BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则,.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CLDE，交AB于点M，交DE于点L. AF = AC，AB = AD，FAB = GAD，FAB GAD，FAB的面积等于，GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半， 矩形ADLM的面积 =.同理可证，矩形MLEB的面积 =. 正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ，即 .【证法8】（李锐证明）设直角三角形两直角边

7、的长分别为a、b（ba），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.TBE = ABH = 90，TBH = ABE.又BTH = BEA = 90，BT = BE = b，RtHBT RtABE.HT = AE = a.GH = GTHT = ba.又GHF + BHT = 90，DBC + BHT = TBH + BHT = 90，GHF = DBC. DB = EBED = ba，HGF = BDC = 90，RtHGF RtBDC. 即.过Q作QMAG，垂足是M. 由BAQ = BEA =

8、90，可知ABE= QAM，而AB = AQ = c，所以RtABE RtQAM .又RtHBT RtABE. 所以RtHBT RtQAM .即. 由RtABE RtQAM，又得QM = AE = a，AQM = BAE. AQM + FQM = 90，BAE + CAR = 90，AQM = BAE，FQM = CAR.又QMF = ARC = 90，QM = AR = aRtQMF RtARC即.，又，=，即 .【证法9】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积

9、为 ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 =.,.【证法10】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AFAC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BPAF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.BAD = 90，PAC = 90，DAH = BAC.又DHA = 90，BCA = 90，AD = AB = c，RtDHA RtBCA.DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是

10、一个矩形，所以 RtAPB RtBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = ba. RtDGT RtBCA ,RtDHA RtBCA.RtDGT RtDHA .DH = DG = a，GDT = HDA .又DGT = 90，DHF = 90，GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90，DGFH是一个边长为a的正方形. GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB是一个直角梯形，上底TF=ba，下底BP= b，高FP=a +（ba）.用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为= ，= .把代入，得= =

11、.【证法11】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（ba），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，则 AD = c.EM = EH + HM = b + a , ED = a，DM = EMED = a = b.又CMD = 90，CM = a，AED = 90， AE = b，RtAED RtDMC.EAD = MDC，DC = AD = c.ADE + ADC+ MDC =180，ADE + MDC = ADE + EAD = 90，ADC = 90. 作ABDC，CBDA，则ABCD是一个边长为c的正方形.BAF + FAD = DAE + FAD = 90，BAF=DAE.连结FB，在ABF和ADE中，AB =AD = c，AE = AF = b，BAF=DAE，ABF ADE.AFB = AED = 90，BF = DE = a. 点B、F、G、H在一条直线上.在RtABF和RtBCG中，AB = BC = c，BF = CG = a，RtABF RtBCG.， ， ， ，=. z.