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1、2008040514.2 14.2 复合函数微分法复合函数微分法证证一、链式法则一、链式法则 ( ( Chain Rule ) )，获得增量获得增量设设tt 导导， 且其导数可用下列公式计算：且其导数可用下列公式计算： dtdvvzdtduuzdtdz 22)()(),(vuvuvvzuuzz 当当0 u，0 v时，时，tvvztuuztz . 0),( vu tvuvu 22)()(),( 当当0 t时，时， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv , 0)()(| ),(lim)()(),(lim 220220 ttvtutvutvuvutt 而而.lim0dtdvvzdtduuzt
2、zdtdzt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz 上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：).,(),(yxyxfz ),(),(yxyxfz ,zzuzvxu xv x yvvzyuuzyz 且且函函数数),(vufz 在在对对 应点应点),(vu可微，可微，uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv zwvuyxxwwzxvvzxuuzxz ywwzyvvz
3、yuuzyz 且且可可用用下下列列公公式式计计算算 类似地，类似地， 可微，可微， 121212121,.,.,.,1,2,3.,.,1,2,3,. .mmknnmkkikif u uuu uuux xxkmx xxuffinxux 在在可可微微, , 在在可可微微元函数的链式求导法则元函数的链式求导法则n特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(
4、yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类似多重复合函数的求导：多重复合函数的求导：, , , ,uf x y z txz syx s tzs t求求,tsu uuxyztzsxstststzsstf stfffuxzssyxzsxsszsffffuxztyxzttztt 注注: 定理中条件的说明定理中条件的说明),(),(yxyxfz 如果仅仅是为了求如果仅仅是为了求0(0,0)00(0,0)0.tttdzzdxzdydtxdtydt2222222,0( , )0, = 0 x yxyxyzf x yxy 例如例如(0,0)(0,
5、0)0,xyff( , ) (0,0).f x y 在在不不可可微微 ,xt yt如如 ( )( , ),2tzF tf t t有有1,2dzdt .,tan,sin,lnarctan1dtdztytxyxz求求设设例例 解解dtdyyzdtdxxzdtdz tytx22sec1cos11 .2sin2sin1cos2ttt xytz例例 2 2 设设vezusin ，而而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz .解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cos()sin(yxyxyexy yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cos()sin
6、(yxyxxexy uvxzytzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 解解uvtztt二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性dxxvvzxuuz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvz全微分形式不变性的实质全微分形式不变性的实质： 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、duuz .dvvz 解解sin , , .uzev uxy vxy令令 sincosuuuvdzz duz
7、 dvevduevdv,duydxxdy xz yz dvdxdy sin()cos() sin()cos()xyxydzeyxyxy dxexxyxy dy= sin()cos()xyeyxyxy= sin()cos()xyexxyxy1、链式法则、链式法则2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）三、小结三、小结设设),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，则则xfdxdvvfdxduufdxdz ，试试问问dxdz与与xf 是是否否相相同同？为为什什么么？思考题思考题作业作业 习题集习题集14-214-2 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5 5(2,3,4,5),(2,3,4,5), 7. 7.思考题解答思考题解答不相同不相同.等式左端的等式左端的z是作为一个自变量是作为一个自变量x的函数，的函数，而而等等式式右右端端最最后后一一项项f是是作作为为xvu,的的三三元元函函数数， 写出来为写出来为 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf
数学分析教学课件：14-2
