高中数学必修二直线的方程

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1、会计学1高中数学必修二高中数学必修二 直线的方程直线的方程(2)直线的斜率定义：一条直线的倾斜角 的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k= ，倾斜角是90的直线斜率不存在.过两点的直线的斜率公式经过两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2) (x1x2)的直线的斜率公式为k= 正切值tan .1212xxyy第1页/共53页2.直线方程的五种形式名称名称方程方程适用范围适用范围点斜式点斜式不含垂直于不含垂直于x x轴的直线轴的直线斜截式斜截式不含垂直于不含垂直于x x轴的直线轴的直线两点式两点式不含直线不含直线x x= =x x1 （x x1x x2）和直线和直线y y= =y

2、y1 （y y1y y2）)(11xxkyybkxy121121xxxxyyyy第2页/共53页截距式截距式不含垂直于坐标轴和过原不含垂直于坐标轴和过原点的直线点的直线一般式一般式平面直角坐标系内的直线平面直角坐标系内的直线都适用都适用1byax)0(022BACByAx第3页/共53页3.过P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线方程（1）若x1=x2,且y1y2时，直线垂直于x轴，方程为 ;(2)若x1x2,且y1=y2时，直线垂直于y轴，方程为 ;(3)若x1=x2=0，且y1y2时，直线即为y轴，方程为 ;(4)若x1x2,且y1=y2=0时，直线即为x轴，方程为 .x=x1y=y

3、1x=0y=0第4页/共53页4.线段的中点坐标公式 若点P1、P2的坐标分别为（x1，y1）， （x2，y2），且线段P1P2的中点M的坐标为（x,y）， 则 ，此公式为线段P1P2的中点 坐标公式.222121yyyxxx第5页/共53页基础自测1.过点M（-2，m），N（m，4）的直线的斜率等 于1，则m的值为 （ ） A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 解析 kMN= =1，m=1.Amm24第6页/共53页2.经过下列两点的直线的倾斜角是钝角的是（ ） A.（18，8），（4，-4） B.（0，0），（ ，1） C.（0，-1），（3，2） D.（-4，1），（0，-1）3第7页

4、/共53页解析 对A过两点的直线斜率对B过两点的直线斜率对C过两点的直线斜率对D过两点的直线斜率过D中两点的直线的倾斜角是钝角.答案 D, 076418)4(8k, 0330301k, 010312k. 02104) 1(1k第8页/共53页3.下列四个命题中，假命题是 （ ） A.经过定点P（x0，y0）的直线不一定都可以用 方程y-y0=k(x-x0)表示 B.经过两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2） 的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)= (x-x1)(y2-y1)来表示 C.与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方 程 表示 D.经过点Q（0，b）的直线都可以表示为

5、y=kx+b 解析 A不能表示垂直于x轴的直线，故正确；B 正确；C不能表示过原点的直线即截距为0的直 线，故也正确；D不能表示斜率不存在的直线， 不正确.1byaxD第9页/共53页4.如果AC0,且BC0,那么直线Ax+By+C=0 不通过 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 由题意知ABC0. 直线方程变为y=- x- ， AC0，BC0，AB0， 其斜率k=- 0,在y轴上的截距b=- 0, 直线过第一、二、四象限.CBABCBABC第10页/共53页5.一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴 围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 . 解析

6、设所求直线的方程为 A（-2，2）在直线上， 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， |a|b|=1 , 1byax122ba21第11页/共53页 由可得 由（1）解得 方程组（2）无解. 故所求的直线方程为 即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程. 答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0.21)2(21) 1 (abbaabba或，baba2112或，yxyx121112或第12页/共53页题型一 直线的倾斜角【例1】 若 ，则直线2xcos +3y+1=0 的倾斜角的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 2,62,66, 0,6565,2题型分类 深度剖析第13页/

7、共53页思维启迪 从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的范围，再确定倾斜角范围.解析 设直线的倾斜角为 ,则tan =- cos ,又 ，0cos , cos 0即- tan 0,注意到0 , .答案 B322,62333323365第14页/共53页探究提高 （1）求一个角的范围，是先求这个角某一个函数值的范围，再确定角的范围.（2）在已知两个变量之间的关系式要求其中一个变量的范围，常常是用放缩法消去一个变量得到另一个变量的范围，解决本题时，可以利用余弦函数的单调性放缩倾斜角的取植范围，其目的 是消去变量 得到。第15页/共53页知能迁移1 直线xsin -y+1=0的倾斜角的变化范围是 （ ）

8、A. B.(0,)C. D.解析 直线xsin -y+1=0的斜率是k=sin ,又-1sin 1，-1k1，当0k1时，倾斜角的范围是 ；当-1k0时，倾斜角的范围是 .2, 04,4,434, 0D4, 0,43第16页/共53页题型二 直线的斜率【例2】 已知直线l过点P（-1，2），且与以A（-2，-3），B（3，0）为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围. 分别求出PA、PB的斜率，直线l处于直线PA、PB之间，根据斜率的几何意义利用数形结合即可求.解 方法一 如图所示，直线PA的斜率直线PB的斜率, 5)2(1)3(2PAk思维启迪第17页/共53页当直线l绕着点P由PA旋转到

9、与y轴平行的位置PC时，它的斜率变化范围是5，+）；当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜率的变化范围是直线l的斜率的取值范围是方法二 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0.A、B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上，（-2k+3+k+2）（3k-0+k+2）0，.21) 1(320PBk21,., 521,第18页/共53页即（k-5）（4k+2）0，k5或k- .即直线l的斜率k的取值范围是 5，+）. 方法一 运用了数形结合思想.当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数y=tan 的单调性求k的范围，数形结合是解

10、析几何中的重要方法.解题时，借助图形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快捷解题的目的.方法二则巧妙利用了不等式所表示的平面区域的性质使问题得以解决.2121,探究提高第19页/共53页知能迁移2 已知点A（1，3），B（-2，-1）.若直线l：y=k（x-2）+1与线段AB相交，则k的取值范围是 （ ）A.k B.k-2C.k 或k-2 D.-2k解析 由已知直线l恒过定点P（2，1），如图.若l与线段AB相交，则kPAkkPB，kPA=-2，kPB= ，-2k .212121D2121第20页/共53页题型三 求直线的方程【例3】 求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P（3，2），且在

11、两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A（-1，-3），且倾斜角等于直线y= 3x的倾斜角的2倍. 选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可.解 （1）方法一 设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0，即l过点（0，0）和（3，2），l的方程为y= x，即2x-3y=0.32思维启迪第21页/共53页若a0，则设l的方程为l过点（3，2），a=5，l的方程为x+y-5=0,综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.方法二 由题意知，所求直线的斜率k存在且k0,设直线方程为y-2=k(x-3),令y=0，得x=3- ,令x=0,得y=2-3k,由已知3- =2-3k，解得k=-

12、1或k= ,直线l的方程为y-2=-（x-3）或y-2= (x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0., 1ayax, 123aak2k23232第22页/共53页（2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为 ，则所求直线的倾斜角为2 . tan =3,tan 2 =又直线经过点A（-1，-3），因此所求直线方程为y+3=- (x+1),即3x+4y+15=0.43tan1tan2243第23页/共53页探究提高 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的

13、直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.第24页/共53页知能迁移3 求下列直线l的方程：（1）过点A（0，2），它的倾斜角的正弦值是 ；（2）过点A（2，1），它的倾斜角是直线l1：3x+4y+5=0的倾斜角的一半；（3）过点A（2，1）和直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的交点.解 （1）设直线l的倾斜角为 ，则sin = ,tan = ,由斜截式得y= x+2,即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0.53534343第25页/共53页（2）设直线l和l1的倾斜角分别为 、 ，则解得tan =3或tan =- （舍去

14、）.由点斜式得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.（3）解方程组即两条直线的交点为（-5，-4）.由两点式得即5x-7y-3=0.,tan1tan243,43tan,2, 022则又31. 45, 0232, 032y，xyxyx得,252141xy第26页/共53页题型四 直线方程的应用【例4】 （12分）过点P（2，1）的直线l交x轴、y 轴正半轴于A、B两点，求使： （1）AOB面积最小时l的方程； （2）|PA|PB|最小时l的方程. 先求出AB所在的直线方程，再求出A， B两点的坐标，表示出ABO的面积，然后利用 相关的数学知识求最值.思维启迪第27页/共53页解 方法一 设直

15、线的方程为当且仅当 ,即a=4,b=2时，SAOB取最小值4， 4分此时直线l的方程为 6分. 421. 8, 112122) 1 (. 112),1, 2( 1abSabbababababyaxAOB由已知可得1分3分2112ba. 042, 124yxyx即第28页/共53页当且仅当a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3时，|PA|PB|取最小值4.此时直线l的方程为x+y-3=0. 12分. ) 1(4)2(24)1( 1)2()1 ()02()01 ()2(, 2) 1)(2(, 02, 112)2(222222bababaPBPAbabaabba变形得得由8分10分第29页/共53

16、页方法二 设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k0),则l与x轴、y轴正半轴分别交于当且仅当-4k=- ,即k=- 时取最小值，此时直线l的方程为y-1=- (x-2),即x+2y-4=0. 6分. 4)44(21)1()4(421)21)(12(21) 1 ().21 , 0()0 ,12(kkkkSkBkAAOB、k121211分3分第30页/共53页（2）|PA|PB|= 10分当且仅当 =4k2,即k=-1时取得最小值,此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0. 12分 求直线方程最常用的方法是待定系数法，本题所要求的直线过定点，设直线方程的点斜式，由另一条件确定斜

17、率，思路顺理成章，而方法一和方法二联系已知条件与相关知识新颖独特，需要较高的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.22441)1(kk, 484422kk24k探究提高第31页/共53页知能迁移4 已知直线l:kx-y+1+2k=0 (kR).（1）证明：直线l过定点；（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.（1）证明 直线l的方程是：k（x+2)+(1-y)=0,无论k取何值，直线总经过定点（-2，1）.,12,0102yxyx解之得令第32页/共53页（2）解 由方程知,当k0时直线

18、在x轴上的截距为 ,在y轴上的截距为1+2k，要使直线不经过第四象限，则必须有 解之得k0;当k=0时，直线为y=1,符合题意，故k0.kk21,121221kkk第33页/共53页（3）解 由l的方程，得依题意得).21 , 0(),0 ,21(kBkkA. 0, 021, 021kkkk解得. 042:, 4,21,140”“, 4)422(21)414(21)21 (2121212121min2yxlSkkkkkkkkkkkOBOAS此时即且成立的条件是第34页/共53页方法与技巧1.要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值 范围，熟记斜率公式：k= ，该公式 与两点顺序无关，已知两点坐

19、标（x1x2）时， 根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x1=x2，y1y2时，直线的斜率不存在，此时直 线的倾斜角为90.1212xxyy思想方法 感悟提高第35页/共53页2.求斜率可用k=tan （ 90），其中 为倾 斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分 割，牢记：“斜率变化分两段，90是分界，遇 到斜率要谨记，存在与否需讨论”.3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方 程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系 数法.4.重视轨迹法求直线方程的方法，即在所求直线 上设一任意点P（x，y），再找出x，y的一次关 系式，例如求直线关于点对称的直线方程、求直 线关于直线对称的直

20、线方程就可用轨迹法来求.第36页/共53页失误与防范1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在； 每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存 在斜率.2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围； 二是要考虑正切函数的单调性.3.利用一般式方程Ax+By+C=0求它的方向向量为 （-B，A）不可记错，但同时注意方向向量是不 唯一的.4.利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三 种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求 出垂直于x轴的直线方程.第37页/共53页一、选择题1. 直线l经过A（2，1）、 B（1，m2） （mR）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是 （ ） A.0， ） B. C.

21、D. 解析 k= =1-m21,又k=tan ,0 , 所以l的倾斜角的取值范围为定时检测D,434, 04, 0,24, 02112m.）24, 0，第38页/共53页2.直线l1:3x-y+1=0，直线l2过点（1，0），且它的 倾斜角是l1的倾斜角的2倍，则直线l2的方程为 （ ） A.y=6x+1 B.y=6(x-1) C.y= (x-1) D.y=- (x-1) 解析 由tan =3可求出直线l2的斜率 k=tan 2 = 再由l2过点（1，0）即可求得直线方程.4343D,43tan1tan22第39页/共53页3.若直线（2m2+m-3）x+(m2-m)y=4m-1在x轴上的 截

22、距为1,则实数m是 ( ) A.1 B.2 C. D.2或 解析 当2m2+m-30时, 在x轴上截距为 =1,即2m2-3m-2=0， m=2或m= .21D32142mmm2121第40页/共53页4.直线x+(a2+1)y+1=0 (aR)的倾斜角的取值范围 是 （ ） A. B. C. D. 解析 斜率k=- -1,故k-1，0）， 由图象知倾斜角 ,故选B.4, 0,43),2(4, 0),432,4B112a,43第41页/共53页5.直线ax+y+1=0与连结A（2，3）、B（-3，2）的 线段相交，则a的取值范围是 （ ） A.-1，2 B.（-，-1）2，+） C.-2，1

23、D.（-，-21，+） 解析 直线ax+y+1=0过定点C（0，-1），当直 线处在AC与BC之间时，必与线段AB相交，应满 足-a 或-a ，即a-2或a1.D213312第42页/共53页6.已知直线x=2及x=4与函数y=log2x图象的交点分别 为A，B，与函数y=lg x图象的交点分别为C，D， 则直线AB与CD （ ） A.相交，且交点在第象限 B.相交，且交点在第象限 C.相交，且交点在第象限 D.相交，且交点在坐标原点 解析 易知A（2，1），B（4，2），原点 O（0，0）， kOA=kOB= .直线AB过原点. 同理C（2，lg 2），D（4，2lg 2），kOC=kOD=

24、 直线CD过原点，且与AB相交，故选D.D21.2122g1第43页/共53页二、填空题7.过两点A（m2+2，m2-3），B（3-m-m2，2m）的 直线l的倾斜角为45，则m的值为 . 解析 由题意得： 解得：m=-2或m=-1. 又m2+23-m-m2,m-1且m ,m=-2. , 13223222mmmmm21-2第44页/共53页8.若经过点P（1-a,1+a）和Q（3，2a）的直线的倾 斜角为锐角，则实数a的取值范围是 . 解析 由条件知直线的斜率存在，由公式得 因为倾斜角为锐角，所以k0， 解得a1或a-2. 所以a的取值范围是a|a1或a-2.,21aak（-,-2）(1,+)

25、第45页/共53页9.直线y= x关于直线x=1对称的直线方程是 . 解析 在所求直线上任取一点坐标为（x,y），设 关于直线x=1对称点的坐标是（x0，y0）， 整理得：x+2y-2=0.（也可以用点斜式求解） 21,200yyxx则x+2y-2=0),2(21,2100 xyxy即第46页/共53页三、解答题10.已知线段PQ两端点的 坐标分别为（-1，1）、 （2，2），若直线l:x+ my+m=0与线段PQ有交点， 求m的范围. 解 方法一 直线x+my+m=0 恒过A（0，-1）点. kAP= =-2， 1011. 02132, 21231,232021mmmmkAQ且或则第47页/

26、共53页又m=0时直线x+my+m=0与线段PQ有交点，所求m的范围是 m .方法二 过P、Q两点的直线方程为y-1=即 代入x+my+m=0,整理得： ,由已知-1 2,解得：- m .3221).1(1212x37mmx37mm3221,3431xy第48页/共53页11.已知ABC中，A（1，-4），B（6，6）， C（-2，0）.求： （1）ABC的平行于BC边的中位线的一般式方 程和截距式方程； （2）BC边的中线的一般式方程，并化为截距式 方程. 解（1）平行于BC边的中位线就是AB、AC中点 的连线. 因为线段AB、AC中点坐标为 所以这条直线的方程为),2,21(),1 ,27

27、(,212721212xy第49页/共53页整理得：6x-8y-13=0，化为截距式方程为（2）因为BC边上的中点为（2，3），所以BC边上的中线方程为 即7x-y-11=0,化为截距式方程为. 1813613yx,121434xy. 111711yx第50页/共53页12.已知两点A（-1，2），B（m，3）. （1）求直线AB的方程； （2）已知实数m 求直线AB的倾 斜角 的取值范围. 解 （1）当m=-1时，直线AB的方程为x=-1, 当m-1时，直线AB的方程为,13, 133).1(112xmy第51页/共53页（2）当m=-1时， = ;当m-1时，m+1 （0， ，综合知，直线AB的倾斜角20 ,333.32,22,6,333,(11mk.32,6 返回 第52页/共53页