北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑(二)

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1、学科：数学教学内容：导数与微分经点答疑(二)2.函数f (x)的不可导点有哪些类型？(1)函数f (x)在不连续点不可导.如，符号函数sgnx,在x=0点不连续，在x = 0点不可导.(2)函数f (x)在连续点不可导有以下几种类型：左、右可导，但左、右导数不相等；例如，函数f (x) = |x|,在点x=。左、右可导，但左、右导数不相等.左、右两侧至少有一侧不可导；例如，函数f x1 xsin 一xx 0,x 0.右导数f 0 lim lim sin不存在，即右不可导.x 0 AX Ax 0 ax左导数f 0 lim 0存在，即左可导.x 0 X左、右导数至少有一个是无限大.例如，f x 灯

2、x在X 0时，右导数 f 0 limlim -1-Ax 0 AyA x 0XAx 3左导数f 0 lim x lim 1-Ax 0 Ax Ax 0_Ax 33 .函数f(x)在点x可导，是否函数f(x)在点x的某邻域内每一点都可导？不一定,函数f x在点x0可导是一个局部概念，它在点x0的邻域内不一定可导.,一 一 x2当x为有理数时一例如，函数f x x,在点0可导，(当然在点0连续)，事实上0 当x为无理数时.导.f x f 0 lim x 0 x 0f x limx 0 xxm0lxmolim 0x 0 x显然，函数f (x)在任意点xw0都不连续，即除点0当出有理数时，当x为无理数时.

3、0外，函数f (x)在任意点都不可由此可见，一个函数可能仅仅在一点可导.4 .什么是导函数？导数与导函数有什么区别与联系？怎样求导函数？如果函数f (x)在开区间(a,b)内每一点都可导，称函数 f (x)在开区间(a,b)内可导，并称函数f(x)是(a,b)内的可导函数.如果函数f(x)在闭区间a,b内可导，且f a与f b都存在，称函数f (x)在闭区间a, b上可导，此时称f (x)为闭区间a, b上的可导函数.如果函数f (x)在区间应，这样按照函数的定义，在可导，此时对每一个点 xC I,都有惟一一个导数 f x与之对I上定义了一个新的函数，称为函数f (x)在I上的导函数,y或dy

4、即dx.f xlim x 0注意到，前面介绍的函数 f (x)在点x0处的导数是一个值，这里给出的导函数是函数，这是二者的根本区别.函数 f (x)在点x0 I的导数f x0与函数f (x)在I上的导函数f x的关系是：导数f x等于导函数f x在点x0处的函数值，即f x f x |x x0 .而前面导数的记号y |x x正是利用这种关系来表 示的. x x0有时，在导函数与导数不至于发生混淆的情况下，导函数简称导数.例如， 求某一函数的导数，而没有特别指明是某一点的导数，这时实际上是求导函数的.从导函数的结构我们可以看出，导函数的结构从形式上就是函数f (x)在任一点x处的导数.因此要求函

5、数 f (x)在区间I上的导函数，只需要求出 f (x)在I上任一点x处的 导数即可，而要求f (x)在点x处的导数，只需把极限 lim 2一x一必求出来即可x 0x例1 求函数y=x的导数.思路启迪 在本题中，实际上是求函数 y = f (x)的导函数的，只须把函数 f (x)在任 一点x处的导数求出来即可.规范解法 .f(x)=x,f (x + A x) = x + A x,Ax 0, y=f (x + A x) f (x)= x + A x x = A x.-21.x xy lim ylim 1 1.x 0 x x 0即x 1.例2求函数yx3的导数.思路启迪这里是求导函数的，可先求出x

6、o处的导数，再把xo换成x即为所求.规范解法任取x0 R, x 0.f xox3,f xo x33y x。 x x。3x。x3x；3x0 xy |x xolim -yx o x2lim 3x0 3x x x o用x代xo即得函数yx3的导数为x32x ,x 23xj.3x2.5.导数的几何意义是什么？它有哪些物理意义？由引例2,我们知道，若函数f (x)在点xo可导，则曲线y=f (x)在点Pxo,f xo的 切线存在，且切线的斜率 k就是函数f (x)在点xo处的导数f xo ,即k f xo .故函数y = f(x)在点x0处的导数的几何意义是：f x表示曲线y = f(x)在点x0,f

7、x 处切线的斜率，即tan f x0 .因此，若函数f (x)在点x0处可导，则曲线y=f (x)在点P x0,y0 y0f x0处的切线方程是： y yo f xo x xo. 法线方程是1 ,cy yo x xo f xo 0.f xo导数的物理意义，根据函数 f (x)的物理意义不同而不同.如若当函数 f (x)表示质 点作变速直线运动的路程时(x表示时间)，其导数f x表示质点在时刻x的瞬时速度；当函数f (x)表示质点的速度函数时，其导数 f x表示质点的瞬时加速度；当函数f (x)表示电量函数时(x表示时间)，其导数f x表示日刻x的瞬时电流强度.等等.例1求曲线y x3在点(1,

8、1)处的切线方程与法线方程.思路启迪 按照导数的几何意义，只要求出函数y x3在点x=1处的导数即为该曲线在点(1,1)处的切线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求出切线与法线方程.规范解法根据导数的几何意义可知，所求切线的斜率为 k1 y|x1.由于 yx3 3x2，因此 ky|x1 3x2|x 1 3.于是所求的切线方程为 y1 = 3 (x 1),即3xy 2=0.1所求法线的斜率为k21 .3从而所求的法线方程为 y 1 1x 1，即x 3y 4 0.3例2求曲线y x3上哪些点的切线平行于 直线y 3x 3.思路启迪 根据导数的几何意义，求曲线y=f (x)上切线平行于已知直线的点，也

9、即是求函数y=f (x)在哪些点的导数与已知直线的斜率相等.因此，只要找出函数y = f (x)与已知直线的斜率相等的点即可.规范解法 已知直线y3x 3的斜率k3,函数yx3的导数y3x2.设 3x2 3,得 x 1,当x 1时,y 1;x 1时，y 1.故所求的点是(1, 1)和(1, 1).点评解决此题的关键是能正确理解并掌握导数的几何意义.6.函数的可导性与连续性的关系是什么？ v设函数ff x在点x可导，即lim f xx-0时的无穷小量a, x 0 x由具有极限的函数与无穷小量的关系我们知道，存在一个当使得上f x 成立. x从而y f x x x.于是 lim y lim f x

10、 x x 0.x 0x 0即函数y = f (x)在点x处连续.因此我们有:若函数y = f (x)在点x可导，则函数y=f (x)在点x必连续.反之，不一定成立，即若函数 y = f (x)在点x处连续，但它在点 x不一定可导.例函数f xx x 0,x x 0.规范解法如图3-3, f (x)在点x=0连续，事实上：f (0) =0.lim f x lim x 0 f 0，即在点x 0右连续.x 0x 0lim f x lim x 0 f 0 ,即在点x 0左连续.x 0x 0故f (x)在点x=0连续.但是，f (x)在点x= 0不可导(见1中的例2).由上面的讨论可知，函数 f (x)

11、在点x连续是函数f (x)在点x可导的必要条件，但 非充分条件.即函数 f (x)在点x处可导必连续，连续不一定是可导，不连续一定不可导.7 .若函数f (x)与g (x)在点x0都不可导，它们的和 H (x) = f (x) +g (x)与积G (x) = f (x) g (x)在点x0是否也不可导？不一定.例如，函数 f (x) = |x|与g (x) =- |x|.在x = 0都不可导，但是，它们的和与积 H (x)=f(x)+g (x)=0与Gx f x g x x2 在x=0却都可导.8 .求哪些函数个别点的导数或左、右导数应用导数的定义？(1)函数在个别点的函数值单独定义的，其余点

12、的函数值用统一解析式定义的(函数 在个别点连续).例如，函数1x cosax 0,1,0,f xx0当 x 0.在点x= 0的导数要应用导数的定义.(2)求分段函数在分段点的导数.例如，函数1 x x ,0,2f x e X x0, g x x 1 x x 0,1 ,0 x 0;1 x x 0,.求函数f (x)在点x=0的左、右导数，函数 g (x)在点x=0与x=1的左、右导数要 应用导数的定义.9.导数有哪些基本公式和运算法则 ？在导数的定义中，我们不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求函数的方法.但 是，如果对每一个函数， 都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂和困难的，甚至是

13、不可能的.因此，我们希望找到一些简单函数的导数(作为我们的基本公式)与运算法则，借 助它们来简化导数的计算过程.公式(1) C 0, C为常数.证明：设 y = f (x) = C,A y Ay f x Ax fx C C 0, - 0,A xA vf x C limlim 0 0. x 0 x Ax 0公式(2) xn nxn 1,n为正整数.证明：设y f x xn,n nAy f x Ax f x x Ax x_n1 n n 1 n 22nx A x x A xA x2 1AyA xnxnxn y n 1 lim L nx x 0 x注：以后可以证明，当 n取任意实数时，这个公式仍然成立

14、.例1求x9规范解法x99x9 1 9x8.公式(3) sin x cosx.证明：设y sin x,y sin xx sin2xsinx 2cos x 2cos x xy sin xlimxylim cos x0 x x 0limxx sin-cosx.公式(4) cosxsin x.请读者自己证明.公式(5) log1 ,a 0,a xlna证明:lOgaX,log alogax logAyA xlog alog a x10g axlimAx y0a71 lim log a 1x Ax 0当 a = e时,公式(6) (1nx)1. log ae x1xlna公式(7) (ax)axlna

15、, (a0)证明:设 y ax.ex cx/c Axa a (a1),xx a 1a xx 1 t ,则 AX log a(1t),又当 t-0时，有t-0,于xa 1 lim x 0 xlimx I0lOga(1 t)limt 01loga(1 t)T,lna. loga ey (ax)lim0, axlna特别，当a=e时，有公式(8) ex规范解法3x3x ln 3.法则(1) 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)u v U v.证明：设yu x vx,ux、x x均可导.当x有增量A x时，有相应的增量A u, A v,A y, yu xA xv xA xu x

16、v xAyA uA vA xA xA x.uvlim0Ay A xAu lim x 0AxlimA v0AxAu Av.用同样的方法可将此结果推广到有限个函数代数和的导数情形.例3求下面函数的导数(1)y x4 x3 sin x ex. 73(2)y x x3 x 10.思路启迪这两个函数都是由几个初等函数的代数和构成，求它们的导数只要利用和与差的求导法则及前面的导数公式即可得出正确的答案.规范解法 (1)y x4x3sin x ex4x3 3x2 cosx ex.(2)yx7x3x 107x6 3x2 1.法则(2)两个函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函乘以第

17、二个函数的导数.即uv u uv.证明：设y=uv, u (x)、v (x)均可导，当x取增量 x (xwo)时，有相应的增 量 u、 v y,于是在x处y u xx v xx u x v xu xx v xx u x v xx u x v x x u x v xuv x x u x v,yuv v x x u x . xxx由于V x在点x可导，从而连续,于是当Ax 0时，V x ux vx,于是Ayuv lim 0Ax1. A u .4. Avlim lim v x Axu x lim xOx4xO除 0 A xuv uv.特别V CC常数时，Cu C u Cu 0 Cu Cu .也就是说

18、，常数与函数 的积的导数，等于常数乘 以函数的导数.即Cu Cu.对于有限个函数的乘积的导数可类推例如三个可导的函数u（ x ） ， v x 和 w x 的乘积uvw u vw uv w uvw例4 求函数y x3cosx的导数y .思路启迪该函数是由两个基本初等函数x3与cosx的积所构成，而x3与cosx的导数（公式） 我们知道， 两个函数的积的求导法法则我们学过， 因此只要能正确运用两个函数的积的求导法则与 x3和cosx的求导公式，该题将迎刃而解.规范解法 由两个函数和积的求导法则得333y x cosx x cosx x cosx233x cosx x sin x.3例 5 设 y

19、x sinxlnx，求y .思路启迪 本例与上例基本相同， 所不同的是本函数是由三个函数的积所构成， 因此只 要正确运用积的求导法则及公式即可y x3 sin xln x333x sin xln x x sin x ln x x sin x ln x2323x sin xln x x cosxln x x sin x2x 3sin xln x xcosxln x sin x .例6当p、q满足何条件时，三次抛物线yx3 px q与0痔由相切.思路启迪 要使抛物线y x3 px q在某点与0痔由相切,须使该点满足：y y 0.规范解法 由方程y x3 px q,求得y 3x2 p.要使此曲线与o

20、xtt相 切，必须满足3x2 px3 px0, (1)q 0.(2)由(2)式得x x2 pq,两端平方，则x2x2 p2 q2(3)2将式代入(3)式得：p p pq2.3332即pq0,即为所求的条件.32法则(3)两个可导函数之商的导数仍是一个商，这个商的分子等于原来的商的分子的 导数乘以分母，再减去分子乘以分母的导数；它的分母是原来的商的分母的平方.即：u u v uv2, v 0 .v v u x证明：设y ,v x 0, u x ,v x在x可导v xu x A x u xAy KT 口u x A u, v x A x v x A v.u x Au u x Au v x u x A

21、 v v x A v v x u x A v v x因为u x , v x在点x可导，从而连续，于是:A y y lim x 0Ax一 口lim v x x 0 xux lim x 0 xlim A v v(x)Ax 0例7 设y tan x,求y .思路启迪 注意到正切函数tanx是由正弦函数sinx与余弦函数cosx的商所构成，商的 求导法则我们学过，而正弦函数与余弦函数的导数(公式)我们知道，因此若能正确地运用 求导法则及求导公式，该函数的导数也就解决了.规范解法tanxsinxcosxsinxy tan x cosxsinx cosx sinx cosx2cosx22cos x sin x 122 -2 sec x. cos x cos x从而得公式(9) tan x2sec x.类似可得公式 (10) cot x csc2 x .