微积分的基本运算

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1、第4章 微积分的基本运算本章学习的主要目的：1 复习高等数学中有关函数极限、导数、不定积分、定积分、二重积分、级数、方程近似求解、常微分方程求解的相关知识.2通过作图和计算加深对数学概念：极限、导数、积分的理解.3 学会用MatLab软件进行有关函数极限、导数、不定积分、级数、常微分方程求解的符号运算；4了解数值积分理论,学会用MatLab软件进行数值积分;会用级数进行近似计算.1 有关函数极限计算的MatLab命令 (1)limit(F,x,a) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的极限 (2)limit(F,a) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于a的极限 (3)limit

2、(F) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于0的极限52 / 36 (4)limit(F,x,a,left) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的左极限 (5)limit(F,x,a,right) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的右极限注:使用命令limit前,要用syms做相应符号变量说明.例7 求下列极限(1)在MatLab的命令窗口输入:syms xlimit(cos(x)-exp(-x2/2)/x4,x,0)运行结果为ans =-1/12理论上用洛必达法则或泰勒公式计算该极限:方法1 方法2 (2) %自变量趋于无穷大,带参数t在MatLab的命令窗口输入:syms

3、x tlimit(1+2*t/x)(3*x),x,inf)运行结果为ans =exp(6*t)理论上用重要极限计算:(3) %求右极限在MatLab的命令窗口输入:syms x limit(1/x,x,0,right)运行结果为ans = inf2 有关函数导数计算的MatLab命令(1)diff(F,x) 表示表达式F对符号变量x求一阶导数，允许表达式F含有其他符号变量，若x缺省，则表示对由命令syms定义的变量求一阶导数。(2)diff(F,x,n) 表示表达式F对符号变量x求n阶导数。例10 求下列函数的导数（1） 已知,求；在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:syms x y=x

4、*asin(x/2)+sqrt(4-x2)diff(y,x) %执行结果ans = asin(1/2*x)与理论推导完全吻合。diff(y,x,3) %执行结果ans = 1/(4-x2)(3/2)*x与理论推导完全吻合。（2） 已知,求在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:syms x y zz=x2*sin(2*y);diff(z,x) %执行结果ans =2*x*sin(2*y)diff(z,x,2) %执行结果ans =2*sin(2*y)diff(diff(z,x),y) %执行结果ans =4*x*cos(2*y)（3） 已知,求 (复合函数求导偏导数)在MatLab的命令窗口

5、输入如下命令序列:syms x y z uz=x2+y2;u=(x-y)z;diff(u,x) %执行结果 (x-y)(x2+y2)*(2*x*log(x-y)+(x2+y2)/(x-y)diff(u,y,2) %执行结果(x-y)(x2+y2)*(2*y*log(x-y)-(x2+y2)/(x-y)2+(x-y)(x2+y2)*(2*log(x-y)-4*y/(x-y)-(x2+y2)/(x-y)2)diff(diff(u,x),y) %执行结果 (x-y)(x2+y2)*(2*y*log(x-y)-(x2+y2)/(x-y)*(2*x*log(x-y)+(x2+y2)/(x-y)+(x-y

6、)(x2+y2)*(-2*x/(x-y)+2*y/(x-y)+(x2+y2)/(x-y)2)3 极值问题MatLab软件提供了求一元和多元函数极值问题的命令：fmin(f,x1,x2) 求函数f(x)在x1xN时有.图22 图232 在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:clfsubplot(1,2,1)hold ongrid onfplot(x.*x,1,3)观察函数图24, 当时,的极限是 subplot(1,2,2)hold ongrid onfplot(x.*x,1.9,2.1)fplot(4.001, 1.9,2.1)fplot(3.999, 1.9,2.1)axis(1.999

7、7,2.0005,3.9989,4.0011) % 调整显示图形的范围是该实验的重点观察图25,当时, 取 ,使当时,?图24 图253 在MatLab的命令窗口输入:syms xlimit(2.x-log(2.x)-1)./(1-cos(x),x,0)运行结果为ans = 理论上用洛必达法则计算该极限:= 4 在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:（1）syms xy=sqrt(x+2)*(3-x)4/(x+1)5diff(y,x) 求一阶导数运行结果 x=1;eval(y) 求导数在x1处的值运行结果 = （2）syms xy=exp(x)*cos(x)diff(y,x,4) 求运行结

8、果 = （3）已知,求在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:syms x y zz=log(x+y2)*xydiff(z,x) 运行结果 diff(z,x,2) 运行结果 diff(diff(z,x),y)运行结果 5 （1）作函数f(x)的曲线，求f(x)的零点。在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:syms xy=x2*sin(x2-x-2);d1=diff(y,x) % 求一阶导数d2=diff(d1,x) % 求二阶导数 subplot(1,3,1)hold on grid on ezplot(y,-2 2) %作函数f(x)的曲线title(f(x)下面用作图观察法求函数f（

9、x）的各零点：观察图26，可知函数f(x)在区间-2,2上有4个零点，分别为-1，0，2，还有一个零点位于区间-2,1上，下面通过不断缩小零点的取值范围，在区间-2,1上求函数f（x）的零点，输入命令序列：axis(-2,-1.5,-0.1,0.1) 见图27axis(-1.9,-1.8,-0.01,0.01) %见图28 axis(-1.85,-1.8,-0.001,0.001) %见图29axis(-1.84,-1.82,-0.001,0.001) %见图30axis(-1.825,-1.82,-0.001,0.001) %见图31axis(-1.823,-1.821,-0.001,0.0

10、01) %见图32axis(-1.822,-1.8215,-0.001,0.001) %见图33axis(-1.8218,-1.8216,-0.0001,0.0001) %见图34图26图27图28用作图法得零点的近似值为： 图29 图30 图31 图32 图33 图34 方法2在区间-2,-2上用求根公式求零点，在命令窗口输入如下命令：f1=char(y);fzero(f1,-2)运行结果得近似零点为 fzero(f1,-1)运行结果 fzero(f1,0)运行结果 fzero(f1,2)运行结果 比较作图法和求根公式法，结论是 。（2）作函数一阶导数的曲线，求驻点。在MatLab的命令窗口

11、输入如下命令序列:subplot(1,3,2)hold on grid on ezplot(d1,-2,2)title (一阶导数f(x)观察图36，可知一阶导数在区间-2,2有4个零点，近似值为-1.5,-0.8,0,1.5,下面用求根公式计算较精确的零点值，输入命令：f2=char(d1);x=fzero(f2,-1.5)eval(y)运行结果，记该零点为x1 ，f(x1)= x=fzero(f2,-0.8)eval(y)运行结果，记该零点为x2 ，f(x2)= x=fzero(f2,0) eval(y)运行结果，记该零点为x3 ，f(x3)= x=fzero(f2,1.5) eval(y

12、)运行结果，记该零点为x4 ，f(x4)= 根据函数单调性与一阶导数的关系，可得函数f(x)的单增区间为 ，单减区间为 。根据函数图形，可判别函数的极大值点为 ，极小值点为 。图35 图36 图37（3）作函数二阶导数的曲线，求拐点。在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:subplot(1,3,3)hold on grid on ezplot(d2,-2,2) title (二阶导数f(x) )观察图37，可知二阶导数在区间-2,2有4个零点，近似值为-1.9,-1.3,0.5,1.2,下面用求根公式计算较精确的零点值，输入命令：f3=char(d2);x=fzero(f3,-1.9)ev

13、al(y)运行结果，记该零点为x5 ，f(x5)= x=fzero(f3,-1.3)eval(y)运行结果，记该零点为x6 ，f(x6)= x=fzero(f3,0.5) eval(y)运行结果，记该零点为x7 ，f(x7)= x=fzero(f3,1.2) eval(y)运行结果，记该零点为x8 ，f(x8)= 根据函数凹凸性与二阶导数的关系，可得函数f(x)的凹区间为 ，凸区间为 。根据函数图形37，可判别函数的拐点为 。6 使用MatLab软件求下列积分：（1） (2) (3)在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:（1）syms x;y=x*cos(x)*(sin(x)(-3);in

14、t(y)运行结果:ans = (2) syms x;y=x*exp(x)*(exp(x)1)(-2);int(y)运行结果:ans = （3）syms x;y= exp(2*x)*cos(x);int(y,0,pi/2)运行结果:ans = (4) quad(exp(-x.2),0,1)运行结果:ans = 7,其中D是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.具体步骤如下:(1)划定积分区域: ezplot(x2+y2-1,0,1,0,1) 结果如图38,D为积分区域. (2)化二重积分为累次积分 . 图38在MatLab的命令窗口输入如下命令 syms x y zz=x2+y2;dx1=

15、int(z,y,0,sqrt(1-x2);jf=int(dx1,0,1);结果为:jf = 8用MatLab创建函数pii.m文件实现方法i对进行近似, n代表展开阶数,function zhi=pi1(n)syms x s tt=atan(x);s=taylor(t,n);x=1;zhi=4*eval(s);function zhi=pi2(n)syms x tt=1/(2*x-1)2;zhi=symsum(t,1,n);function zhi=pi3(n)syms x tt=(-1)(x-1)/x2;zhi=sqrt(12*symsum(t,x,1,n);function zhi=pi4

16、(n)syms x tt=(-1)(x-1)/(2*x-1)3;zhi=(32*symsum(t,x,1,n)(1/3);function zhi=pi5(n)syms x tt=sin(2*x-1)/(2*x-1)3;zhi1=8*symsum(t,x,1,n);zhi=(1+sqrt(1+4*zhi1)/2;function zhi=pi6(n)syms x tt=(-1)(x-1)/(2*x-1)*5(2*x-1);zhi1=symsum(t,x,1,n);t=(-1)(x-1)/(2*x-1)*239(2*x-1);zhi2=symsum(t,x,1,n);zhi=16*zhi1-4*

17、zhi2;在MatLab命令窗口输入format longpipi1(10)pi1(100)pi1(1000)pi2(10)numeric(ans) %把结果由分式表达形式变成小数形式pi2(100)numeric(ans)pi2(1000)numeric(ans)pi3(10) numeric(ans)pi3(100)numeric(ans)pi3(1000)numeric(ans)pi4(100) numeric(ans)pi4(1000)numeric(ans)pi4(100)numeric(ans)pi5(1000)numeric(ans)pi5(100)numeric(ans)pi5(1000)numeric(ans)pi6(10)numeric(ans)pi6(100)numeric(ans)pi6(1000)numeric(ans)执行结果填入下表: 的准确值为: n方法101001000pi1pi2pi3pi4pi5pi6观察以上数据得知: 9在MatLab命令窗口输入syms x diff_equ=x*Dy=y*log(y/x);y=dsolve(diff_equ, y(10)=1, x)解得结果为: 友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。