利用导数判断函数的单调学习教案

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1、会计学1利用导数判断利用导数判断(pndun)函数的单调函数的单调第一页，共19页。（4）.对数函数对数函数(du sh hn sh)的导数的导数:.1)(ln)1(xx .ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数指数函数(zh sh hn sh)的导数的导数:.)()1(xxee ).1, 0(ln)()2( aaaaaxx xxcos)(sin1）（3）.三角函数三角函数(snjihnsh) ： xxsin)(cos2）（1）.常函数：常函数：(C)/ 0, (c为常数为常数)； （2）.幂函数幂函数 ： (xn)/ nxn 1一复习回顾：一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式基本初

2、等函数的导数公式第1页/共18页第二页，共19页。（1）函数）函数(hnsh)的和或差的导数的和或差的导数 (uv)/u/v/. （3）函数）函数(hnsh)的商的导数的商的导数 （ ） / = (v0)。uv2u vv uv（2）函数的积的导数）函数的积的导数 (uv)/u/v+v/u.第2页/共18页第三页，共19页。函数函数(hnsh) y = f (x) 在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，则则 f ( x ) 在在G 上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f

3、( x 1 ) f ( x 2 )，则则 f ( x ) 在在G 上是减函数上是减函数；若若 f(x) 在在G上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x) 在在G上具有严格的单调性。上具有严格的单调性。G 称为称为单调区间单调区间G = ( a , b )二、复习引入二、复习引入:第3页/共18页第四页，共19页。(1)函数的单调函数的单调(dndio)性也叫函数的增减性也叫函数的增减性；性； (2)函数的单调函数的单调(dndio)性是对某个区间而言的，它是个局部概性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量

4、单调区间：针对自变量x而言的。而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增若函数在此区间上是增函数，则为单调递增(dzng)区间区间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 以前以前,我们用定义来判断函数的单调性我们用定义来判断函数的单调性.在假设在假设x1x2的前提的前提下下,比较比较f(x1)0 时时,函数函数y=f(x) 在区间在区间(2, +)内为增函内为增函数数. y 在区间在区间(-,2)内内,切线的斜切线的斜率为负率为负,函数函数y=f(x)的值随着的值随着x的增大而减小的增大而减小,即即 0f (x)0,那么函数那么函数y

5、=f(x) 在为这在为这个区间内个区间内 的增函数的增函数;如果如果(rgu)在这个区间内在这个区间内 0,解得解得x1,因此因此,当当 时时,f(x)是增函是增函数数;), 1( x令令2x-20,解得解得x0,解得解得x3或或x1,因此因此,当当 或或 时时, f(x)是增函数是增函数.), 3( x)1 ,( x令令3x2-12x+90,解得解得1x0得得f(x)的单调递增区间的单调递增区间;解不等式解不等式 0得得f(x)的单调递减区间的单调递减区间.)(xf )(xf 练习练习1 1:求函数求函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间的单调区间.答案答案:递增区间是递增区间是 和和

6、 ;递减区间是递减区间是(-2,1). )2,( ), 1 ( 第10页/共18页第十一页，共19页。第11页/共18页第十二页，共19页。四、综合四、综合(zngh)应用应用:例例1:确定下列确定下列(xili)函数的单调区间函数的单调区间: (1)f(x)=x/2+sinx;解解:(1)函数的定义域是函数的定义域是R,.cos21)(xxf 令令 ,解得解得0cos21 x).(322322Zkkxk 令令 ,解得解得0cos21 x).(342322Zkkxk 因此因此,f(x)的递增区间是的递增区间是: 递减区间是递减区间是:);)(322 ,322(Zkkk ).)(342 ,322

7、(Zkkk 第12页/共18页第十三页，共19页。解解:函数的定义域是函数的定义域是(-1,+),.)1 ( 211121)(xxxxf (2) f(x)=x/2-ln(1+x)+1由由 即即 得得x1., 0)1 ( 210)( xxxf注意到函数的定义域是注意到函数的定义域是(-1,+),故故f(x)的递增的递增(dzng)区间是区间是(1,+);由由 解得解得-1x100,故故f(x)的递减区间是的递减区间是(100,+)., 0)( xf说明说明(shumng):(1)由于由于f(x)在在x=0处连续处连续,所以递增区间可以扩所以递增区间可以扩大大 到到0,100)(或或0,100).

8、(2)虽然在虽然在x=100处导数为零处导数为零,但在写单调但在写单调(dndio)区间时区间时, 都可以把都可以把100包含在内包含在内.第14页/共18页第十五页，共19页。例例2:设设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间恰有三个单调区间(q jin),试试确定确定a的取值的取值 范范 围围,并求其单调区间并求其单调区间(q jin).解解:. 13)(2 axxf若若a0, 对一切实数恒成立对一切实数恒成立,此时此时f(x)只有一只有一个单调区间个单调区间,矛盾矛盾.0)( xf若若a=0, 此时此时f(x)也只有一个单调区间也只有一个单调区间,矛盾矛盾. , 01)( xf若若a0,则

9、则 ,易知此时易知此时f(x)恰有三个单调区间恰有三个单调区间.)31)(31(3)(axaxaxf 故故a()0只是函数只是函数f(x)在该区间在该区间 上为增上为增(减减)函数的充分不必要条函数的充分不必要条件件.)(xf 第16页/共18页第十七页，共19页。6.利用导数利用导数(do sh)的符号来判断函数的单调区间的符号来判断函数的单调区间,是导数是导数(do sh)几何几何 意义在研究曲线变化规律的一意义在研究曲线变化规律的一个应用个应用,它充分体现了数形结合的思想它充分体现了数形结合的思想.5.若函数若函数f(x)在开区间在开区间(a,b)上具有单调性上具有单调性.则当函数则当函

10、数f(x) 时在闭区间时在闭区间a,b上连续上连续(linx),那么单调区间那么单调区间可以扩大到闭区间可以扩大到闭区间a,b上上.4.利用求导的方法可以证明不等式利用求导的方法可以证明不等式,首先要根据题意构造函首先要根据题意构造函数数,再判断所设函数的单调再判断所设函数的单调(dndio)性性,利用单调利用单调(dndio)性的定义性的定义, 证明要证的不等式证明要证的不等式.当函数的单调当函数的单调(dndio)区间与函数的定义域相同时区间与函数的定义域相同时,我们也可用求导的我们也可用求导的方法求函数的值域方法求函数的值域.第17页/共18页第十八页，共19页。NoImage内容(nirng)总结会计学。(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部(jb)概。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间。例2:讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性.。故f(x)在(-,1)和。(3,+)内是增函数,。解:函数的定义域是(-1,+),。求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义 域,。故f(x)的递增区间是(0,100).。五、小结:第十九页，共19页。