特殊的平行四边形教案

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1、教学课时建议：本小节新授课可分为五学时，其中第一学时掌握矩形的概念、性质；第二学时掌握矩形判定方法；第三学时掌握菱形概念、性质；第四学时掌握菱形判定方法，第五学时掌握正方形概念、性质和判定方法.特殊的的平行四边形教案一、教学目标 知识技能：掌握矩形、菱形和正方形概念、性质和判定方法，理解它们与平行四边形的区别与联系，会用这些定理进行有关的论证和计算.数学思考：经历探索矩形、菱形和正方形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理的基本方法.问题解决：了解矩形、菱形和正方形的现实应用和常用判别条件.探索并掌握矩形、菱形和正方形的性质和判定并应用解决实际问题.情感

2、态度：培养良好的思维意识以及合情推理的能力 ，感悟其应用价值及培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力 二、重难点分析 教学重点：矩形、菱形和正方形的定义性质和判定及矩形、菱形和正方形与平行四边形的联系 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质和判定都是在平行四边形的基础上扩充的.它们的探索方法，也都与平行四边形性质和判定的探索方法一脉相承.也都是以平行四边形的有关定理为依据的，是平行四边形知识的综合应用.教学难点：灵活应用矩形、菱形和正方形性质和判别在实际生活中的应用能力.平行四边形与各种特殊平行四边形之间的联系与区别，则是本章的教学难点.因为各种平行四边形概念交错，容易混淆，常

3、会出现“张冠李戴”“集合”的思想，【本文由361学习网搜集整理，小学教案】结合教科书中的关系图，分清这些四边形的从属关系，梳理它们的性质和判定方法，是克服这一难点的关键.三学习者学习特征分析 学生已经学习了平行四边形的性质和判定，对于类似的问题有一定的学习精力、经验和感受，这将更有利于学生对本节课的学习.四教学过程 （一）动手操作，引入新课 1思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画1演示过程）2再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义 （二）合作交

4、流，探索新知 1、矩形的定义、性质和判定 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形) 矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象 【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状 随着的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？ 当是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？（图片3演示过程） 操作、思考、交流、归纳后得到矩形的性质 矩形性质1 矩形的四个角都是直角 矩形性质2 矩形的对角线相等 如图，在矩形ABCD中，AC

5、、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=AC=BD. 因此可以得到直角三角形的一个性质： 图1直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 例1 已知：如图1，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOB=60，AB=4cm，求矩形对角线的长 分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知， 可得OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求 解：四边形ABCD是矩形，AC与BD相等且互相平分OA=OB 又 AOB=60， OAB是等边三角形 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=24=8（cm） 例2（补充）已知：如图，矩形 ABCD，AB长

6、8 cm ，对角线比AD边长4 cm求AD的长及点A到BD的距离AE的长 例2（补充）图 例3（补充） 图 分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法 略解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在RtABD中，由勾股定理：x2+82=(x+4)2解得x=6则AD=6cm （2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AEDB ADAB，解得 AE 4.8cm 例3（补充） 已知：如图 ，矩形ABCD中，E是BC上一

7、点，DFAE于F，若AE=BC 求证：CEEF 分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AFBE，则问题解决，而证明AFBE，只要证明ABEDFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形 证明： 四边形ABCD是矩形， B=90，且ADBC 1=2 DFAE， AFD=90 B=AFD又 AD=AE， ABEDFA（AAS） AF=BE EF=EC 此题还可以连接DE，证明DEFDEC，得到EFEC2、菱形的定义、性质和判定 （引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边

8、形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等 让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子 探究：将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开，你发现这是一个什么样的图形呢？（动画3演示过程） 探究：菱形的性质，让学生动手利用折纸、剪切的方法，探究、归纳 方法一：将一张长方形的纸横对折，再竖对折(如教材P107的探究)，然后沿图中的虚线剪下，打开即是菱形纸片； 方法二：如图1，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD就是菱形； （图片9演示） 图1 图2方法三：将一张长方形纸对折，

9、再在折痕上取任意长为底边，剪一个等腰三角形，然后打开即是菱形(如图2) 总结：菱形的性质： 菱形的四条边都相等.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.探索： 菱形的面积公式是什么？如何证明这个公式？（提示：四个全等的直角三角形.） 例1 （补充） 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E 求证：AFD=CBE 例1图 例2图 证明：四边形ABCD是菱形， CB=CD， CA平分BCD BCE=DCE又 CE=CE， BCECOB（SAS） CBE=CDE在菱形ABCD中，ABCD， AFD=FDC AFD=CBE 例2、已知：如图，AD是三角形ABC的

10、角平分线，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形.（提示：运【本文由361学习网搜集整理，小学教案】用定义判定.）3、正方形的定义、性质和判定1做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形 学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系问题：什么样的四边形是正方形？ 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：（1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）（2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）2【问题】正方形有什么性质？ 由正方形的定义可以得知，正方形既是

11、有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形 所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质 例习题分析 例1（教材P111的例4） 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形 已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图） 求证：ABO、BCO、CDO、DAO是全等的等腰直角三角形 例1图 例2图 例3图 证明： 四边形ABCD是正方形， AC=BD， ACBD， AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分） ABO、BCO、CDO、DAO都是等腰直角三角形， 并且 ABO BCOCDODAO 例2 （补充）已知：如图，正方形AB

12、CD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DGAE于G，DG交OA于F 求证：OE=OF 分析：要证明OE=OF，只需证明AEODFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到AOE=DOF=90，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到EAO=FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得 证明： 四边形ABCD是正方形， AOE=DOF=90，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等） 又 DGAE， EAO+AEO=EDG+AEO=90 EAO=FDO AEO DFO OE=OF 例3 （补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1l2，作BMl1于

13、M，DNl1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点 求证：四边形PQMN是正方形 分析：由已知可以证出【本文由361学习网搜集整理，小学教案】四边形PQMN是矩形，再证ABMDAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP即可证出MN=NP从而得出结论 证明： PNl1，QMl1， PNQM，PNM=90 PQNM， 四边形PQMN是矩形 四边形ABCD是正方形 BAD=ADC=90，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角） 1+2=90 又 3+2=90， 1=3 ABMDAN AM=DN 同理 AN=DP AM+AN=DN+DP即 MN=PN 四边形PQMN是正方形（有一

14、组邻边相等的矩形是正方形） （三）应用新知，体验成功 利用多媒体素材中的“典型例题”进行教学. （四）课堂小结，体验收获（PPT显示） 这堂课你学会了哪些知识？有何体会？（学生小结） 今天我们主要学习了矩形、菱形和正方形的定义及性质. （五）拓展延伸，布置作业 习题19.2 1矩形的两条对角线的夹角为60，对角线长为15cm，较短边的长为（ ） (A) 12cm. (B) 10cm. (C) 7.5cm. (D) 5cm. 2下列条件中，能判定四边形是菱形的是 （ ） （A）两条对角线相等. （B）两条对角线互相垂直.（C）两条对角线相等且互相垂直. （D）两条对角线互相垂直平分.3在直角三角

15、形ABC中，C=90，AB=2AC，求A、B的度数 4已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，求证：EAED 5如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求证：CBE的度数 第5题 第9题 第10题6菱形ABCD中，DA=31，菱形的周长为 8cm，求菱形的高 7四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，8.求（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积 9已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF 求证：EAAF10已知：如图，ABC中，C=90，CD平分ACB，DEBC于E，DFAC于F求证：四边形C

16、FDE是正方形 五、学习评价一选择题（每小题3分，共24分） 1在矩形中，对角线具有的性质是（ ） (A) 相等且互相垂直. (B) 相等且互相平分.(C) 互相垂直且互相平分. (D) 互相垂直且平分内角.2直角三角形中，两条直角边长分别为12和5，则斜边中线长是（ ） (A) 26. (B) 13. (C) . (D) 6.5. 3在四边形ABCD中，AC和BD的交点为O，则不能判断四边形ABCD是矩形的是（ ） (A) ABCD，ADBC，ACBD. (B) AOCO，BODO，A90. (C) AC，BC180，AOBBOC. (D) ABCD，ABCD，A90. 4如果平行四边形各内

17、角的平分线能够围成一个四边形，则这个四边形是（ ） （A） 正方形. (B)矩形. （C） 菱形. (D) 平行四边形.5已知菱形的边长等于2，菱形的一条对角线长也是2，则另一条对角线的长是（ ） (A) 4. （B） . （C) . (D) 3. 6菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ） (A) 对边平行 . (B) 对角相等. (C) 对角线互相平分. (D) 对角线互相垂直.7如果a表示一个菱形的对角线的平方和，b表示这个菱形的一边的平方，那么（ ） (A) a=4b. (B) a=2b. (C) a=b. (D) b=4a. 8在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是

18、正方形的条件是（ ） (A) ACBD，. (B) ADBC，AC. (C) AOBOCODO，ACBD. (D) AOCO，BOOD，ABBC.二填空题（每小题3分，共24分） 9矩形ABCD的对角线相交于点O，AB8cm，AOB=60，则这个矩形的对角线的长是_cm 10已知矩形的周长是40cm，被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长的差是8cm，则较大的边长为_ cm 11工人师傅在做门框或矩形零件时，常用测量平行四边形两条对角线是否相等来检测直角的精度，请问工人师傅根据的几何道理是_ 12已知菱形的两条对角线的长都是8cm，则菱形的边长为_ cm 13过四边形ABCD的顶点A、B、C、

19、D作对角线AC、BD的平行线，围成四边形EFGH，若四边形EFGH为菱形，则四边形ABCD是 _ 14要使一个平行四边形成为正方形，则需增加的条件是_ （填上一个正确的结论即可） 15如图1，P是正方形ABCD内一点，将ABP移动到与CBP重合，若BP3，则PP_ 16如图2，已知方格纸中是4个相同的正方形，则123_ 三解答题（共50分） 17(10分)如图3，在矩形ABCD中，已知AC、BD相交于点O，EFAC于点O，且交CD于点E，交AB于点F求证：四边形BEDF为平行四边形 18（10分）如图6，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，OCFOBE求证：OFOE19（10分）如图7，

20、正方形ABCD的边长为1cm，AC是对角线，AE平分BAC，EFAC于F（1）求证：BECF; （2）求BE的长20已知：如图8，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F.试说明四边形AFCE是菱形.答案与提示：一选择题：1.B; 2.D; 3.C; 4.B; 5.B; 6.D; 7.A; 8.C;二填空题： 916 1014 11对角线相等的平行四边形是矩形 1213对角线相等的四边形14.对角线相等且互相平分或一组对边相等有一个角是直角（答案不唯一）15 16三解答题： 17提示：先证DOEBOF.得到DE=BF，再根据一组对边平行且相等证明四边形BEDF为平行四边形18提示：先证BOECOF.得到OE=OF 19（1）因为AE平分BAC所以BE=EF,又可以证明三角形CEF为等腰直角三角形 所以EF=CF所以 BE=CF（2） 20. 解因为四边形ABCD是平行四边形，所以EAOFCO，AEOCFO，又EF是AC的垂直平分线，所以OAOC， 所以AOECOF，所以OEOF，即AC与EF互相垂直平分，所以四边形AFCE是菱形.