平面向量的数量积与运算律PPT课件

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1、sF 一个物体在力F 的作用下产生位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？其中力F 和位移s 是向量，功是数量.| s|F|W cos 是F的方向 与s的方向 的夹角。第1页/共22页两向量的夹角范围是0, 两个非零向量a 和b ，在平面上任取一点O ，作 ， ,则叫做向量a 和b 的夹角 AOB)1800( OB =bOA= aba 记作90 当 ，a 与b 垂直，当 ，a 与b 同向，0 当 ，a 与b 反向180 AOBOABBab AOOAB第2页/共22页 在 中，找出下列向量的夹角： ABCABC(1);ABAC与(2);ABC与B(3)ACC与B 。第3页/共22页 cos|ba

2、ba 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ，即 cos|ba规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0 0a提问： a bab第4页/共22页60。CAB60。5824-20D（1）已知 |p| =8,|q| =6, p和q 的夹角是 ，求p q60。（2）已知 中， =5,b =8,C= ,求BC CAa第5页/共22页OABab 1BbOBaOA ，作作，过点B作1BB垂直于直线OA，垂足为 ，则1B 1OB| b | coscosa bab平面向量的数量积的几何意义是: a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向 上的数量

3、|b|cos 的乘积 ，| b | cos叫向量 b 在 a 方向上的正射影、数量1OB第6页/共22页1、已知 ， 为单位向量，当它们的夹角为 时，求 在 方向上的数量及 ； 2、已知 ， ， 与 的交角为 ，则a b；m4、已知 ， ，且 ，则 与 的夹角为 3m 4n 6m nn；3、若 ， ， 共线，则1a ab、a b.（1 1）e a=a e=| a | cos （2 2）ab a b=0 ( (判断两向量垂直的依据) ) （3 3）当a 与b b 同向时，a b =| a | | b |，当a 与b 反向时， a b = -| a | | b | 特别地22a aaaa或 4co

4、sa ba b403或360o( a / b a b=|a| |b| )5. a ba b与的大小关系如何？第7页/共22页（1 1）e a=a e=| a | cos （2 2）ab a b=0 ( (判断两向量垂直的依据) ) （3 3）当a 与b b 同向时，a b =| a | | b |，当a 与b 反向时， a b = -| a | | b | 特别地22a aaaa或 4cosa ba b( a / b a b=|a| |b| )(5) a ba b第8页/共22页例2 ABC已知 中，CB= a ,CA= b ,a b0,5,3,5,2ADBCab为边上的高，且 ADab求 与

5、 的夹角。ABCD解：设 与 的夹角为 ab1sin2ADADACb又0a b为钝角则可作图如右：BCA即：为钝角第9页/共22页0,（1）在四边形ABCD中，AB BC=0，且AB=DC则四边形ABCD是（ ）A 梯形 B 菱形 C 矩形 D 正方形（3）在 中，已知|AB|=|AC|=1，且ABCAB AC= ，则这个三角形的形状是12C1等边三角形（2）已知向量 a , b 共线，且 |a| =2|b|则a与b间的夹角的余弦值是 。第10页/共22页总结提炼1、向量的数量积的物理模型是力的做功； 4、两向量的夹角范围是0, 5、掌握五条重要性质：平面向量的数量积的几何意义是: a 的长度

6、 |a|与 b 在 a 的方向 上的数量 |b|cos 的乘积2、a b的结果是一个实数，它是标量不是向量。3、利用 a b= |a| |b|cos 可求两向量的夹角， 尤其 是判定垂直。第11页/共22页判断下列各题是否正确：（2）、若 ， ，则0a 0a b0b （3）、若 ， ，则0a a bbcac(1)、若 ，则任一向量 ，有0a b0a b（4）、/a ba bab第12页/共22页分配律的证明：aAcBCb1AB1Oabc ().abca cb c r rr rr rr r r rr r r r第13页/共22页 在实数中，有在实数中，有(a b)c = a(b c)，向量，向量

7、中是否也有中是否也有 ? 为什么为什么?答：没有答：没有.()()a bcab c 因为右端是与因为右端是与 共线的向量，而共线的向量，而左端是与左端是与 共线的向量，但一般共线的向量，但一般 与与 不共线不共线 a c c a 所以，向量的数量积不满足结合律所以，向量的数量积不满足结合律第14页/共22页所以，向量的数量积不满足消去律所以，向量的数量积不满足消去律 在实数中，在实数中，若若a b = a c且且a 0，则，则b = c向量中是否也有向量中是否也有“若若 ，则，则 ”成立呢成立呢 ? 为什么为什么?(0)a ba c a bc OababABC第15页/共22页222(1) (

8、)2;abaa bb 22(2) ().ababab （2(1) () ()ababab （)()abaabb （22ab aa bb (2) ()()()abababaabb （例例1 求证：求证：证明：证明：22ab aa bb 22.ab 222.aa bb 2221(3)(|()| ).2a babab 第16页/共22页(3) 与与 所成角的余弦值所成角的余弦值 例例2 已知已知| | = 6，| | = 4， 与与 的夹角为的夹角为60 ，求：，求：a b 解：解：(1)b a (1) (2 ) (3 );abab ab (2 ) (3 )abab 6a aa bb b 22|6

9、|aa bb 22664cos6064 = 72.a |ab (2)222|2abaa bb (2)226264cos604 = 76.|2 19.ab 第17页/共22页abba bbabba )(cos 则则( )abba bb b 287 19 cos.382 194 2|cos60|28,abb 注：注：与多项式求值一样，先化简，与多项式求值一样，先化简，再代入求值再代入求值(2): bab 如如图图 设设与与的的夹夹角角为为(3)第18页/共22页 例例3 已知已知| | = 3, | | = 4, 且且 与与 不共线不共线, 当且仅当当且仅当k为何值时为何值时, 向量向量 +k与与

10、 k 互相垂直互相垂直?a b a b a b a b () ()0,akbakbakbakb与与互互相相垂垂直直的的充充要要件件是是22229,16,aabb29160k ，.akbakb3 3所所以以当当且且仅仅当当k=时k=时，与与互互相相垂垂直直4 4解：解：2220,ak b即即3.4k 解解得得第19页/共22页 1. 小结：小结： 2. 向量运算不能照搬实数运算律，向量运算不能照搬实数运算律，交换律、数乘结合律、分配率成立；交换律、数乘结合律、分配率成立；向量结合律、消去律不成立。向量结合律、消去律不成立。 3. 向量的主要应用是解决长度和夹向量的主要应用是解决长度和夹角问题。角问题。0.aba b 第20页/共22页 1. 已知已知 ， 为非零向量，为非零向量， + 3 与与7 5 互相垂直，互相垂直， 4 与与7 2 互互相垂直，求相垂直，求 与与 的夹角的夹角a b a b a b a b 巩固练习巩固练习：a b a b 2. 求证：直径求证：直径所对的圆周角为所对的圆周角为直角直角60 第21页/共22页感谢您的观看。第22页/共22页