立体几何异面直线成角求法习题

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1、构造异面直线所成角的几种方法异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节本文举例归纳几种方法如下，供参考一、抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（ ）ABCD 解：连B1G，则A1EB1G，知B1G F就是异面直线A1E与G

2、F所成的角在B1GF中，由余弦定理，得 cosB1GF0， 故B1G F90，应选(D)评注：本题是过异面直线FG上的一点G，作B1G，则A1EB1G，知B1G F就是所求的角，从而纳入三角形中解决二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2(2005年全国高考浙江卷)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E(如图)现将ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_解：取AE中点G, 连结GM、BGGMED，BNED，GM

3、ED，BNED GMBN，且GMBNBNMG为平行四边形，MN/BGA的射影为BAB面BCDEBEABAE45，又G为中点，BGAE即MNAEMN与AE所成角的大小等于90度故填90三、平移(或构造)几何体有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.例3(2005年全国高考天津卷)如图，平面，且，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_解：将此多面体补成正方体，与所成的角的大小即此正方体主对角线与棱所成角的大小，在RtPDB中，即故填点评：本题是将三棱柱补成正方体，从而将问题简化异面直线练习一、 选择题1分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ）（A）不平行的直线 （B）不相交的直

4、线（C）相交直线或平行直线 （D）既不相交又不平行直线2已知EF是异面直线a、b的共垂线，直线lEF，则l与a、b交点的个数为 （ ）（A）0 （B）1 （C）0或1 （D）0，1或23两条异面直线的距离是 （ ）（A）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B）和两条异面直线都垂直的直线（C）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长 （D）两条直线上任意两点间的距离4设a, b, c是空间的三条直线，下面给出三个命题： 如果a, b是异面直线，b, c是异面直线，则a, c是异面直线； 如果a, b相交，b, c也相交，则a, c相交； 如果a, b共面，b, c也共面，则a, c共面上述命题中，真命题的

5、个数是 （ ）（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个5异面直线a、b成60，直线ca，则直线b与c所成的角的范围为 （ ）（A）30，90 （B）60，90 （C）30，60 （D）60，1206如图:正四面体SABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于 （ ）（A）90（B）45（C）60（D）307在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是 （ ）（A）（B）（C）（D） 8右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， BM与ED平行； CN与BE是异面直线； CN与BM成角；DM

6、与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）（A） （B） （C） （D）9梯形ABCD中AB/CD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面内的直线的位置关系只能是 （ ）（A）平行 （B）平行和异面 （C）平行和相交 （D）异面和相交10在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE ：EFAF ：FD1 ：4，又H、G分别为BC、CD的中点，则 （ ） （A）BD/平面EFGH且EFGH是矩形 （B）EF/平面BCD且EFGH是梯形（C）HG/平面ABD且EFGH是菱形 （D）HE/平面ADC且EFGH是平行四边形二、填空题11如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各

7、边的中点， G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为 12在四面体ABCD中，若AC与BD成60角，且ACBDa，则连接AB、BC、CD、DA的中点的四边形面积为 13在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC3，AA14，则异面直线AB1与 A1D所成的角的余弦值为 14把边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折起，使A、C的距离等于a，如图所示，则异面直线AC和BD的距离为 三、 解答题15已知AB、BC、CD为不在同一平面内的三条线段，AB，BC，CD的中点P、Q、R满足PQ2，QR，PR3，求AC与BD所成的角

8、16已知P为ABC所在平面外的一点，PCAB，PCAB2，E、F分别为PA和BC的中点（1）求证：EF与PC是异面直线；（2）EF与PC所成的角；（3）线段EF的长17如图，AB和CD是两异面直线，BD是它们的公垂线，ABCD，M是BD的中点，N是AC的中点（1）求证：MNAC；（2）当ABCDa，BDb，ACc时，求MN的长18（如图）已知P、Q是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的面AA1D1D和A1B1C1D1的中心（1）求线段PQ的长；（2）证明：PQAA1B1B1异面直线一、复习要点1本节内容要点为：异面直线的定义和判定，异面直线所成的角，异面直线的距离2异面直线的定义和判定及

9、异面直线所成的角是频考点，也是本节的重点3要把“不同在任何一个平面内的两条直线”和“分别在两个平面内的两条直线”的含义区别开，后者不一定是异面直线4在进一步复习理解异面直线的同时，要注意把这部分内容和平面联系在一起，即和线面、面面平行与垂直的判定联系在一起，以便开阔思路，使解题方法更具灵活性5对异面直线所成的角，要注意：深刻理解异面直线所成的角的概念，领悟其所渗透的“空间向平面转化”的思想；异面直线所成角的范围为090，故有时平移后需求其补角；解题时，应首先考虑两条异面直线是否互相垂直，可由三垂线定理及其逆定理或线面垂直来完成；应熟练掌握“平移”这个通法，平移的途径有取中点、作平行线、补体（形

10、）等；理科学生应会用反三角函数表示异面直线所成的角6高考求异面直线的距离仅限于给出公垂线的情形例见1999年高考立体几何解答题的第2问二、例题讲解例1已知、是两两异面的三条直线，且，是、的公垂线若，那么与有何位置关系?并说明理由讲解：构造恰当的几何体是判断空间诸条直线位置关系的最佳思维选择，因为几何体具有直观和易于判断之优点根据本题的特点，可考虑构造正方体构造正方体-，如图7-1所示，因为AB与CC异面且垂直，BC是它们的公垂线，所以可记、分别为、 图7-1因为与、均异面，且，注意到侧面，因此侧面内的任一直线均与垂直从图中可以看出，侧面内的和均与、异面，且均与垂直，所以可记或为此时由知；由与B

11、C异面知与为异面直线综上可知与平行或异面正方体是一个很简单且很重要的几何模型构造它可直观、简捷地判断线线、线面关系，特别是有关异面直线的问题易于解决下面一组题目供读者思考练习：（1）无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影都不可能是（）A两条平行直线B两条相交直线C一条直线和直线外一点D两个点（2）在空间中，记集合M=与直线l不相交的直线，集合N=与直线l平行的直线，则M与N的关系是（）AM=NBMNCMND不确定（3）a、b、c是空间中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（）A若ab,bc，则acB若ab,bc,则acC若a与b相交，b与c相交，则a与c相交D若a与b异面，b与c

12、异面，则a与c异面（4）同时与两条异面直线都相交的两条直线一定不是（）A异面直线B相交直线C平行直线D垂直直线（5）如图7-2所示，正方体ABCD-中，EF是异面直线和AC的公垂线，则直线EF和B的关系是（）图7-2异面平行相交且垂直相交且不垂直 例2在正三棱柱-中，若，则AB与所成的角的大小为（）609010575讲解：根据题设作出图形（图7-3）欲求异面直线AB与C所成角的大小，需进行异面直线的平移，而平移既可在体内进行，也可通过补形（补面、补体）向体外发展若考虑体内平移，则常常通过作出中位线达到平移目的，从而有：图7-3解法1设、的中点依次为、，连结PH、显然有（12），（12），则即为

13、所求异面直线所成的角连结PF，并设BB1，则正三棱柱的底面边长为易求得（2）取BC的中点E，连结PE、易知是在中，求得（32）显然有故90，选若考虑体外平移，则可通过补面或补体来实现平移从而又有如下两种方法：解法2如图7-4，延长AB到D，使，作，连B、图7-4，则即为所求异面直线所成的角易求得，260又，90解法3可从B作一射线与BC平行，由于这样一条射线虽然位置确定，并在侧面BB所在平面上，但却位于已知三棱柱外面，因而无法寻求与已知条件的联系为了解决这一难点，可在已知三棱柱的下面作一个同样的三棱柱作直三棱柱-，使为之中点（图7-5），连结、，图7-5，则即为所求异面直线所成的角易求得90究

14、竟选择体内还是体外平移，应“因图而异”，总之以简洁、直观为宜若能注意到知识间的相互渗透，本题也可通过建立直角坐标系，利用解析法求解，请读者不妨一试 例3正四面体ABCD的棱长为a,E为CD上一点，且CEED12，求异面直线AE与BC间的距离讲解：求异面直线间的距离通常有三种方法，一是定义法，二是公式法，三是转化法这里宜用方法三异面直线间的距离可转化为平行线面间的距离，进而可以转化为点到面的距离，再用等体积法求解如图7-6，在面BCD内过点E作EFBC交BD于F连结AF，则BC面AEF，所以异面直线BC与AE间的距离就等于BC到平面AEF的距离，也就等于点B到平面AEF的距离，设其为d，连结BE

15、，设正四面体的高为h.图7-6VB-AEF-，（13）SAEFd=（13）SBEFh，d=（SBEFhSAEF）.过点A作AO面BCD于O，DEEC21且EFBC，O必在EF上h=（3）a，易求得EF=（23）a，SAEF（12）EFAO（9）a，SBEF（18）a，d=（6）a.即异面直线AE与BC间的距离为（6）a.用等体积法求点到面的距离，首先应构造以该点为顶点，以该平面内某个三角形为底面的三棱锥其次求体积时，一般需换底面，换底面应本着新的底面上的高容易求出的原则三、专题训练1、是异面直线，过不在、上的任一点，一定可作一条直线，使与、都相交；一定可作一条直线，使与、都垂直；一定可作一条直

16、线，使与、都平行；一定可作一条直线，使与、都异面其中正确的个数是（）01232如图7-7，正三棱锥-中，D、E、F分别是、的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）图7-7632随P点的变化而变化 3将锐角B为60，边长为a的菱形ABCD沿对角线折成二面角，若60，120，则两条对角线之间的距离的最值为（）Admax=（32）a,dmin=（4）aBdmax=（34）a,dmin=（4）aCdmax=（4）a,dmin=（14）aDdmax=（2）a,dmin=（34）a4图7-8是正方体的平面展开图，在这个正方体中，与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；

17、DM与BN垂直图7-8以上四个命题中，正确命题的序号是（） 5如图7-9，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于_.图7-96空间四边形ABCD中，、分别为AB、CD的中点，又MN和AD成30角，则AD和BC所成角的度数是_7异面直线、所成的角为（0（2），若，则_8如图7-10，不共面的三条直线、相交于P，、B，c， 且、均异于P证明：直线AD与BC异面图7-109如图7-11，拼接一副三角板，使它们有公共边BC，且使两个三角板所在平面互相垂直若CAB90，90，60，求AD与BC所成的角图7-1110已知、是两条异面直线，

18、那么空间是否存在这样的直线，使上任意一点P到、的距离都相等若存在，给出证明，若不存在，说明理由惠州市第一中学立体几何（异面直线）测试题一选择题：1直线a, b是异面直线是指 ab=, 且a与b不平行； a面，b面，且平面=； a面，b面，且ab=； 不存在平面，能使a且b成立。上述结论正确的有 （A） （B） （C） （D）2直线a, b都垂直于直线l，则直线a, b的位置关系是 （A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）三种可能都有3两条异面直线的距离是 （A）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B）和两条异面直线都垂直的线段 （C）它们的公垂线夹在垂足间的线段长 （D）两条直线上任意两点间的

19、距离4若a, b是异面直线，c是a, b的公垂线，d/c, 则d和a, b的公共点的个数是 （A）1 （B）最多为1 （C）2 （D）1或25若两条直线a, b异面垂直，两条直线b, c也异面垂直，则a, c的位置关系是 （A）平行 （B）相交、异面 （C）平行、异面 （D）相交、平行、异面6若a, b, c是两两互相垂直的异面直线(每两条成异面直线)，直线d是a, b的公垂线，那么c与d的位置关系是 （A）相交 （B）平行 （C）相交或垂直 （D）垂直7已知a, b是一对异面直线，且a, b成60角，则在过P点的直线中与a, b所成的角均为60的直线有 （A）1条 （B）2条 （C）3条 （

20、D）4条8空间四边形ABCD的各边与两条对角线的长均为1，点P在边AB上移动，点Q在边CD上移动，则点P和点Q的最短距离为 （A） （B） （C） （D）9在正方体ABCDABCD的各个面上的对角线中，与面对角线AB成60角的异面直线有 （A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条10在棱长a为的正方体AC中，与其中一条棱所在的直线异面，并且距离为a的棱共有 （A）4条 （B）5条 （C）6条 （D）7条二填空题：11异面直线所成的角为，则的取值范围是 。12和两条异面直线都垂直的直线有 条；和两条异面直线既垂直又相交的直线有 条。13在正方体ABCDABCD中，异面直线AA和BC所成的角为

21、 ；AC与BC所成的角为 。14在棱长a为的正方体AC中，异面直线BD与AA的距离为 ；BD与AC的距离为 。15AB是异面直线a, b的公垂线段，AB=2cm，a, b所成的角为90，A, Ca，B,Db，AC=4cm, BD=4cm，那么C, D两点间的距离为 。16在正方体ABCDA1B1C1D1的12条棱中，与对角线AC1所成的角的正弦值为的棱共有 条。17空间四边形ABCD中，E F, G, H分别是AB, BC, CD, DA的中点，若AC=BD=a，且AC与BD所成的角为60，则四边形EFGH的面积为 .18如图，若正方体ABCDABCD的棱长为a，P为棱AB上的动点，Q为BC上

22、的动点，则P，Q两点距离的最小值为 .19若异面直线AB, CD都与直线l垂直，垂足为B, D，AB=4, CD=2, AC=10, 且AB, CD成60角，则AC与直线l所成的角的正弦值为 .三解答题：20如图，AB和CD是两条异面直线，AB=CD=3，E, F分别为线段AD, BC上的点，且=, EF=，求AB和CD所成的角。21长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2a, AA1=a，E,H分别是A 1B 1和BB1的中点，求EH与AD 1所成角的余弦值。综合练习卷一选择题：1空间四点A, B, C, D，每两点的连线长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P与Q

23、的最小距离是 （A）a （B）a （C）a （D）a2若异面直线a, b所成的角为80，则过空间任一点P可做不同的直线与a, b所成的角都是50，可做直线的数目为 （A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条3ABCD是空间四边形，边AB, BC, CD, DA所在直线中，互相垂直的直线至多有 （A）3对 （B）4对 （C）5对 （D）6对4如图， ABCA1B1C1是直三棱柱，BCA=90，点D1, E1分别是A1B1, A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AE1所成的角的余弦值是 （A） （B） （C） （D）5异面直线a, b，ab，c与a成30角，则c与b所成的角的大小范

24、围是 （A）60, 90 （B）30, 90 （C）60, 120 （D）30, 1206在正方体AC1中，E, F分别是AB, BB1的中点，则A1E与C1F所成的角的余弦值是 （A） （B） （C） （D）二填空题：7在空间四边形ABCD中，E, F, G, H分别是AB,BC, CD, DA的中点，如果AC=BD，则四边形EFGH是 ；如果EG=FH，则AC与BD的位置关系是 ；如果EFG=130，则异面直线AC与BD所成的角是 。8在正方体ABCDA1B1C1D1中，E, F, G, H, M, Q分别是棱AB, BC, CD, CC1, C1D1, DD1的中点，CM则AA1与所成的

25、角的正切值等于 ；EF与GH所成的角为 ；BH与HQ所成的角为 。9空间四边形ABCD连对角线构成一个正四面体，E, F分别是AB, CD上的点，并且，若EF分别与AC, BD所成的角为和，则+的大小为 。10在正方体ABCDA1B1C1D1的各面的12条对角线中，与正方体的对角线A1C垂直的共有 条。三解答题：11长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2a, AA1=a，E,H分别是A 1B 1和BB1的中点，求EH与AD 1所成角的余弦值。12长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=AD=2, AA1=1，E是AA1的中点，（1）求证：AC1, BD1, CA1, DB1共点于

26、O，且互相平分；（2）求证：EOBD1, EOAA1；（3）求异面直线AA1和BD1所成角的余弦值；（4）求异面直线AA1和BD1间的距离。参考答案求异面直线所成的角祁正红 求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。 例：长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm

27、，求异面直线A1C1与BD1所成的角。 解法1：平移法 设A1C1与B1D1交于O，取B1B中点E，连接OE，因为OE/D1B，所以C1OE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角C1OE中 所以异面直线所成的角为图1 解法2：补形法 在长方体ABCDA1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体，将AC平移到BE，则D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在BD1E中，BD1=3， 所以异面直线A1C1与BD1所成的角为图2 解法3：利用公式 设OA是平面的一条斜线，OB是OA在内的射影，OC是平面内过O的任意一条直线，设OA与OC、OA与OB、OB与OC所成的角分别

28、是、1、2，则（注：在上述题设条件中，把平面内的OC换成平面内不经过O点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D1B在平面ABCD内射影是BD，AC看作是底面ABCD内不经过B点的一条直线，BD与AC所成的角为AOD，D1B与BD所成角为D1BD，设D1B与AC所成角为，。 所以 所以异面直线A1C1与BD1所成的角为图3 解法4：向量几何法： 设为空间一组基向量 所以异面直线A1C1与BD1所成的角为图4 解法5：向量代数法： 以D为坐标原点，DC、DA、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，1，0）、C（2，0，0），B（2，1，0）、D1（0，0，2）， 所以异面直线A1

29、C1与BD1所成的角为图5 解法6：利用公式 定理：四面体ABCD两相对棱AC、BD间的夹角必满足图6解：连结BC1、A1B在四面体中，异面直线A1C1与BD1所成的角是，易求得图7由定理得： 所以异面直线及其所成的角【教学目标】1. 掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面；2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角。【教学重点、难点】异面直线的概念、判定及计算它们所成的角。【教学过程】（一）复习：1公理4及等角定理；2同一平面内两直线的位置关系，观察空间两直线的位置关系。（二）新课讲解：1异面直线：

30、不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。2异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。推理模式：与是异面直线。证明 ：假设 直线与共面，点和确定的平面为，直线与共面于，与矛盾，所以，与是异面直线3异面直线的画法：例1如图，已知不共面的直线相交于点，是直线上的两点，分别是上的一点。求证：和是异面直线。证（法一）：假设和不是异面直线，则与在同一平面内，设为，又，同理，共面于，与已知不共面相矛盾，所以，和是异面直线。（法二）：，直线确定一平面设为，且，又不共面，所以，与为异面直线。4异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小

31、与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）说明：为了简便，点通常取在异面直线的一条上。5异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直两条异面直线 垂直，记作 例2正方体中（1） 那些棱所在的直线与直线是异面直线？（2） 求与夹角的度数（3） 那些棱所在的直线与直线垂直？解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线成异面直线的有直线，（2）由，可知等于异面直线与的夹角，所以异面直线与的夹角为（3）直线与直线都垂直。例3空间四边形中，分别是的中点，求异面直线所成的角。解：取中点，连结，分别是的中点，且，异面直线所成的角即为所成的角，在中，异面直线所成的角

32、为说明：异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形内角是钝角时，表示异面直线所成的角是它的补角。五巩固练习：课本 练习1，2，3，4六小结：1异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念；2证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作证算答”。 七作业： 1已知平面相交于直线，直线在内与直线相交于点，直线在平面内，且，求证：是异面直线。2空间四边形中，对角线，分别为的中点，且，求异面直线所成的角。3在空间四边形中，且，分别为的中点，求及与所成角的正切值。【易错点61】在求异面直线所成角，直线与平面所成的角以及二面角时，容易忽视各自所成角的范围而出现错误。例61

33、、如图，在棱长为1的正方体中，M，N，P分别为的中点。求异面直线所成的角。DCBAA1D1B1C1NMP易错点分析异面直线所成角的范围是，在利用余弦定理求异面直线所成角时，若出现角的余弦值为负值，错误的得出异面直线所成的角为钝角，此时应转化为正值求出相应的锐角才是异面直线所成的角。解析：如图，连结，由为中点，则从而故AM和所成的角为所成的角。易证。所以，故所成的角为。又设AB的中点为Q，则又从而CN与AM所成的角就是（或其补角）。易求得在中，由余弦定理得，故所成的角为。【知识点归类点拨】在历届高考中，求夹角是不可缺少的重要题型之一，要牢记各类角的范围，两条异面直线所成的角的范围：；直线与平面所成角的范围：；二面角的平面角的取值范围：。同时在用向量求解两异面直线所成的角时，要注意两异面直线所成的角与两向量的夹角的联系与区别。【练61】（济南统考题）已知平行六面体-中，底面是边长为1的的正方形，侧棱的长为2，且侧棱和与的夹角都等于，（1）求对角线的长（2）求直线与的夹角值。答案：（1）（2）（提示采用向量方法，以、为一组基底，求得故两异面直线所成的角的余弦值为）