高等数学常用概念及公式

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1、-高等数学常用概念及公式l 极限的概念当*无限增大*或*无限的趋近于*0*0时，函数f(*)无限的趋近于常数A，则称函数f(*)当*或*0时，以常数A为极限，记作：f(*)=A 或 f(*)=Al 导数的概念设函数y=f(*)在点*0*邻域有定义，对自变量的增量*- *0，函数有增量y=f(*)-f(*0)，如果增量比当*0时有极限，则称函数f(*)在点*0可导，并把该极限值叫函数y=f(*)在点*0的导数，记为f(*0)，即f(*0)=也可以记为y=|*=*0，|*=*0或|*=*0l 函数的微分概念设函数y=f*在*区间有定义，*及*+*都在此区间，如果函数的增量y=f*+*-f(*)可表

2、示成 y=A*+*其中A是常数或只是*的函数，而与*无关，当*0时是无穷小量( 即*这一项为哪一项个比*更高阶的无穷小)，则称函数y=f*在点*可微，而A*叫函数y=f*在点*的微分。记作dy，即：dy=A*=f(*)d*l 不定积分的概念原函数：设f(*)是定义在*个区间上的函数，如果存在一个函数F(*)，对于该区间上每一点都满足F(*)= f(*) 或 d F(*)= f(*)d*则称函数F(*)是函数f(*)在该区间上的一个原函数。不定积分：设F(*)是函数f(*)的任意一个原函数，则所有原函数F(*)+cc为任意常数叫做函数f(*)的不定积分，记作求函数的原函数的方法，叫不定积分法，简

3、称积分法。其中“是不定积分的记号；f(*)称为被积函数；f(*)d*称为被积表达式；*称为积分变量；c为任意实数，称为积分常数。l 定积分的概念设函数f(*)在闭区间a，b上连续，用分点a=*0*1*2*i-1*i*n-1*n=b，把区间a，b任意分成n个小区间*i-1，*ii=1,2, ,n每个小区间的长度为*i= *i- *i-1i=1,2, ,n，在每个小区间*i-1，*i上任取一点i，作和式In=当分点无限增加(n)且所有小区间长度中的最大值=ma*i0时，和式In的极限，叫做函数f(*)在区间a，b上的定积分，记作，即=其中f(*)称为被积函数，b和a分别称为定积分的上限和下限，区间

4、a，b叫积分区间，*为积分变量。l 极限的性质及运算法则无穷小的概念：假设函数f(*)当*0(或*)时的极限为零，则称f(*)当*0(或*)时为无穷小量，简称无穷小。须要注意的是，无穷小是变量，不能与一个很小的数混为一谈。无穷小的性质：性质1：有限个无穷小的代数和也是无穷小。性质2：有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。推论1：常数与无穷小的乘积也是无穷小。推论2：有限个无穷小的乘积也是无穷小。无穷大的概念：假设当*0(或*)时，函数f(*)的绝对值无限增大，则称函数f(*)当*0(或*)时为无穷大量，简称无穷大。注意无穷大是变量，不能与一个绝对值很大的数混为一谈；另外，一个变量是无穷大，也不能脱

5、离开自变量的变化过程。无穷大与无穷小的关系：定理：在同一变化过程中，假设f(*)为无穷大，则为无穷小；反之，假设f(*)为无穷小，且f(*)0，则就为无穷大。极限运算法则：法则1：limf(*)g(*)=lim f(*)lim g(*)=A+B法则2：limf(*)g(*)= lim f(*)lim g(*)=AB特别的：lim cf(*)=clim f(*)=cA (c为常数)法则3：lim= 其中B0注意用法则3求极限时：如果分子、分母均为无穷大，可先将其变成无穷小；如果均为无穷小，就用约分及分子分母有理化来解；以上情况均可用导数的应用中的罗必塔法则求解。两个重要极限：重要极限1：=1 =

6、 =1重要极限2：(1+)*=e = (1+)=e或=e等价无穷小(*0)：在求极限过程中经常使用等价无穷小互相代替；.l 导数的性质、求导法则及常用求导公式连续的概念：假设函数f(*)在*0的*邻域有定义，当*0时，函数的极限存在，且极限值等于函数在*0处的函数值f(*0)即f(*)=f(*0)则称函数在*0处是连续的。连续与可导的关系：定理：假设函数f(*)在点*0处可导，则函数在点*0处连续。(连续是可导的必要条件，其逆命题不成立，即函数在*一点连续，但在该点不一定可导)导数的计算步骤(按定义计算)：第一步 求增量，在*处给自变量增量*，计算函数增量y，即 y=f(*+*)-f(*)；第

7、二步 算比值，写出并化简比式：=；(化简比式的关键是使分式中仅分母或分子中含有*项，防止出现或)第三步 取极限，计算极限=f(*)常用根本初等函数的导数公式：； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 导数的四则运算法则：设u=u(*)，v=v(*)，则uv= uv； cu=cu；uv=uv+uv； =.反函数的导数：y=f(*)是*=(y)的反函数，则y=，即f(*)=复合函数求导法则:设y=f(u),u=(*),则复合函数y=f(*)的导数为=或y*=fu*隐函数求导方法：隐函数的概念 针对因变量y写成自变量*的明显表达式的函数y=f(*)，这种函数叫显函数；而两个变量*和y的对应关系是由一个

8、方程F(*,y)=0所确定，函数关系隐含在这个方程中，这种函数称为由方程所确定的隐函数。求隐函数的导数，并不需要先化为显函数事实上也很难都显化，只需把y看成中间变量y=y(*)，利用复合函数求导法则，即可求出隐函数y对*的导数。例：求方程*2+y2=1所确定的函数的导数。解 在方程的两端对*求导，并将y2看作*的复合函数，则(*2+y2)=(1) 即2*+2yy=0，y y=-*得y= -参数方程所表示函数的导数：如下方程组，其中t为参数*=(t)y=(t)设函数(t)和(t)都可导，且函数(t)存在连续反函数t=-1(t)，当-1(t)0时，这个反函数也可导；这时y是*的复合函数 y=-1(

9、t)=f(*)它可导，由复合函数求导法则知y*=罗必塔法则：当*0(或*)时，函数f(*)，g(*)同时趋向于零或同时趋向于无穷大，这时分式的极限可能存在，也可能不存在。我们称其为未定式，并记作型或，这类极限将无法用“商的极限等于极限的商这一极限法则求出。未定式(罗必塔法则一)：=A(或无穷大)。假设其中*时，结论仍然成立。使用罗必塔法则时，分子分母分别求导之后，应该整理化简，如果化简后的分式还是未定式，可以继续使用这个法则。未定式(罗必塔法则二)：=A(或无穷大)。假设其中*时，结论也成立。未定式0型及-型：这两类未定式可转化为型或型。未定式00,0,1型：该类未定式可以通过对数转化为前面的

10、未定式。l 微分的运算及法则由微分的的概念dy=f(*)d*可知，求一个函数的微分，只要求出导数f(*)再乘以d*就得到微分dy，因此不难由导数公式做出相应的微分公式。例，对于y=sin*，有y=cos*，从而dy=cos*d*。微分的法则：设u=u(*)，v=v(*)，则d(cu)=cdu； d(uv)=dudv；d(uv)=udv+vdu； d()=l 不定积分的性质、根本公式及计算方法由不定积分定义及微分知识，可直接推出不定积分的性质：性质一：=f(*)或d=f(*)d*；性质二：=F(*)+c；性质三：=k(k是不为0的常数)；性质四：=。不定积分的根本公式(均应加上常数C)：=c；

11、； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 。第一换元积分法：设函数u=(*)，且f(u)有原函数F(u)，du=(*)d* (即d*= du/(*) =参见微分概念及计算=F(u)+c= F(*)+c注意：该公式有一个隐含的条件，即要求原积分公式中已含有(*)，方可在换元时代入d*= du/(*)并约去(*)。提示：该积分法的步骤是先找出适当的u=(*)，将函数转化为关于u的积分公式，再求出关于u原函数，最后根据u与*的关系代入*。第二换元积分法：设函数*=(t)单调可微且(t)0，d*=(t)dt =参见微分概念及计算=F(t)+c=F-1(*)+c提示：该积分法的步骤是先找出适当的*

12、=(t)，将函数转化为关于t的积分公式，再求出关于t原函数，最后根据*与t的关系代入*。分部积分法：设函数u=u(*)，v=v(*)具有连续导数，则=uv-=解题时这个为u不行就换那个为u 提示：运用此公式有时可以使难求的不定积分转化为易求的不定积分，从而得所求结果。l 定积分的性质及计算方法：性质一：=k k为常数；性质二：=b-a；性质三：=；性质四：假设把区间a，b分为两个区间a，c与c，b，则=+ 注意：c有任意性，可在a，b之外；性质五：假设f(*)与g(*)在a,b上有f(*)g(*)，则；性质六：假设M，m分别是f(*)在a，b上的最大值和最小值，则 m(b-a) M(b-a)

13、=估值定理性质七：假设f(*)在a，b上连续，则至少有一点(a,b)，使得=f()(b-a) =定积分中值定理，求平均值。牛顿莱布尼兹公式：假设f(*)在a，b上连续，F(*)是f(*)的一个原函数，则=F(*)=F(b)-F(a)可见，计算定积分，先用不定积分的方法求出一个原函数，然后把上、下限a，b代入原函数作减法运算。换元积分法：设函数*=(t)，则d*=(t)dt，假设满足：(1)、当t=时，*=a；当t=时，*=b；(2)、当t在,上取值时，(t)的变化单调且围是a,b，则=F(t)提示：运用此公式时，要同时换上下限，新的积分上、下限代入自变量t的原函数相减即可，不必再回到原来的积分变量*。分部积分法：设函数u(*),v(*)在a,b上有连续的导数u(*)、v(*)，则=u(*)v(*)-即 =uv-. z.