辅导讲义：二次函数的图像和性质

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1、-课 题 二次函数的图像和性质教学容一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的构造特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2. 的性质：上加下减。的符号开口方

2、向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3. 的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上*=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下*=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值4. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上*=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下*=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不

3、变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律方法一： 在原有函数的根底上“值正右移，负左移；值正上移，负下移概括成八个字“左加右减，上加下减方法二：沿轴平移:向上下平移个单位，变成或沿轴平移：向左右平移个单位，变成或四、二次函数与的比拟从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中五、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，假设与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点.画草图时应抓住以下几

4、点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.六、二次函数的性质 1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：，为常数，；2. 顶点式：，为常数，；3. 两根式：，是抛物线与轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二

5、次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的左侧总结起来

6、，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异总结： 3. 常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都确定，则这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐

7、标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大小值，一般选用顶点式；3. 抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称即：抛物线绕顶点旋转180关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式

8、是 5. 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线或表达式的抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与轴交点情况：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数： 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根这两点间的距离. 当时，图象与轴只有一个交点； 当时，图象

9、与轴没有交点.当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 3. 二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的最大小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与

10、轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，提醒二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的在联系：二次函数图像参考： 十一、函数的应用【例题精讲】二次函数图像和性质常考考点：考点1、考察二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：以为自变量的二次函数的图像经过原点， 则的值是考点2、综合考察正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系考察两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数的图像在第一、

11、二、三象限，则函数的图像大致是 y y y y 1 1 0 * o-1 * 0 * 0 -1 * A B C D考点3、考察用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。考点4、确定a、b、c的值二次函数：y=a*2+b*+c a,b,c是常数，且a0 a0开口向上，a0开口向下抛物线的对称轴为*=，由图像确定的正负，由a的符号确定出b的符号由*=0时,y=c，知c的符号取决于图像与y轴的交点纵坐标，与y轴交点在y轴的正半轴时，c0，与y轴交点在y轴的负半轴时，c0确定

12、了a、b、c的符号，易确定abc的符号考点5、确定a+b+c的符号*=1时，y=a+b+c，由图像y的值确定a+b+c的符号与之类似的还经常出现判断4a+2b+c的符号易知*=2时，y=4a+2b+c，由图像y的值确定4a+2b+c的符号还有判断ab+c的符号*=1时，y=ab+c等等考点6、与抛物线的对称轴有关的一些值的符号抛物线的对称轴为*=，根据对称性知：取到对称轴距离相等的两个不同的*值时，y值相等，即当*=+m或*=m时，y值相等中考考察时，通常知道*=+m时y值的符号，让确定出*=m时y值的符号考点7、由对称轴*=确实定值判断a与b的关系如：=1能判断出a =0.5 b考点8、顶点

13、与最值假设*可以取全体实数，开口向下时，y在顶点处取得最大值，开口向上时，y在顶点处取得最小值 例1、二次函数的图象如下图，有以下5个结论：；，的实数其中正确的结论有 A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个考点9、图象与*轴交点b2-4ac0，a*2+b*+c=0有两个不相等的实根；b2-4ac0，a*2+b*+c=0无实根；b2-4ac=0，a*2+b*+c=0有两个相等的实根b2-4ac0，抛物线与*轴有两个交点；b2-4ac0，抛物线与*轴没有交点；b2-4ac=0，抛物线与*轴只有一个交点 例2、二次函数与*轴的交点个数是 A0 B1 C2 D3考点10、判断在同一坐标系中两种不同的

14、图形的正误如：在同一种坐标系中正确画出一次函数和二次函数，关键是两个式子中的a、b值应一样 例3、在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为 O*yO*yO*yO*yABCD考点11、能分别判断出在对称轴的左右两侧二次函数y值随*值的变化而变化情况抛物线当开口向上时，在对称轴的左侧二次函数y值随*值的增大而减小，在对称轴的右侧二次函数y值随*值的增大而增大抛物线开口向下时，在对称轴的左侧二次函数y值随*值的增大而增大，在对称轴的右侧二次函数y值随*值的增大而减小 例4、二次函数(a0)的图象经过点(-1，2)，(1，0) . 以下结论正确的选项是( )A. 当*0时，函数值y随*的增大而增大

15、B. 当*0时，函数值y随*的增大而减小C. 存在一个负数*0，使得当* *0时，函数值y随*的增大而增大D. 存在一个正数*0，使得当*0时，函数值y随*的增大而增大考点12、二次函数解析式的几种形式(1)一般式：ya*2+b*+c (a,b,c为常数，a0). (2)顶点式：ya(*-h)2+k(a,h,k为常数，a0). 抛物线的顶点坐标是(h,k)，h0时，抛物线ya*2+k的顶点在y轴上；当k0时，抛物线ya(*-h)2的顶点在*轴上；当h0且k0时，抛物线ya*2的顶点在原点. (3)两根式：ya(*-*1)(*-*2)，其中*1,*2是抛物线与*轴的交点的横坐标，即一元二次方程a

16、*2+b*+c0a0的两个根. 求解析式时假设抛物线过三点坐标一般设成一般式，抛物线过的顶点坐标时设成顶点式，抛物线与*轴的两个交点的横坐标时设成两根式例5、在直角坐标平面，二次函数图象的顶点为，且过点求该二次函数的解析式为考点13、*1、*2两交点间的距离。假设抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故 考点14、韦达定理和跟的判别式在二次函数中的应用：一元二次方程是二次函数的函数值等于零时的特殊情况。有些二次函数问题，可以利用一元二次方程根与系数的关系即韦达定理来解答；一元二次方程根的分布，可以利用二次函数图象直观判定；二次函数的图象与*轴交点、图象的位置，也可以用判别式判断。对于一元二

17、次方程和二次函数，1当0时，方程有两个不等实数根，函数图象与*轴有两个不重合的交点、，并且、具有如下关系：、.这就是一元二次方程的根与系数的关系，简称韦达定理。2当=0时，方程有两个相等的实数根，函数图象与*轴有唯一交点，即图象与*轴相切。3当0，则图象在*轴上方，假设a0时，函数值y随*的增大而增大B. 当*0时，函数值y随*的增大而减小C. 存在一个负数*0，使得当* *0时，函数值y随*的增大而增大D. 存在一个正数*0，使得当*0时，函数值y随*的增大而增大9.二次函数y=a*2+b*+c的图象如下图，并设M|abc|-|abc|2ab|2ab|，则( )A.M0 B.M0 C.M0

18、D.不能确定10. 抛物线的顶点为，的图象经过点，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为_.11.如图，在平而直角坐标系*Oy中，抛物线y=*2+b*+c与*轴交于A、B两点，点A在*轴负半轴，点B在*轴正半轴，与y轴交于点C，且tanACO=，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是 12.二次函数y=a*2+b*+ca0的图象同时满足以下条件：不经过第二象限；与坐标轴有且仅有两个交点这样的二次函数解析式可以是 _13.设抛物线的顶点为P，与*轴交于A、B两点，当PAB为等边三角形时，a的值为_ _.Py*14.1将抛物线y12*2向右平移2个单位，得到抛物线y2的图象，则

19、y2=；2如图，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线*t平行于y轴，分别与直线y*、抛物线y2交于点A、B假设ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t三解答题15.如图，抛物线开口向上，顶点P的横坐标为-1，图像与*轴的两个交点A、BA在左边间的距离为4，且APB=90，求抛物线的解析式.16.：二次函数为y=*2*+m，1m为何值时，顶点在*轴上方，2假设抛物线与y轴交于A，过A作AB*轴交抛物线于另一点B，当SAOB=4时，求此二次函数的解析式17.,如图,二次函数图象的顶点为,与轴交于、两点(在点右侧),点、关于直线:对称.(1)求A、B两点坐标,并证明

20、点A在直线l上;(2)求二次函数解析式.18.二次函数(1) 随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在*条抛物线上.如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由(2) 如果直线经过二次函数图象的顶点P，求此时m的值19.：关于的一元二次方程m为实数1假设方程有两个不相等的实数根，求的取值围；2在1的条件下，求证：无论取何值，抛物线总过轴上的一个固定点；3假设是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，把抛物线向右平移3个单位长度，求平移后的解析式20、二次函数y=a*2+b*+c的图象经过点A2，4，其顶点横坐标为，且()2-=13 1求此二次函数的解析式； 2抛物线与*轴交于B，C两点，在*轴上方的上，是否存在点P，使得SABC=2SPBC，如存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；如不存在，请说明理由20题图21.如图，抛物线的顶点坐标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两点点A在点B的右侧，点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动点P与A不重合，过点P作PD轴，交AC于点D(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在问题(2)的结论下，假设点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形.假设存在，求点F的坐标；假设不存在，请说明理由. z.