概率论与数理统计课后答案

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1、经济数学基础课后答案(概率统计第三分册) 完整的答案 完整的答案隐藏 窗体顶端窗体底端习 题 一 1.写出下列事件的样本空间： (1) 把一枚硬币抛掷一次； (2) 把一枚硬币连续抛掷两次； (3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止； (4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为 M). 解 (1) =正面，反面 正，反 (2) =(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反) (3) =(正)，(反，正)，(反，反，正)， (4) =x；0 x m. 2.掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件 A“偶数点”， B“奇数点”，C“点数小于 5”，D“小于 5 的偶数点”，讨论上述 各

2、事件间的关系. = ,2,3,4,5,6, A = 2,4,6, B = ,3,5, C = ,2,3,4, D = 2,4. 1 1 1 解 A 与 B 为对立事件，即 B A ；B 与 D 互不相容；A ? D，C ? D. 3. 事件 Ai 表示某个生产单位第 i 车间完成生产任务，i1，2，3，B 表示至少 有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事 件 B 及 BC 的含义，并且用 Ai(i1，2，3)表示出来. 解 B 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任 务. BC 表示三个车间都完成生产任务 4. 如图 11，事件 A、B、C

3、 ABC，ACB，CAB 用 解 A + B = A + AB 图 11 B = A1 A2 + A2 A3 + A1 A3 B = A1 A2 A3A1 A2 A3A1 A2 A3A1 A2 A3 C = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 都相容，即 ABC，把事件 AB， 一些互不相容事件的和表示出来. A + B + C = A + AB + A BC B ? C = A1 A2 A3 AC + B = B + ABC 5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明

4、. 解 两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发 生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不 一定同时不发生. 在本书第 6 页例 2 中 A 与 D 是对立事件， 与 D 是互不相容事 C 件. 6.三个事件 A、B、C 的积是不可能事件，即 ABC，问这三个事件是否一定 互不相容?画图说明. 解 不一定. A、B、C 三个事件 互不相容是指它们中任何两个 事件均互不相容， 即两两互不相 容.如图 12，事件 ABC， 但是 A 与 B 相容. AB，DA+B，FAB. 说明事7. 事件 A 与 B 相容，记 C 图 12 件 A、C、D、F

5、 的关系. C ? AB = A BC + ABC + ABC 2 解 由于 AB ? A ? A+B， AB ? A ? A+B， 与 AB 互不相容， AAB(AB). 因 AB 且 此有 AC+F，C 与 F 互不相容， 8. 袋内装有 5 个白球，3 个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不 同的概率. 解 记事件 A 表示“取到的两个球颜色不同”. 则有利于事件 A 的样本点数目 2 A C51C31 .而组成试验的样本点总数为 C5+3 ，由古典概率公式有 D ? A ? F，A ? C. P(A) # A = #? 1 1 C5C3 15 = C82 28 (其中A， 分别

6、表示有利于 A 的样本点数目与样本空间的样本点总数， 余下同) 9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率. 解 设事件 B 表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件 B 的样本点数为 B = C52 . P( B) = 1P( B) = 1 ? C52 9 = 2 C8 14 10. 抛掷一枚硬币，连续 3 次，求既有正面又有反面出现的概率. “三次中既有正面又有反面出现” 则 A 表示三次均为正面或 , 解 设事件 A 表示 三次均为反面出现. 而抛掷三次硬币共有 8 种不同的等可能结果，即8， 因此 P ( A) = 1 ? P( A) = 1 ? A 2 3 = 1? = #? 8 4

7、 11. 10 把钥匙中有 3 把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率. 解 设事件 A 表示 “门锁能被打开” 则事件 A 发生就是取的两把钥匙都不能打 . 开门锁. P( A) = 1 ? P( A) = 1 ? C2 8 A = 1 7 = 2 ? C10 15 从 9 题11 题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较 方便. 12. 一副扑克牌有 52 张，不放回抽样，每次一张，连续抽取 4 张，计算下列事 件的概率： (1)四张花色各异； (2)四张中只有两种花色. 解 设事件 A 表示“四张花色各异” B 表示“四张中只有两种花色”. ； # 4 1 1 1

8、 1 = C52， A = C13C13C13C13， # 2 1 3 1 2 2 # B = C（C 2 C13C13C13C13 ） 4 P( A) = P( B) = # A 134 = 4 = 0.105 # C52 # B 6 74366048 （ ） = = 0 . 300 4 # C52 13. 口袋内装有 2 个伍分、3 个贰分，5 个壹分的硬币共 10 枚，从中任取 5 枚， 3 解 求总值超过壹角的概率. 设事件 A 表示“取出的 5 枚硬币总值超过壹角”. # 1 = C 10 ， C 2 C83C 2 3 C5C 32 C52 ) #A (C 3 1 2 5 A 126

9、 P( A) 0.5 252 14. 袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下 列事件的概率： A“三次都是红球” “全红” B“全白” ， ， C“全黑” D“无红” E“无白” ， ， ， F“无黑” G“三次颜色全相同” ， ， H“颜色全不相同” I“颜色不全相同”. ， 3 解 3 27，ABC1， DEF238， GABC3， H3！6，IG24 P ( A) = P ( B ) = P (C ) = P ( D) = P ( E ) = P ( F ) = 1 27 8 27 P(G ) = 3 1 6 2 24 8 = , P( H ) = = , P(

10、 I ) = = 27 9 27 9 27 9 15. 一间宿舍内住有 6 位同学，求他们中有 4 个人的生日在同一个月份的概率. 解 设事件 A 表示“有 4 个人的生日在同一个月份”. 1 126，A C64C12112 P( A) = # A 21780 0.0073 # 12 6 16. 事件 A 与 B 互不相容，计算 P ( A + B) . 解 由于 A 与 B 互不相容，有 AB，P(AB)0 17. 证 P( A + B) = P( AB) = 1 ? P( AB) = 1. 设事件 B ? A，求证 P(B)P(A）. B ? A P(B-A)P(B) - P(A) P(B

11、-A)0 P(B)P(A) 18. 已知 P(A)a，P(B)b，ab0 (b0.3a)， P(AB)0.7a，求 P(B+A)，P(B-A)，P( B A ). 解 由于 AB 与 AB 互不相容，且 A(A-B)AB，因此有 P(AB)P(A)-P(A-B)0.3a P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.7ab P(B-A)P(B)-P(AB)b-0.3a P( B A )1-P(AB)1-0.3a 19. 50 个产品中有 46 个合格品与 4 个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品 的概率. ，则 A 表示没有取到废品，有利于事件 A 的样本 解 设事件 A 表示“取到废品” 4 3

12、 点数目为 A C46 ，因此 P(A)1-P( A )1- A 1 C46 3 3 C50 0.2255 20. 已知事件 B ? A，P(A)lnb 0，P(B)lna，求 a 的取值范围. 解 因 B ? A，故 P(B)P(A)，即 lnalnb, ? ab，又因 P(A)0，P(B)1， 可得 b1，ae，综上分析 a 的取值范围是： 1bae 21. 设事件 A 与 B 的概率都大于 0，比较概率 P(A)，P(AB)， P(A+B)，P(A)+P(B)的大小(用不等号把它们连接起来). 解 由于对任何事件 A，B，均有 AB ? A ? A+B 且 P(A+B)P(A)P(B)-

13、P(AB)，P(AB)0，因此有 P(AB)P(A)P(A+B)P(A)P(B) 22. 一个教室中有 100 名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一 年以 365 天计算). 解 设事件 A 表示“100 名学生的生日都不在元旦” ，则有利于 A 的样本点数目 为 A 3 6 4 1 0 0 ， 而 样 本 空 间 中 样 本 点 总 数 为 365100，所求概率为 P( A) = 1 ? P( A) = 1 ? #A 364100 = 1? #? 365100 = 0.2399 23. 从 5 副不同手套中任取 4 只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率. 解 设事件 A

14、 表示“取出的四只手套至少有两只配成一副” ，则 A 表示“四只手 套中任何两只均不能配成一副”. P ( A) = 1 1 1 1 # A C54C2C2C2C2 80 = = 4 # C10 210 24. 某单位有 92的职工订阅报纸，93的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中 仍有 85的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率： (1)该职工至少订阅一种报纸或期刊； (2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸. 解 设事件 A 表示“任找的一名职工订阅报纸” B 表示“订阅杂志” ， ，依题意 P(A)0.92，P(B)0.93，P(B A )0.85 P(AB)P(A)P( A B)

15、P(A)P( A )P(B A ) 0.920.080.850.988 P(A B )P(AB)-P(B)0.9880.930.058 25. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件 A 表示数学 成绩优秀， 表示外语成绩优秀， P(A)P(B)0.4， (AB)0.28， P(A B 若 P 求 B)，P(BA)，P(AB). 解 P(AB) P( AB) = 0.28 = 0.7 P( B) 0 .4 P(BA) P( AB) = 0.7 P ( A) P ( A) = 1 ? P ( A) = 0.62 P(AB)P(A)P(B)-P(AB)0.52 26. 设 A、B

16、 是两个随机事件. 0P(A)1，0P(B)1， 5 P(AB)P( A B )1. 求证 P(AB)P(A)P(B). 证 P ( A B )P ( A B )1 且 P ( AB )P( A B )1 P ( AB )P (A B ) P ( AB ) P ( A B ) P ( A) ? P ( AB ) = = P( B) 1 ? P( B) P( B) P(AB)1-P(B)P( B)P( A)-P( AB)整理可得 P(AB)P( A) P( B) 27. 设 A 与 B 独立，P( A)0.4，P( AB)0.7，求概率 P (B). 解 P( AB)P(A)P( A B)P(

17、A)P( A ) P( B) ? 0.70.40.6P( B ) ? P( B )0.5 28. 设事件 A 与 B 的概率都大于 0，如果 A 与 B 独立，问它们是否互不相容，为 什么? 解 因 P ( A )，P ( B )均大于 0，又因 A 与 B 独立，因此 P ( AB )P ( A ) P ( B )0，故 A 与 B 不可能互不相容. 29. 某种电子元件的寿命在 1000 小时以上的概率为 0.8，求 3 个这种元件使用 1000 小时后，最多只坏了一个的概率. ， 解 设事件 Ai 表示“使用 1000 小时后第 i 个元件没有坏” i1，2，3，显然 A1，A2，A3

18、相互独立，事件 A 表示“三个元件中最多只坏了一 个” 则 AA1A2A3 A1 A2A3A1 A2 A3A1A2 A3 ， ， 上面等式右边是四个两两互不相容事 件的和，且 P(A1)P(A2)P(A3)0.8 P( A) P( A1 )3 + 3P( A1 )2 P( A1 ) 0.8330.820.2 0.896 30. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别 为 0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关， 求零件的合格率. 解 设事件 A 表示“任取一个零件为合格品” ，依题意 A 表示三道工序都合格. P(A)(10.3)(10

19、.2)(10.2)0.448 31. 某单位电话总机的占线率为 0.4，其中某车间分机的占线率为 0.3，假定二 者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打 通的概率以及第 m 次才能打通的概率(m 为任何正整数). 解 设事件 Ai 表示“第 i 次能打通” i1，2，m，则 ， P(A1)(10.4)(10.3)0.42 P(A2)0.58 0.420.2436 P(Am)0.58m1 0.42 32. 一间宿舍中有 4 位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼 镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率. 解 设 Ai 表示“第 i 人拿到自己眼镜”，i1,2

20、,3,4. P ( Ai ) 1 ，设事件 B 4 表示 “每个人都没有拿到自己的眼镜”. 显然 B 则表示 “至少有一人拿到自己的 眼镜”. 且 B A1A2A3A4. P( B )P(A1A2A3A4) 4 p( Ai ) ? P( Ai Ai ) + P( Ai A j Ak ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) i =1 1ij 4 1ijk 4 6 P(AiAj) = P(Ai)P(AjAi) =11 = 4 3 1 (1 ij 4) 12 P(AiAjAk)=P(Ai)P(AjAi)P(AkAiAj) = 1 1 1 = 1 （1ijk4） P(A1A2A3A4) =P(A1)

21、P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(A4A1A2A3) 4 3 2 1 1 1 1 5 2 3 P ( B ) = 4 ? C 4 + C4 ? = 4 12 24 24 8 3 P( B) = 1 ? P( B) = 8 4 3 2 24 = 1 1 1 1 = 1 24 33. 在 1，2，3000 这 3000 个数中任取一个数，设 Am“该数可以被 m 整 除”，m2，3，求概率 P(A2A3)，P(A2A3)，P(A2A3). 解 依题意 P(A2) 1 ，P(A3) 1 2 3 P(A2A3)P(A6) 1 6 P(A2A3)P(A2)P(A3)P(A2A3) 1+1?1 =

22、 2 2 3 6 3 2 6 3 P(A2A3)P(A2)P(A2A3) 1 ? 1 = 1 34. 甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为 0.8， 0.7，0.6，计算下列事件的概率： (1)只有一人投中； (2)最多有一人投中； (3)最少有一人投中. 解 设事件 A、B、C 分别表示“甲投中”“乙投中”“丙投中” 、 、 ，显然 A、B、C 相互独立.设 Ai 表示“三人中有 i 人投中” i0,1,2,3,依题意， ， P( A0 ) = P( A B C ) = P( A) P( B ) P(C ) P ( A3 )=P ( ABC )=P ( A ) P (

23、 B ) P ( C ) =0.80.70.6 = 0.336 P(A2)=P(AB C )P(A B C)P( A BC) =0.80.70.40.80.30.60.20.70.6 = 0.452 (1) P(A1)1P(A0)P(A2)P(A3) 10.0240.4520.3360.188 (2) P(A0A1)P(A0)P(A1)0.0240.1880.212 (3) P(ABC)P( A0 )1P (A0)0.976 35. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为 0.4 及 0.5，问 谁先投中的概率较大，为什么? 解 设事件 A2n-1B2n 分别表示“甲在第 2n1

24、 次投中”与“乙在第 2n 次投中” ，显然 A1，B2，A3，B4，相互独立.设事件 A 表示“甲先投中”. P( A) = P( A1 ) + P( A1 B 2 A3 ) + P( A1 B 2 A3 B 4 A5 ) + = 0.40.6 0.5 0.4(0.6 0.5) 2 0.4 = 0.20.30.4 = 0.024 7 = 计算得知 P(A)0.5，P( A )0.5，因此甲先投中的概率较大. 36. 某高校新生中，北京考生占 30，京外其他各地考生占 70，已知在北京学生 中，以英语为第一外语的占 80，而京外学生以英语为第一外语的占 95， 今从全校新生中任选一名学生，求该

25、生以英语为第一外语的概率. 解 设事件 A 表示“任选一名学生为北京考生” B 表示“任选一名学生，以英 ， 语为第一外语”. 依题意 P(A)0.3，P( A )0.7，P(BA)0.8，P(B A ) 0.95. 由全概率公式有 P(B)P(A)P(BA)P( A )P(B A ) 0.30.80.70.950.905 37. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为 9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为 4，2， 5，求 A 地的甲种疾病的发病率. 解 设事件 A1，A2，A3 分别表示从 A 地任选一名居民其为南、北、中行政小

26、区， 易见 A1，A2，A3 两两互不相容，其和为 .设事件 B 表示“任选一名居民其患 有甲种疾病” ，依题意： P(A1)0.45，P(A2)0.35，P(A3)0.2， P(BA1)0.004，P(BA2)0.002，P(BA3)0.005 3 P( Ai ) P( B | Ai ) i =1 0 .4 4 = 1 ? 0 .3 7 0.45 0.004 + 0.35 0.002 + 0.2 0.005 0.0035 38. 一个机床有三分之一的时间加工零件 A，其余时间加工零件 B，加工零件 A 时，停机的概率为 0.3，加工零件 B 时停机的概率为 0.4，求这个机床停机 的概率.

27、解 设事件 A 表示“机床加工零件 A” ，则 A 表示“机床加工零件 B” ，设事件 B 表示“机床停工”. P ( B ) = P ( A ) P ( B | A) + P ( A ) P ( B | A) 1 2 = 0.3 + 0.4 = 0.37 3 3 39. 有编号为、的 3 个口袋，其中号袋内装有两个 1 号球，1 个 2 号 球与 1 个 3 号球，号袋内装有两个 1 号球和 1 个 3 号球，号袋内装有 3 个 1 号球与两个 2 号球，现在先从号袋内随机地抽取一个球，放入与球 上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几 号球的概率最大，为什么? 解

28、设事件 Ai 表示“第一次取到 i 号球” Bi 表示第二次取到 i 号球，i1，2， ， 3.依题意，A1，A2，A3 构成一个完全事件组. P ( A1 ) = 1 1 , P ( A2 ) = P ( A3 ) = 2 4 1 1 , P ( B2 | A1 ) = P ( B3 | A1 ) = 2 4 1 1 , P ( B2 | A2 ) = P ( B3 | A2 ) = 2 4 1 1 1 , P ( B2 | A3 ) = , P ( B3 | A3 ) = 2 3 6 P ( B1 | A1 ) = P ( B1 | A2 ) = P ( B1 | A3 ) = 8 应用全

29、概率公式 P( B j ) = P( Ai ) P( B j | Ai ) 可以依次计算出 P( B1 ) = 1 , 3 i =1 2 P ( B2 ) = 13 11 , P( B3 ) = 48 48 . 因此第二次取到 1 号球的概率最大. 40. 接 37 题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为 5(即一个 甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为 5)；对无甲种疾病的人用此 检验法误诊为甲种疾病患者的概率为 1，在一次健康普查中，某人经此检 验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率. 解 设事件 A 表示“受检人患有甲种疾病” B 表示“受检人被查有甲种疾病” ，

30、 ，由 37 题计算可知 P(A)0.0035，应用贝叶斯公式 P( A | B) = P ( A) P ( B | A) P ( A) P ( B | A) + P ( A) P ( B | A) 0.0035 0.95 = 0.0035 0.950.9965 0.01 = 0.25 41. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比 为 5 : 3 : 2，各机床所加工的零件合格率，依次为 94，90，95， 现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概 率. 解 设事件 A1，A2，A3 分别表示“受检零件为甲机床加工”“乙机床加工”“丙 ， ，

31、 机床加工” B 表示“废品” ， ，应用贝叶斯公式有 P( A1 | B) = P( A1 ) P( B | A1 ) i =1 P( Ai ) P( B | Ai ) = 3 0.5 0.06 3 = 0.5 0.060.3 0.10.2 0.05 7 4 P( A1 | B) = 1 ? P( A1 | B) = 7 42. 某人外出可以乘坐飞机、 火车、 轮船、 汽车 4 种交通工具， 其概率分别为 5， 15，30，50，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为 100， 70，60与 90，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率. 解 设事件 A1，A2，A3，A4 分别表示外

32、出人“乘坐飞机”“乘坐火车”“乘坐轮 ， ， 船”“乘坐汽车” B 表示“外出人如期到达”. ， ， P( A2 | B) = P( A2 ) P( B | A2 ) P( Ai ) P( B | Ai ) i =1 4 = 0.15 0.3 0.05 0 + 0.15 0.3 + 0.3 0.4 + 0.5 0.1 =0.209 43. 接 39 题，若第二次取到的是 1 号球，计算它恰好取自号袋的概率. 解 39 题计算知 P(B1) 1 ，应用贝叶斯公式 2 1 1 P( A1 ) P( B1 | A1 ) 2 2 1 P( A1 | B1 ) = = = 1 P( B1 ) 2 2 4

33、4. 一箱产品 100 件，其次品个数从 0 到 2 是等可能的，开箱检验时，从中随 机地抽取 10 件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已 9 知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率. 解 设事件 Ai 表示一箱中有 i 件次品，i0, 1, 2. B 表示“抽取的 10 件中无 次品” ，先计算 P ( B ) 10 10 2 1 C99 C98 P ( B ) = P ( Ai ) P ( B | Ai ) = (1 + 10 + 10 ) i =0 3 C100 C100 1 P( A0 | B) = = 0.37 3P ( B ) 45. 设一条昆虫生产 n

34、个卵的概率为 pn = n n! e ? n=0, 1, 2, 其中 0，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于 p(0p1). 如果卵的 孵化是相互独立的，问此虫的下一代有 k 条虫的概率是多少? 解 设事件 An“一个虫产下几个卵” n0，1，2.BR“该虫下一代有 k 条 ， 虫” k0，1，.依题意 ， P( An ) = pn = n n! e ? 0 ? P( Bk | An ) = ? k k n?k ?Cn p q kn 0k n 其中 q=1p. 应用全概率公式有 P( Bk ) = P ( An ) P( Bk | An ) = P( An ) P( Bk | An ) n =

35、0 n=k = n=l n! ? e p k q n?k n! k !( n ? k ) ! n (p ) k ? (q) n? k e k! n= k (n ? k ) ! 由于 (q) ( q ) n ? k = e q ，所以有 n = k ( n ? k ) ! n ? k =0 ( n ? k ) ! = n?k P( Bk ) = ( p ) k ? q ( p ) p ? p e e = e k! k k = 0, 1, 2,L 10 习 题 二 1. 已知随机变量 X 服从 01 分布，并且 PX00.2，求 X 的概率分布. 解 X 只取 0 与 1 两个值， X0PX0PX

36、00.2， X11PX P P 00.8. 2. 一箱产品 20 件，其中有 5 件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两 次，求取到的优质品件数 X 的概率分布. 解 X 可以取 0, 1, 2 三个值. 由古典概型公式可知 C m C 2? m P X = m = 5 215 (m = 0, 1, 2) C20 依次计算得 X 的概率分布如下表所示： X P 0 21 38 1 15 38 2 2 38 3. 上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为 X 件，求随机变量 X 的概率分布. 解 X 的取值仍是 0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是 1/4，

37、取到非优质 品的概率是 3/4,且各次抽取结果互不影响，应用伯努利公式有 9 ?3? PX = 0 = ? ? = 4 ? 16 ? 6 1 ? 1 ? 3 ? P X = 1 = C 2 ? ? ? = 4 ? 4 ? 16 ? 1 ?1? P X = 2 = ? ? = 4 ? 16 ? 2 2 4. 第 2 题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数 X 的概率分布. 解 X 可以取 1, 2, 可列个值. 且事件X = n表示抽取 n 次，前 n1 次均 未取到优质品且第 n 次取到优质品，其概率为 ? 3 ? ? 1 . 因此 X 的概率分布为 ? ? n ?1 ?

38、4? 4 1?3? P X = n = ? ? 4?4? n ?1 n = 1, 2, 5. 盒内有 12 个乒乓球，其中 9 个是新球，3 个为旧球，采取不放回抽取，每次 一个直到取得新球为止，求下列随机变量的概率分布. (1)抽取次数 X； (2)取到的旧球个数 Y . 解 (1)X 可以取 1, 2, 3, 4 各值. 3 3 9 9 P X =1 = P X = 2 = = 4 12 11 3 2 9 9 P X = 3 = = 12 11 10 220 44 11 P X = 4 = 3 2 1 9 1 = 12 11 10 9 220 (2) Y 可以取 0, 1, 2, 3 各值

39、 . 3 P Y = 0 = P X =1 = 4 9 P Y =1 = P X = 2 = 44 9 P Y = 2 = P X = 3 = 220 1 P Y = 3 = P X = 4 = 220 6. 上题盒中球的组成不变， 若一次取出 3 个， 求取到的新球数目 X 的概率分布. 解 X 可以取 0, 1, 2, 3 各值. C33 1 P X = 0 = 3 = C12 1 9 220 P X = 1 = P X = 2 = P X = 3 = CC 27 = 3 C12 220 1 C92C3 108 = 3 220 C12 3 C9 84 = 3 C12 220 2 3 7.

40、已知 PXnpn，n1, 2, 3, , 求 p 的值. 解 根据 P X = n 1 , 有 n =1 1 = Pn = n=1 p 1? p 解上面关于 p 的方程，得 p0.5. 8. 已知 PXn=pn， n2, 4, 6, ，求 p 的值. 2 解 p2 + p4 + p6 + = p 2 = 1 1? p 解方程，得 p= 2 /2 9. 已知 PXn=cn, n=1, 2, , 100, 求 c 的值. 100 解 1 = cn = c ( 1 + 2 + + 100 ) 5050 c n =1 解得 c1/5050 . 10. 如果 pncn2，n=1, 2, , 问它是否能成

41、为一个离散型概率分布，为什么? 解 pn = c 12 , 由于级数 12 收敛, 若记 12 =a,只要取 c = 1 , 则有 pn =1, 且 n =1 n=1 n n =1 n n =1 n a n =1 pn0. 所以它可以是一个离散型概率分布. 11. 随机变量 X 只取 1, 2, 3 共三个值，其取各个值的概率均大于零且不相等 并又组成等差数列，求 X 的概率分布. 解 设 PX2a，PX1ad, PX=3=a+d. 由概率函数的和为 1，可知 a= 1 , 但是 ad 与 a+d 均需大于零, 3 因此d 1 , X 的概率分布为 3 X 1 2 3 12 P 1 d 3 1

42、 3 3 1 +d 3 其中 d 应满足条件：0d 1 12. 已知 P X 解 m =1 = m = c ? ,m e m! m =1, 2, , 且 0, 求常数 c. 1 = pX = m = cm ? e m =1 m ! = e 由于 m m =0 m ! = 1+ m , 所以有 m =1 m ! 13. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人 投篮的命中率分别为 0.4 及 0.5，求： (1)二人投篮总次数 Z 的概率分布； (2)甲投篮次数 X 的概率分布； (3)乙投篮次数 Y 的概率分布. 解 设事件 Ai 表示在第 i 次投篮中甲投中， 表示在

43、第 j 次投篮中乙投中，=1, 3, j i 5, , j=2, 4, 6,且 A1, B2, A3, B4，相互独立. (1) PZ = 2k ? 1 = pA1 B1 L A 2 k ?3 B 2 k ?2 A2 k ?1 = (0.60.5) k ?1 0.4 = 0.4(0.3) k ?1 k=1, 2, PZ = 2k = p( A1 B1 L A2 k ?3 B 2 k ? 2 A2 k ?1 B2 k ) k = 0.50.6(0.60.5) k ?1 =0.3 k=1, 2, (2) PX = n = pA1 B1 L A2 n?3 B 2n?2 A2 n?1 + p A1 B

44、1 L A 2 n ?3 B 2 n ?2 A2 n?1 B2 n = (0.6 0.5) n?1 (0.4 + 0.6 0.5) = 0.7 0.3n?1 n = 1, 2, K (3) P Y = 0 = P( A1 ) = 0.4 P Y = n = P A1 B1 K A 2 n?1 B2 n + P A1 B1 K A 2 n?1 B 2 n A2 n+1 = (0.6 0.5) n?1 0.6 (0.5 + 0.5 0.4) = 0.42 0.3n?1 n = 1, 2， K cm ? 1 m ! e = c(e ? 1)e ? = c(1 ? e ? ) = 1 m= 1 解得

45、c= 1 ? e ? 14. 一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经 过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为 0.6，遇到红灯或黄灯则停止 前进，其概率为 0.4，求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信 号灯数目 X 的概率分布(不计其他因素停车). 解 X 可以取 0, 1, 2, 3, 4 . P X0 0.4 P X1 0.60.40.24 2 P X2 0.6 0.40.144 P X3 0.630.40.0864 P X4 0.640.1296 15. ?sin x , f ( x) = ? ? 0, x a , b ， 其他 . 13 问 f(x

46、)是否为一个概率密度函数，为什么?如果 (1) a = 0 , b = ; (2) a = 0 , b = ; (3) a = , b = 3 . 2 2 解 在0, 2 与0, 上，sinx0,但是 0 sin xdx 1, ? ? 上,sinx ? ? 3 2 0 sin xdx = 1, 而在 ?, ? 2 0.因此只有(1)中的 a, b 可以使 f (x)是一个 概率密度函数. 16. ?x ? x , ? e 2c f ( x) = ? c ? 0, ? 2 x0 ， x 0. 其中 c0，问 f(x)是否为密度函数，为什么? 解 易见对任何 x( , ) , f ( x ) 0，

47、又 + 0 x ? 2c e dx = 1 c x2 f(x)是一个密度函数 . 17. 解 ?2 x , f ( x) = ? ? 0， ax a + 2. 其他 . 问 f ( x )是否为密度函数，若是，确定 a 的值；若不是，说明理由. 如果 f ( x )是密度函数，则 f ( x )0，因此 a0，但是，当 a0 时， 2 a +2 a 2 dx = x | a = 4 a + 4 4 a+2 由于 + f ? ( x) dx 不是 1，因此 f ( x )不是密度函数. a x + , 其他 . 18. 设随机变量 Xf ( x ) 2 ? , ? f ( x ) = ? ( 1

48、 + x2 ) ? 0, ? 确定常数 a 的值，如果 P a x b 0.5，求 b 的值. 解 + 2 2 2 dx = arctan x = ( ? arctan a) 2 a (1 + x ) a 2 2 ? ? 解方程 ? arctana ? =1 ?2 ? + 得 a = 0 b P 0 x b = 0 f ( x ) dx = 2 2 arctan x |b = arctan b 0 解关于 b 的方程： 2 arctanb=0.5 得 b=1. 19. 某种电子元件的寿命 X 是随机变量，概率密度为 ?100 ? f ( x ) = ? x2 ? 0, ? x 100 , x1

49、00 . 3 个这种元件串联在一个线路中，计算这 3 个元件使用了 150 小时后仍能使 线路正常工作的概率. 14 解 串联线路正常工作的充分必要条件是 3 个元件都能正常工作. 而三个元件 的寿命是三个相互独立同分布的随机变量，因此若用事件 A 表示“线路正常工 作” ，则 P ( A ) = P ( X 150) 3 2 + 100 P X 150 150 dx = 2 x 3 8 P( A)= 27 20. 设随机变量 Xf ( x )，f ( x )Ae|x|，确定系数 A；计算 P |X | 1 . 解 1 = ?+ Ae ? | x | dx = 2 A 0+ e ? x dx

50、= 2 A 解得 A 1 2 1 ?1 1 1 ?| x| e dx = e ? x dx 0 2 P | X | 1 = 21. 设随机变量 Y 服从0, 5上的均匀分布，求关于 x 的二次方程 4x2 4xY+Y+2=0 有实数根的概率. 解 4x2+4xY+Y+2=0. 有实根的充分必要条件是 b24ac =16Y216(Y+2)=16Y216Y320 设事件 P(A)为所求概率.则 P ( A) = P 16Y 2 ? 16Y ? 32 0 = P Y 2 + P Y ?1 =0.6 22. 设随机变量 X f ( x )， ? c , ? f ( x) = ? 1 ? x 2 ? 0

51、, ? | x | 1， 其他 . = 1 ? e ?1 0.632 确定常数 c，计算 P ? | X | 1 ? . ? ? ? 2? 解 1 = ?1 1 c 1? x 2 dx = c arcsin x |1 1 = c ? c =1 1? 1 2 dx = arcsin x ? = 21 2 ? ? 2 1 ? x 2 1 1 2 0 ? P ? | X | ? = 1 3 23. 设随机变量 X 的分布函数 F ( x )为 ? 0, ? F ( x) = ? A x , ? 1, ? x0 ， 0x1 , x 1. 确定系数 A，计算 P 0 X 0.25 ，求概率密度 f (

52、x ). 解 连续型随机变量 X 的分布函数是连续函数，F F (10)，有 A1. (1) 15 ? 1 , ? f ( x ) = ?2 x ? 0, ? 0x1 , 其他 . P 0 X 0.25 = F ( 0.25 ) ? F ( 0 ) = 0.5 24. 求第 20 题中 X 的分布函数 F ( x ) . 解 F ( x ) = P X x = ?x 1 e ? | t | dt 2 当 t 0 时， F ( x ) = ? x 1 t 1 e dt = e x 2 2 当 t0 时， x 1 0 1 x1 F ( x ) = ? e ? | t | dt = ? e ?t d

53、t + 0 e -t dt 2 2 2 1 1 1 ?x ?x = + (1 ? e ) = 1 ? e 2 2 2 25. 函数(1+x2)1 可否为连续型随机变量的分布函数，为什么? 解 不能是分布函数，因 F () 1 0. a ,确定 a 的值；求分布函数 26. 随机变量 X f ( x )，并且 f ( x ) = 2 (1+ x ) F ( x )；计算 P | X | 1 . 解 1 = ? + a a dx = arctan x + = a ? ( 1+ x2 ) 因此 a =1 F ( x) = ? x 1 1 dt = arctan t ?x 2 ( 1+ t ) 1 1

54、 = + arctan x 2 1 1 1 1 P | X | 1 = ?1 dx = 2 0 dx 2 ( 1+ x ) ( 1+ x2 ) 2 1 = arctan x 01 = 2 27. 随机变量 X 的分布函数 F ( x ) 为： A ? , ?1 ? F ( x) = ? x 2 ? 0, ? x2 ， x 2. 确定常数 A 的值，计算 P 0 X 4 . 解 由 F ( 20 )F ( 2 )，可得 1? A =0, 4 A=4 P 0 X 4 = P 0X 4 = F ( 4 ) ? F ( 0 ) = 0.75 f 28. 随机变量 Xf ( x )， ( x ) A ,

55、 确定 A e x + e?x 的值； 求分布函数 F ( x ) . 16 解 1 = ? 因此 A ex dx = A ? dx e x + e ?x 1 + e2x = A arctan e x = A ? 2 A 2 ， ? F (x)= 2 2 dt = arctan et ( et + e ?t ) 2 = arctan e x x x ? 29. 随机变量 Xf ( x )， ? 2x ? , 0xa f ( x ) = ? 2 ? 0 , 其他 . 其他 ? 确定 a 的值并求分布函数 F ( x ) . 解 1 = 0 a 2x x2 dx = 2 2 a 0 = a2 2

56、因此，a = 当 0x 时， F ( x ) 0 2t x2 dt = 2 2 ?0, x 0 ? 2 ?x F ( x) = ? 2 , x 0 ? ?1, x ? x 30. 随机变量 X 的分布函数为 ?0 , ? F ( x ) = ? a 2 x 2 + 2ax + 2 ?ax e , ?1 ? 2 ? x0 x0 (a0) 求 X 的概率密度并计算 P ? 0X 1 ? . ? ? ? a ? 解 当 x 0 时，X 的概率密度 f ( x ) 0； 当 x 0 时，f ( x ) F ( x ) ? 0, ? f ( x ) = ? a 3 x 2 ?ax e , ? ? 2 x

57、0, 0. x 31. 随机变量 X 服从参数为 0.7 的 01 分布，求 X2，X22X 的概率分布. 解 X2 仍服从 01 分布，且 P X20 P X0 0.3，PX21PX 1 ? 1 ? 1 ? ? P ? 0x ? = P ? 0x ? = F ( ) ? F ( 0 ) a ? a ? a ? ? 5 ?1 = 1 ? e 0.08 2 17 10.7 X22X 的取值为1 与 0 , PX22X0 P X0 0.3 P X22X1 1P X0 0.7 32. 已知 P X10n P X10-n 1n , n = 1 , 2 , K , 解 Y=lgX，求 Y 的概率分布.

58、Y 的取值为1, 2 , P Y=n =P lgX=n =P X=10n = 1 3 3 3 P Y=n =P lgX=n =P x=10-n 1 n1 , 2 , 33. X 服从a , b上的均匀分布，Y=ax+b (a0)，求证 Y 也服从均匀分布. 证 设 Y 的概率密度为 fY ( y ) ，X 的概率密度为 fX ( x )，只要 a 0， y = ax + b 都是 x 的单调函数. 当 a 0 时，Y 的取值为a2+b , ab+b, x=h( y)= 1 1 ( y ? b ) , h ( y ) = x = y a a 1 f Y ( y ) = h ( y ) f X h

59、 ( y ) = , y a 2 + b , ab + b , a (b?a ) 当 y a 2 + b , ab + b 时 ， fY ( y ) =0. 类似地，若 a0，则 Y 的取值为 ab+b , a2+b ? ?1 , ? f Y ( y) = ? a(b ? a) ? 0, ? ab + b y a 2 + b , 其他 . 因此，无论 a0 还是 a0，ax+b 均服从均匀分布. 34. 随机变量 X 服从0 , 2 上的均匀分布 Y=cosX , 求 Y 的概率密度 fY ( y ). 解 y=cosx 在0, h ( y ) = ?1 1? y 2 2 上单调，在(0 ,

60、1)上，h ( y ) = x =arccosy 2 , fx ( x ) = 0 y 1 , 其他 . , 0 x 2 . 因此 2 ? , ? fY ( y ) = ? 1 ? y 2 ? 0， ? 35. 随机变量 X 服从(0 , 1)上的均匀分布，Y=ex , Z =lnX，分别求随机变 量 Y 与 Z 的概率密度 fY ( y ) 及 fZ ( z ) . 解 y = ex 在(0 , 1)内单调 , x=lny 可导，且 xy = 1 , fX ( x ) =1 y 0 x 1 , 因此有 18 ?1 ? , fY ( y ) ? y ? 0, ? 1 y e , 其他 . 在(

61、0 , 1)内 lnx 0lnx=-lnx 单调，且 x = e ? z ，xze ? z ，因此有 ?e ? z ， fz ( z ) = ? ? 0, 0 z + , 其他 . 36. 随机变量 Xf ( x ) ， ?e ? x , f (x)=? ? 0, x0 x0 Y = X , Z = X2 , 分别计算随机变量 Y 与 Z 的概率密度 fy ( y ) 与 fZ ( z ) . 解 当 x 0 时，y = x 单调，其反函数为 x = y2 , xy = 2y ?2 y e ? y , ? fY ( y ) = ? ? 0, ? 2 y0 , y 0. z 当 x 0 时 zx2 也是单调函数，其反函数为 x = ? 1