《福建师范大学21秋《复变函数》在线作业三答案参考35》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建师范大学21秋《复变函数》在线作业三答案参考35（17页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、福建师范大学21秋复变函数在线作业三答案参考1. 设(A，*)是一个半群，而且对于A中的元素a和b，如果ab必有a*bb*a，试证明：设(A，*)是一个半群，而且对于A中的元素a和b，如果ab必有a*bb*a，试证明：由题意可知，若a*b=b*a，则必有a=b 因为(a*a)*a=a*(a*a)，所以a*a=a$因为a*(a*b*a)=(a*a)*b*a=a*b*(a*a)=(a*b*a)*a，所以a*b*c=a$因为(a*c)*(a*b*c)=(a*c*a)*(b*c) =a*(b*c)=(a*b)*(c*a*c) =(a*b*c)*(a*c)，所以a*b*c=a*c 2. 在甲，乙两个居民
2、区分别抽取8户和10户调查每月煤气用量(m3)，计算得样本均值分别为根据以往经验，两区居民煤在甲，乙两个居民区分别抽取8户和10户调查每月煤气用量(m3)，计算得样本均值分别为根据以往经验，两区居民煤气用量近似服从正态分布，相互独立，且标准差为1=2=1.1，在显著水平=0.05下，两区居民煤气用量是否有显著差异?拒绝3. 所有的微分方程都有通解吗？所有的微分方程都有通解吗？不是，所谓微分方程的通解，是指含有任意常数且任意常数的个数与方程的阶数相同的解，以下两个方程： |y|2+1=0 (1) 与 y2+y2=0， (2) 显然方程(1)无解，方程(2)只有解y=0可见并非所有的微分方程都有通
3、解 4. 15设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低经过试验获得它们的抗拉强度分别为(单15设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低经过试验获得它们的抗拉强度分别为(单位：kg/cm2)：甲：88，87，92，90，91乙：89，89，90，84，88假定两种零件的抗拉强度都服从正态分布，且问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高(=0.05)?15甲的抗拉强度比乙的高5. 已知(2x)x2a(x1)b(x1)2(x1)，求a，b的值。已知(2x)x2a(x1)b(x1)2(x1)，求a，b的值。正确答案：解 令 x1tx1t0rn解令x1t,x1,
4、t06. 若|A|=|B|，|C|=|D|，则( )A.|AC|=|BD|B.|AC|=|BD|C.|AC|=|BD|D.当A或C为无限集时，|AC|=|BD|参考答案：D7. 求通过坐标原点，与曲面x2-2yz-2y+4z-3=0相切而且与直线相交的直线方程求通过坐标原点，与曲面x2-2yz-2y+4z-3=0相切而且与直线相交的直线方程设所求直线方程为 因为所求直线与相交，所以 即X-Y+Z=0且X:Y:Z2:1:(-1)， 令，则有 x=tX,y=tY,z=tZ,代入曲面方程得 (tX)2-2t2YZ+2tY+4tZ-3=0, 即(X2-2YZ)t2-(2Y-4Z)t-3=0，因为直线与
5、曲面相切，所以 (2Y-42)2+12(X2-2YZ)=0, 即Y2-4YZ+4Z2+3X2-6YZ=0, 由得X=Y-Z, 代入得Y2-10YZ+4Z2+3(Y-Z)2=0， 即4Y2-16YZ+7Z2=0， 即(2Y-7Z)(2Y-Z)=0, 所以2Y=7Z或2Y=Z， 当2Y=7Z时， 当2Y=Z时， 所以求得X:Y:2=5:7:2或X:Y:Z=(-1):1:2， 故所求直线方程为 与 8. 求半径为R的均匀球面(设面密度为1)对空间一单位质点的引力求半径为R的均匀球面(设面密度为1)对空间一单位质点的引力在球面上的任取一点(x，y，z)和含此点的面积微元dS(取定坐标系如图所示， 定点
6、在(0，0，a)处 则 dF的三个分量为 ， 所求力F=Fx，Fy，Fz 则由对称性知 Fx=Fy=0 而 球面参数方程为 x=Rcossin，y=Rsinsin z=Rcos 所以 dS=R2sindd， 故 注意引力是一个向量向量的叠加不能用模去加，必须用分量去加 令a2+R2-2aRcos=t2 则 所以 此结果表明：当质点在球内，引力为零；当质点在球外，引力如同球面的质量集中于球心时对该点的引力 注：我们可以在此题基础上，对题给出另一种解法，即求均匀球体对单位质点的引力不妨只就aR的情况来做，我们用x2+y2+z2=r2来分割球体当r0时，认为球壳r2x2+y2+z2(r+r)2为均匀
7、球面，半径为r则只考虑ra这个球壳的面密度在数值上为dr(体密度为1)于是这一层对定点的引力为 所以 (aR) 所得结果与题完全一致读者不难仿此得到当aR的情况 9. 一球形细胞的体积以16fm3/h(h：小时；m：微米)的速度增长，当它的半径为10m时，细胞半径增长的速度是多少?一球形细胞的体积以16fm3/h(h：小时；m：微米)的速度增长，当它的半径为10m时，细胞半径增长的速度是多少?10. 下列函数在区间-1，1上满足拉格朗日定理条件的是( ) A By=(x+1)(x-1) C D下列函数在区间-1，1上满足拉格朗日定理条件的是()ABy=(x+1)(x-1)CDB11. 试证明：
8、 设且m(E)+，若fk(x)在E上依测度收敛于f(x)，且f(x)0，fk(x)0，aexE(kN)，则1/fk(x)在E上依测度试证明：设且m(E)+，若fk(x)在E上依测度收敛于f(x)，且f(x)0，fk(x)0，aexE(kN)，则1/fk(x)在E上依测度收敛于1/f(x).证明 不妨假定fk(x)(kN)与f(x)皆不为0依题设知，对任一子列fki(x)，均存在子列fkij(x)几乎处处收敛于f(x)也就是说，对任一子列1/fk(x)，均存在子列1/fkij(x)几乎处处收敛于1/f(x).这说明命题结论成立.12. 设f(x)在a，b上连续，且对一切不大于正整数N的非负整数n
9、，都有abxnf(x)dx=0，试证f(x)在(a，b)内至少有N+1个设f(x)在a，b上连续，且对一切不大于正整数N的非负整数n，都有abxnf(x)dx=0，试证f(x)在(a，b)内至少有N+1个零点如果f(x)0，则结论显然成立 如果f(x)0，则可以证明，至少存在N+1个点x1，x2，xN+1(a，b)，x1x2xN+1，使得f(x)在xk(k=1，2，N+1)的左、右邻域内符号相反事实上，假设这样的点只有m个，mN，不妨设x(a，x1)时，f(x)0，x(x1，x2)时，f(x)0，依此类推令p(x)=(x1-x)(x2-x)(xm-x)，则当x(a，b)时，f(x)p(x)0，
10、且f(x)p(x)0，于是由f(x)p(x)的连续性知 abf(x)p(x)dx0 (1) 另一方面，由于p(x)是x的m次多项式，且mN，所以由题设条件得 abf(x)p(x)dx=0 但这与(1)式相矛盾，因此至少存在N+1个点x1，x2，xN+1属于(a，b)，使得f(x)在xk(k=1，2，N+1)的左、右邻域内符号相反故由f(x)的连续性知f(x0)=0 (k=1，2，N+1)于是f(x)在(a，b)内至少有N+1个零点 13. 证明在a，b上p方可积函数必是L可积函数，即 (1p+)证明在a，b上p方可积函数必是L可积函数，即(1p+)若p=1，则结论显然成立； 若1p+，对，令A
11、=x| |f|1，xa，b，B=a,bA，则有a,b|f|dm=A|f|dm+B|f|dmA|f|Pdm+Bdm=A|f|pdm+mB+，即|f|是L可积，从而f是L可积。 14. 为了鉴定两种工艺方法对产品的某种性能指标影响是否有差异，对9批材料分别用两种工艺进行生产，得到该指标的9为了鉴定两种工艺方法对产品的某种性能指标影响是否有差异，对9批材料分别用两种工艺进行生产，得到该指标的9对数据如下：0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 17.40.10 0.20 0.52 0.32 0.78 0.59 0.68 0.77 0.89假定两种工艺
12、方法生产的产品的性能指标之差服从正态分布根据这些数据能否判定不同工艺对产品的该性能指标影响有显著差异?(=0.05)15. 求下列函数的边际函数与弹性函数： (3) xae-b(x+c)求下列函数的边际函数与弹性函数：(3) xae-b(x+c)(3)y=xae-b(x+c)，y=(axa-1-bxa)e-b(x+c) 16. 计算函数的导数：y=excosx计算函数的导数：y=excosxy=excosx+ex(-sinx)=ex(cosx-sinx)17. 设0P(A)1，0P(B)1，则下列选项成立的是( ) A事件A和B互不相容 B事件A和B互相对立 C事件A和B互不设0P(A)1，0
13、P(B)1，则下列选项成立的是()A事件A和B互不相容B事件A和B互相对立C事件A和B互不独立D事件A和B相互独立D18. 设函数f(x)=x.tanx.emin，则f(x)是( )A偶函数B无界函数C周期函数D单调函数设函数f(x)=x.tanx.emin，则f(x)是( )A偶函数B无界函数C周期函数D单调函数正确答案：B由于，故f(x)无界，或考察f(x)在xn=的函数值，有，可见f(x)是无界函数，故应选B19. 试证明： 设f(x)在0，)上非负可积，f(0)=0且f&39;(0)存在，则存在积分 试证明：设f(x)在0，)上非负可积，f(0)=0且f(0)存在，则存在积分证明 因为
14、我们有，所以对任给0，存在0，使得 0f(x)/xf(0)+ (0x) 由此知f(x)/x在0，上可积，且从不等式 ， 可知f(x)/x在，)上可积，证毕 20. 设方程组 (1) 与方程组 (2) 是同解方程组，试确定方程组(1)中的p，q，r的值设方程组(1)与方程组(2)是同解方程组，试确定方程组(1)中的p，q，r的值方程组(2)的同解方程组为 (3) 令x3=0，得方程组(2)的解*=(-2，5，0，-10)T 与方程组(3)对应的齐次线性方程组为 (4) 令x3=1，则方程组(4)的基础解系为=(-3，2，1，0)T. 故方程组(2)的通解为 (R) 将其代入方程组(1)中，得 即
15、 令=1，得r=-2，p=3，q=2 21. 设星形线x=acos3t，y=asin3t上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方，在原点O处有一单位质点，求星设星形线x=acos3t，y=asin3t上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方，在原点O处有一单位质点，求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力22. 计算，其中L为(x-1)2+y2=R2所围区域的正向边界(R1)计算，其中L为(x-1)2+y2=R2所围区域的正向边界(R1)当R1时，L不包含原点，因此P、Q在L所围的闭区域D上具有一阶连续偏导数，由格林公式，原式= 当R1时，原点在L所围的区域内，需删除此点才可用格
16、林公式，如图10-3所示，作小椭圆l：4x2+9y2=2(应小到使l包含在L内)，l取顺时针方向在L与l所围的复连域D内，P、Q具有一阶连续偏导数，满足格林公式条件，于是有 原式= (在l上总满足4x2+9y2=2) (l-上应用格林公式) 23. 设函数f(x)在(-，+)内有定义，下列函数中必为偶函数的有( ) Ay=|f(x)| By=f(x2) Cy=f(x)+f(-x) D设函数f(x)在(-，+)内有定义，下列函数中必为偶函数的有()Ay=|f(x)|By=f(x2)Cy=f(x)+f(-x)Dy=cBCD解 选项A不对，例如f(x)=1+x24. (x-c)2+(y-c)2=4
17、求曲线族的包络，并绘出图形：(x-c)2+(y-c)2=4 求曲线族的包络，并绘出图形：由(x-c)2+(yc)2=4，2c=x+y，得(x-y)2=8 见图3.14 25. 描述系统状态变化时的热力学能变与功和热的关系式是_。系统从环境吸热时，Q_0；描述系统状态变化时的热力学能变与功和热的关系式是_。系统从环境吸热时，Q_0；系统对环境做功时W_0。正确答案：U=Q+W、0，b0)的曲率、挠率求曲线x(t)=(a(1一sint)，a(1一cost)，bt) (a0，b0)的曲率、挠率正确答案：解法1计算得rn因此rn解法2rnrn这表明rn因此用Frenet公式求g较容易rn若用x表示对弧长的求导则rn所以rn解法1计算得因此解法2这表明因此用Frenet公式求g,较容易若用x表示对弧长的求导,则所以
福建师范大学21秋《复变函数》在线作业三答案参考35
