充分条件与必要条件(教学设计)

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1、充分与必要条件（1）（教学设计）充分条件与必要条件教学目标知识与技能：正确理解充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件进一步会判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。过程与方法：充分感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生现问题的能力，通过对充分条件、必要条件的判定，提高分析问题、解决问题的能力；学会观察，敢于归纳，关于建构；充分培养学生的发散思维能力，挖掘学生的创新思维能力。 情感、态度与价值观通过“pq”与“qp”的判断，感受对立，统一的思想，培养辩证唯物主义观；通过学习本节课体验成功的愉悦，激发学习的兴趣；通

2、过探究学习培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质。教学重点与难点重点：充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证)难点：判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。教学过程：一、复习回顾1、四种命题的形式与关系二、创设情境，新课引入当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介

3、绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题充分条件与必要条件.三、师生互动，新课讲解问题1：前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？（1）若xy，则x2y2（2）若ab = 0，则a = 0（3）若x21，则x1（4）若x1或x2，则x23x20推断符号“”的含义“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作pq，或者qp；如果由p推不出q，命题为假，记作pq. 简单地说，“若p则q”为真，记作pq（或qp）；“若p则q”为假

4、，记作pq（或qp）. 命题(1)、 (4)为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“pq”，命题(2)、（3）为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“pq.” 说明： “pq”表示“若p则q”为真，可以解释为：如果具备了条件p，就是以保证q成立，即表示“p蕴含q”，理解为“p”为“q”的子集。1.什么是充分条件？什么是必要条件？一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件；如果已知pq，且qp，那么就说：p是q的充分且必要条件，简记充要条件；如果已知pq，那么就说：p不是q的充分条件；q不是p的必要条件；回答

5、上述命题(1)(2)(3)(4)中的条件关系.命题(1)中因xy x2y2，所以“xy”是“x2y2”的充分条件，“x2y2”是“xy”的必要条件；x2y2xy，所以“x2y2”不是“xy”的充分条件，“xy”不是“x2y2”的必要条件；命题(2)中因a = 0 ab = 0，所以“a = 0”是“ab = 0”的充分条件.“ab = 0”是“a = 0”的必要条件. ab = 0 a = 0，所以“ab = 0”不是“a = 0”的充分条件，“a = 0”不是“ab = 02”的必要条件；命题(3)中，因“x1x21”，所以“x1”是x21的充分条件，“x21”是“x1”的必要条件. x21

6、 x1，所以“x21”不是“x1”的充分条件，“x1”不是“x21”的必要条件.命题(4)中，因x1或x2 x23x20，所以“x1或x2”是“x23x20”的充要条件.由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：例1（课本P9例1）下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？（1）若x 1，则x2 4x 3 0；（2）若f(x) x，则f(x)为增函数；（3）若x为无理数，则x2为无理数分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q解：命题（1）（2）为真命题，命题（3）为假命题，所以，命题（1）（2）中的p是q的充分条

7、件。3充分条件与必要条件的判断方法：（1）直接利用定义判断：即“若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.（条件与结论是相对的）（2）利用等价命题关系判断：“pq”的等价命题是“qp”。即“若qp成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”。例（课本P10例2）下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?(1) 若x y，则x2 y2；(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； (3) 若a b,则acbc分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q解：命题（1）（2）为真命题，命题（3）为假命题，所以，命题（1）（2）中的q是p的必要条件。例3：

8、 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：（1） p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0. （2） p：两条直线平行；q：内错角相等.（3） p：ab；q：a2b2（4）p：四边形的四条边相等；q：四边形是正四边形.分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.解：由pq，即x-1=0(x-1)(x+2)=0，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.由pq，即两条直线平行内错角相等，知p是q的充要条件，q是p的充要条件；由pq，即ab a2b2，知p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；qp，即a2b2ab，知q不是p的充分条件，p不是q的必要条件.综述：p是q的既

9、不充分条件又不必要条件。由q p，即四边形是正四边形四边形的四条边相等，知q是p的充分条件，p是q的必要条件. 由pq，即四边形的四条边相等四边形是正四边形，知p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；综述：p是q的必要不充分条件。以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.学习课堂练习（课本P10练习：NO：1；2；3；4）例4：设“开关闭合”为条件，“灯泡亮”为结论，分别观察下图，说说是的什么条件？例5如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：命题：若“A为绿色”

10、，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件. 命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.解法1(直接判断)：“A为绿色B为绿色”是真的，由定义知，“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件. 如图2，“红点在B内红点在A内”是真的，由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.解法2(利用逆否命题判断)：它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A不为绿色”. “B不为绿色 A

11、不为绿色”为真，“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”. 如图2，“红点不在A内红点一定不在B内”为真，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件. 如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例5为例来说明.先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式.再说必要性：必

12、要就是必须，必不可少.从例5的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即qp）的形式.总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据.例5的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想.4用集合的思想理解充分与必要条件给定两个条件p ,q，要判断p是q的什么条件，也可考虑集合：A=x |x满足条件q,B=x |x满足条件pAB,则p为q的充分条

13、件，q为p的必要条件；B=A, 则p为q的充要条件，q为p的充要条件；5分析比较充分条件、必要条件与充分不必要条件、必要非充分条件和充要条件的区别和判定命题：若p，则q (1)若pq，且q p.则P是q的充分不必要条件(2)若p q，且qp.则p是q的必要不充分条件(3)若pq，且qp.则p是q的充要条件，q也是p的充要条件(4)若p q，且q p.则p是q的既不充分与不必要条件备注：只能“已知（条件）”是“结论”的什么条件。四、课堂小结，巩固反思本节主要学习了推断符号“”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法.（1）若pq（或若qp），则p是q的充分条件；若qp（

14、或若pq），则p是q的必要条件.（2）条件是相互的；（3）p是q的什么条件，有四种回答方式： p是q的充分而不必要条件； p是q的必要而不充分条件； p是q的充要条件； p是q的既不充分也不必要条件。五、布置作业：（分层作业）A组：1、（课本P12习题1.2 A组：NO：1）2、（课本P12习题1.2 A组：NO：2）3、用“充分”或“必要”填空，并说明理由：“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的 条件；（答：充分）“x5”是“x3”的 条件；（答：充分）“x3”是“|x|3”的 条件；（答：充分）“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的 条件；（答：充分）“至少有一组对应边相等

15、”是“两个三角形全等”的 条件；（答：必要）对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b2-4ac0”是“这个方程有两个正根”的 条件；（答：必要）4已知真命题“abcd”和“abef”，则“cd”是“ef”的_条件（答：充分）5设命题甲为：0x5，命题乙为|x2|3，那么甲是乙的（ A）A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件6在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(4)所示，开关A闭合是灯泡

16、B亮的条件；解：图(1)：充分但不必要条件；图(2)：必要但不充分条件；图(3)：充要条件；图(4)：既不充分也不必要条件.7“”是“”的 _ 条件（答：充分不必要）B组：1是的什么条件?并说明理由.解： 但反之却不一定成立。例如取=1,=5,显然满足但不满足所以是的必要但不充分条件.2已知px2-8x-200，qx2-2x+1-a20。若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围.解：pA=xx-2，或x10，qB=xx1-a，或x1+a，a0如图，依题意，pq，但q不能推出p，说明AB，则有 解得0a3.C组：1、p：；q：若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围解：由于是的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件于是有