大一高等数学期末考试试卷及答案详解

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1、大一高等数学期末考试试卷（一）一、选择题（共12分）.2ex. x 0. . .1. （3分）若f（x） ,x 0,为连续函数，则a的值为（）.a x, x 0（A）1 （B）2 （C）3 （D）-12. （3 分）已知 f （3） 2,则 lim f（3 h） f（3）的值为（）.h 0 2h八1（A）1 （B）3 （C）-1 （D）23. （3分）定积分 工4cos2 xdx的值为（）.2（A）0 （B）-2 （C）1 （D）24. （3分）若f （x）在x %处不连续，则f（x）在该点处（）.（A）必不可导（B） 一定可导（C）可能可导（D）必无极限二、填空题（共12分）1 .（3分）平

2、面上过点（0,1）,且在任意一点（x, y）处的切线余率为3x2的曲线方程为.1o.2. （3 分） （x x sin x）dx .一 一213. （3 分） lim x sin - =. x 0x4. （3分）y2x3 3x2的极大值为.三、计算题（共42分）1.（6分）求lxm0xln(1 5x)- o 2- sin 3x2.（6分）设yex x2 14.(6分),3X,X 1,求 0 f (x 1)dx,其中 f(x)1 cosxex 1,x 1.yx5. （6分）设函数y f（x）由方程 e dt costdt 0所确定，求dy.6. （6 分）设 f （x）dx sin x2 C,求

3、 f（2x 3）dx.3 n7. （6分）求极限lim 1 一 .n 2n四、解答题（共28分）1. （7 分）设 f （ln x） 1 x,且 f （0） 1,求 f （x）.2. （7分）求由曲线y cosx - x - 与x轴所围成图形绕着 x轴旋转一周所得旋22转体的体积.3. （7分）求曲线y x3 3x2 24x 19在拐点处的切线方程.4. （7分）求函数y x J1 x在5,1上的最小值和最大值.五、证明题（6分）设f （x）在区间a,b上连续，证明f (x)dx byaf(a)1 bf(b) 2 a (x 咖 b)f 取(二)填空题（每小题3分，共18分）2 x2 x1,口，

4、则x 1是f x的第 3x 2类间断点.一 .2 一.2.函数y ln 1 x ，则y3.limx2x1 xx,1 曲线y -在点 x1，、一1,2处的切线方程为5.6.32函数y 2x3 3x2在 1,4上的最大值arctan x , 厂dx1 x单项选择题（每小题4分，共20分)1.数列Xn有界是它收敛的A必要但非充分条件;充分但非必要条件；无关条件.C 充分必要条件；2.卜列各式正确的是（ln xdx - xe xdx e x C11dx -ln1 2x 22xjx x ln xln ln3.设f x在a, b上,x在a, b上.沿x轴正向上升且为凹的;沿x轴正向下降且为凹的;沿x轴正向

5、上升且为凸的;沿x轴正向下降且为凸的.4.设 f x x ln x ,则 f x 在0处的导数（C等于0；5.已知lim fx 1x 2,以下结论正确的是函数在x1处有定义且f 12 ；B 函数在x 1处的某去心邻域内有定义;函数在x1处的左侧某邻域内有定义;D函数在x1处的右侧某邻域内有定义B等于 1D不存在.计算（每小题6分，共36分）1.求极限:lim x2sin 1.2.已知y.2ln 1 x ，求 y .3.求函数yxsinx x 0的导数.x4. 2dx .1 x5. xcosxdx.1 16.方程yx xy确定函数y f x ,求y .2c四、 （10分）已知ex为f x的一个原

6、函数，求 x2f x dx.五、 （6分）求曲线y xex的拐点及凹凸区间.六、 （10 分）设 f Jx dx x ex 1 C ,求 f x .(1)、填空题（本题共1x2lim （cosx）x x 05小题，每小题4分，共20分）.1、. e(2)曲线xlnx上与直线x y 10平行的切线方程为(3)已知(ex) xe x,且 f(1) 0 ,则 f (x)2xf(x)和x)2(4)曲线3x1的斜渐近线方程为(5)y微分方程2yx 1(x51a的通解为7炉 C(x 1)2.二、选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）.（1）下列积分结果正确的是（ D ）(A)1 1 , 八dx 01

7、 x(B)(C)(2)函数1 4dx1 x(D)1 1 .”dx1 x；dx1 ，x(A)(B)(C)(D)f （x）在a，b内有定义，其导数 f（x）的图形如图x1,x2都是极值点.x1, f (x1) , x2, f (x2)都是拐点.x1是极值点x2, f (x2)是拐点.x1,f (x1)是拐点,x2是极值点.1-1所示，则（D ）.Oy f (x)x2 由 1-1 x(3)函数 yC1exC2e 2xxxe满足的一个微分方程是（(A) y y 2y(C) y y 2yx3xe .x3xe .(4)设f(x)在处可导，则(B) y(D) y f xh2y2yx3e .x3e .(A)

8、fx0(B)Xo(C) o.(D)不存在.(5)下列等式中正确的结果是(f (x)dx) f (x). (A)d f(x)dx f (x).(C)(B)(D)三、计算题(本题共1求极限4小题，每小题十) ln x .6分，共24分)x lim (x 1 x 1In x2方程df (x) f (x).f (x)dx f (x).xln x)lim =x 1 (x 1)ln xln xlimx 1 x 1 ,ln x xlxm1limx 1x ln xx 1 xln x1 ln x1 ln x 11nsintdyd2ycost tsint确定y为x的函数，求dx与dx2 .dy y (t).tsi

9、nt,解 dx x (t)2d y (tsint)s sinttant tsint.dx2x(t)arctan xdx3.解:4.计算不定积分. x(1 x)arctan、x ,dx.x(1 x)arctan 一 x x (1 x) x=2 arctan、. xd arctan x(3分)(6分)2分2分34.计算定积分01(arctan。2 CJ! xd,33dx解 0 1 J x 0x(11 x) dx3o(1 . 1 x)dx3 2(1 x)2(6分)3四、解答题(本题共 4小题，共29分).1.(本题6分)解微分方程y 5y 6y xe2x.解：特征方程r2-5r 6 01分特征解ri

10、2,r2 3.1分次方程的通解Y =C1e2x C2e3x.1分令 yx(b0x bf)e2x1 分1代入解得bo2, bi1.所以 y* x( 1x 1)e2x1 分2所以所求通解 y C1e2x C2e3x x(1x 1)e2x.1 分22.(本题7分)一个横放着的圆柱形水桶 (如图4-1 )，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为 R , 水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力.解：建立坐标系如图P0R2 gx . Rg。艮 r2g2 (R232-g-R3322x dxx2) 32Rb3.(本题8分)b设f(x)在a，b上有连续的导数,f(a) f(b)f2(x)dx 1xf(x)f (x)dx

11、试求a.bb解：xf (x) f (x)dx xf (x)df (x)aa1 b _ 2 xdf (x)2 a=xf2(x)1a1 =0 21212f2(x)dx2 分4.(本题8分)过坐标原点作曲线 面图形D.(1) (3) 求D的面积A;ln x的切线，该切线与曲线ln x及x轴围成平(2) (4)求D绕直线xe旋转一周所得旋转体的体积V.由该切线过原点知解：(1) 设切点的横坐标为xo ,则曲线1n x在点(x0，ln xo)处的切线方程是y In xo1 ,、(x xo). xo1n xo1 0 ,从而 xoe.1-x. e平面图形D的面积(eyey)dy1-e 21.3y(2)切线1

12、- xe与x轴及直线xe所围成的三角形绕直线xe旋转所得的圆锥体积为6(5e212e 3).分22分2e x,其中位于o到x之间。x。2 分x。2 分曲线y 1nx与x轴及直线x e所围成的图形绕直线 x e旋转所得的旋转体体积为1V2(e ey) dy,八2 o ,1 分因此所求旋转体的体积为121y 2V V1 V2- e (e e ) dy3 o五、证明题(本题共 1小题，共7分).1.证明对于任意的实数 x, ex 1 x.ex 1 x x2 1 x解法一：2x解法二：设 f(x) e x 1.则 f(o) o.1因为f (x) e 1.1 分当 xo时，f(x)0. f(x)单调增加

13、，f(x)f(0)0.当 xo时，f (x)o. f(x)单调增加，f(x)f(o)o.所以对于任意的实数 x, f(x) o.即ex 1 x。1解法三：由微分中值定理得，ex 1 ex eo e (x o)x当 x o时，e 1, e 1当 x o时，e 1, ex 1x所以对于任意的实数 x , e 1 x。(四)一.填空题(每小题 4分，5题共20分)： 1X、y11 .呵(e x)e2 *.1 2005xx4x 1 x e e dx 一2.1e.x y t2dye dt x . 、x 0,3 .设函数y y(x)由万程1确定，则dx e 1.X -,、,一,、1 2tf (t)dt f

14、(x)2x4 .设f x可导，且1, f1 ,则f x e .2x5 .微分方程y 4y 4y 0的通解为y (C1 C2x)e .二.选择题(每小题 4分，4题共16分)：2.3.设常数k 0 ,则函数（A） 3微分方程(A) y(C) y个;yf (x) ln x - e(B) 2 个；4y 3cos2x的特解形式为Acos2x .Ax cos2x卜列结论不一定成立的是Bxsin2x.(A(A)(A)若c,da, b(B)(B)若 f(x)a,b上可积，则(C)(C)周期为f x dxf x dx;(D)(D)若可积函数f x为奇函数，则在(0, (C) 1(B)(D)dxxtf0）内零点

15、的个数为（ B ）.个;)Axcos2x .Asin 2xx dx;x dx 0(D) 0 个.函数，则对任意常数a都有dt也为奇函数.4.设(A)2 3ex，则 x 0是 f（x）的（连续点;八、 ;C(B)）.可去间断点；(C)跳跃间断点；(D)无穷间断点.三.计算题（每小题 6分，5题共30 分）:1 .计算定积分设x2 解：2x03 x2e dx一,2 q v2t ,则 x e dx21te02tdt2tde t0te2e dt21 t 21e -2022xsin x ,dx2.计算不定积分cos X .xsin x ,1, / 1 、1 xdx xd()解： cos x 4 cos

16、x 4 cos xdx4- cos x33.求摆线解：切点为x4 cos xx4 cos xI 2一 (tan x 1)d tanx 4131一tan x -tan x C 1243x a(t sint), t y a(1 cost)，在 2处的切线的方程1), a)2, dy asintk TTdx t _ a(1 cost) t _ 22 12切线方程为4.设F(x)y ax 20 cos(x,则t)dtF (x)y x (2 -)a2222xcosx (2x 1)cos(xx)xn5.设解：lim xn nn (n1)(n2)(n3厂(2n)n,求,1 n i、ln xn- ln(1一)

17、n i 1 nlim ln xn nlimnln(1i 110 1n(1 x)dxxln(1 x) 011xdx 2 ln 2 10 1 x222ln2 1故lim xn en一四.应用题（每小题 9分，3题共27分）x轴所围图形的面积1y x设切点为（x0，y0），则过原点的切线方程为2v，x02 ,由于点（X0，y0）在切线上，带入切线方程，解得切点为xo4y0J2.-3x过原点和点（4, J2）的切线方程为2423s面积2-0 (y2 2 2.2y)dy2 1 xdx 02 2x 2)dx 2-2 3x所确定，试求 D绕直线x 2旋转一周所生成的V解:2)dyy012(y2.设平面图形

18、旋转体的体积.法一:122D由x y2%与Y01 y10 (2y)2dy法二:2V =10(21)2 dy63(y1)3(2 x)( . 2xx) . 2x x2dx(2 2x)、.2x3(2x3)23.设1,f(t)3)x2 x)dx2 . 2xat在(10(2xx2)dxx2 dx）内的驻点为t（a）.问a为何值时t（a）最小？并求最小值.解:由 f (t) at In a a0得t(a) 1In In aIna 3又由t(a) ln 1n a 21 0得唯一驻点 a ee a(lna)23当aee时,t (a) 0;当aee日t,t (a) 0,于是aee为t(a)的极小值点.-2a e

19、e为t(a)的最小值点，最小值为t(ee).ln e.11e五.证明题(7分)设函数f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导且f(0)=f(1).10,收 1，试证明至少存在一点(0,1)，使得 f( )=1.证明：设F(x)有 F(0) 1小仁)=1又由 2,f(x) f(0)x, F(x)在0,1上连续在(0,1)可导，因 f(0)=f(1)=0,0 0,F(1) f (1) 11111111F ()=f ()- =1- = , L，1 匚 /、22 22 2在2 上F(x)用零点定理,11F(1)F(-)=- 0根据 22,1(一，1)F( )=0,可知在2内至少存在一点，使得(2,1

20、)(0,1)F (0)= F (尸0由ROLLE 中值定理得 至少存在一点(0, )。1)使得)=0 即 f ()1=0标准答案B；2 C; 3D；A.3x 1;33 0;0.5xx原式 lim 2 x 0 3x2Q ln ylnFx 1ln(x21),原式、ex r 1x2 122x2x1122-ln(1 x )d(1 x )四、2(12(1解令x 130 f (x)dx1 costx2)ln(1x2)ln(1t,则2J(t)dtdt0 et t2两边求导得ey ycosxQ y eycosxsin x 1dycosxsinx 1x2)(1 x2) 2 dx1 xx2) x2 C2 t1(e

21、t1)dtcosx 0,dxf (2x 3)dxsin(2x原式= lim 1n解令ln xf(t)Q f (0)f(x)2分f (2x 3)d(2x 2)2分3)22n(1 et)dt = t1, C 0,2n 33 23=e2et,f(t) 1et C.222 斛 Vxcos xdx 3 分2222 02 cos xdx2 分2.2分223 解 y 3x 6x 24, y 6x 6,- - - 1 分令 y 0,得 x 1. i 分当 x 1 时，y 0;当 1 x时，y0, - (1,3)为拐点， 1分该点处的切线为y 3 21(x 1).12.rx 12、lx 2厂x-2分3-令y 0,得x .1分4y( 5)5石,352.55,y 47 y(1)1最小值为y( 5)5 J6，最大值为y 4五、证明bb(x a)(x b)f (x) (x a)(x b)df (x) aab b(x a)(x b)f (x)|a a fba2x(ab)df(x)2x(ab)f(x)(x)2 x (a b)dx t -. 分b2 a f (x)dx .-t -分2分-”2分分”分 - t 分b(b a)f(a)f(b) 2 a f(x)dx,移项即得所证.1 分