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1、-【稳固练习】一、选择题1.设平面两个向量的坐标分别为1，2，1，-1，1，2，则以下向量中是平面的法向量的是( )A. -1，-2，5 B. -1，1，-1 C. 1， 1，1 D. 1，-1，-12. 如图，是正方体，则与所成角的余弦值是 ABCD3. 如图，是直三棱柱，点分别是的中点，假设，则与所成角的余弦值是 ABCD4. 假设向量与的夹角的余弦值为，则( )A B C或D2或5.在三棱锥中，点分别是的中点，底面，则直线与平面所成角的正弦值 ABC D6.2021 秋 校级期末在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面的投影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC的夹角是
2、 A30B45C60D757.在三棱锥中，点分别是的中点，底面，则直线与平面所成角的正弦值是 AB C D二、填空题8假设平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的余弦值为_9正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的大小是_.10. 三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，则直线与平面所成角的正弦值为.11.如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，则平面和平面的夹角余弦值是_.三、解答题12. 如图，点在正方体的对角线上，.求与所成角的大小；求与平面所成角的大小.13. 如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线，都与平面垂直，求平面与平面
3、的夹角大小.14.如图1，在Rt中，90，3，6，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2(1)求证：平面；(2)假设是的中点，求与平面所成角的大小；(3)线段上是否存在点，使平面与平面垂直.说明理由15(2021 理)如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3()求证：EF平面ACFD；()求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.【答案与解析】1.【答案】B 【解析】排除法. 平面的法向量与平面任意直线的方向向量垂直，即它们的数量积为零. 排除A，C，D，选项为B.2.【答案】A 【解析】设正方体的棱长为1，以为原点建立如下图的空
4、间直角坐标系，则所以，所以，因此，与所成的角的余弦值是3.【答案】A 【解析】如下图，以为原点建立的空间直角坐标系， 则 由中点公式可知，.4.【答案】C 【解析】由可得，即， 即或.5.【答案】D【解析】6.【答案】A【解析】如图，以O为坐标原点，以OA为*轴，OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系O*yz。设OD=SO=OA=OB=OC=a，则Aa，0，0，B0，a，0，Ca，0，0，则，设平面PAC的一个法向量为，则，可取，直线BC与平面PAC的夹角为9060=30应选A。7.【答案】D 【解析】8.【答案】【解析】 由，知与所成角的余弦值为.9.【答案】 【解析】 以A为原点建立
5、直角坐标系如下图，设B2，0，0，则E1，0，0，F2，2，1，C12，2，2，A10，0，2， .10.【答案】 【解析】此题考察了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，正三角形ABC， E为BC中点， BCAE，SABC， BC面SAE， BCAF，AFSE， AF面SBC，ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3， ，AS=3， SE=，AF=， .11.【答案】【解析】因为ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以AEAB.又因为平面ABEF平面ABCD，AE平面ABEF，平面ABE
6、F平面ABCD=AB，所以AE平面ABCD.所以AEAD.因此，AD，AB，AE两两垂直，以A为坐标原点，建立如下图的直角坐标系A-*yz.设AB=1，则B0，1，0，D (1， 0， 0 ) ，E ( 0， 0， 1 )， C ( 1， 1， 0 ).因为FA=FE， AEF = 45，所以AFE= 90.从而，.所以，设平面BDF的一个法向量为，并设=*，y，z.，由 得取y=1，则*=1，z=3.从而.由AE平面ABCD可知，平面ABD的一个法向量为，设平面和平面的夹角为，则.12.【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设为单位长，则=，=.连结，在平面BB1D1D，延长DP，交于
7、点H，设=( m 0 )， 由条件知 = 60.由=|cos ，可得2m =.解得m =.所以=.因为cos=，所以=，即与所成的角的大小是45.因为平面的一个法向量是，又cos=，所以=. 即与平面所成角的大小为60.注意：由于点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线D1B上且PDA=60，直接设点P的坐标则会出现多个变量，因为所求的两问都是求与DP相关的角度问题，因此根据点P的位置特征只确定DP所在的直线的位置即可，因此出现上面解法. 显然尽管求解过程是用向量的坐标方法，但空间想象与思辨论证的要求并没有降低，表达了对学生全面的几何方法的考察.13.【解析】如图，以为坐标原点，建立如图
8、的空间直角坐标系.设平面的法向量为，则由得令，得.同理，可求得平面的法向量.因为，所以平面与平面垂直.所以平面与平面的夹角.14.【解析】15.【解析】()延长AD，BE，CF相交于一点K，如下图因为平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以BFAC又因为EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK所以BF平面ACFD()方法一：过点F作FQAK，连结BQ因为BF平面ACK，所以BFAK，则AK平面BQF，所以BQAK所以，BQF是二面角B-AD-F的平面角在RtACK中，AC3，CK2，得在RtBQF中，得所以，二面角B-AD-F的平面角的余弦值为方法二：如图，延长AD，BE，CF相交于一点K，则BCK为等边三角形取BC的中点O，则KOBC，又平面BCFE平面ABC，所以，KO平面ABC以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为*，z的正方向，建立空间直角坐标系O*yz由题意得，因此，设平面ACK的法向量为，平面ABK的法向量为，由，得，取；由，得，取于是，所以，二面角B-AD-F的平面角的余弦值为. z.
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