§2.3.2_双曲线的简单几何性质(1)PPT课件

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1、第1页/共60页第2页/共60页第3页/共60页oYX关于X,Y轴,原点对称(a,0),(0,b)(c,0)A1A2 ; B1B2ace |x| a,|y|b12222 byaxF1F2A1A2B2B12.椭圆的图像与性质椭圆的图像与性质:第4页/共60页 2、对称性、对称性 一、研究双曲线 的简单几何性质) 0, 0( 12222babyax1、范围、范围axaxaxax, 12222即关于x轴、y轴和原点都是对称。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)课堂新授 第5页/共60页3、顶点、顶点（1）双曲线与

2、对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 xyo-b1B2Bb1A2A-aa)0 ,()0 ,(21aAaA、顶点是线段 叫双曲线的实轴，长为2a，a为实半轴长；线段 叫双曲线的虚轴，长为2b，b为虚半轴长12A A12B B（2）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，即a=b （3）)0(22mmyx22ya2x第6页/共60页M(x,y)1A2A1B2BN(x,y)Q:的位置的变化趋势它与xaby慢慢靠近xyoxaby xaby ab 双曲线上的点与这两双曲线上的点与这两直线有什么位置关系呢直线有什么位置关系呢?第7页/共60页4、渐近线、渐近线1A2A1B2Bxyobyxa byxa ab动画演示点

3、在双曲线上情况动画演示点在双曲线上情况2222xy=1ab 2222xy=0ab byxa 怎样记忆？第8页/共60页的渐进线为：13422yxxy23的渐进线为：12222yxxy等轴双曲线xyOxaby xabyxy第9页/共60页5、离心率、离心率1A2A1B2Bxyobyxa byxa(1)ca焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,记作e.abtanbaca0e 1第10页/共60页5、离心率e是表示双曲线开口大小的一个量是表示双曲线开口大小的一个量, ,e 越大开口越大越大开口越大ca0e 12222( )11bcaceaaa (4)等轴双曲线的离心率e= ?2 ,tanba=第11页

4、/共60页关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形图形方程方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率1 (0,0)xyabab22222222A1（- a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a） 1 00yx(a,b)ab22222222 , yayaxR ，或或关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称 (1)ceea渐近线渐近线ayxb .yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0 )F2(0,c)F1(0,-c) , xaxayR ，或或 (1)ceeabyxa 第12页/共60页思考：思考： ayx b 2

5、222xy=0ab 22220yxab 两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？2222xy=1ab 22221yxab 双曲线双曲线 的渐近线方程是什么？的渐近线方程是什么？22221yxab byxa ayx b (3).双曲线的画法：双曲线的画法：yB2A1A2 B1 xO定顶点定顶点画矩形画矩形画渐近线画渐近线画双曲线画双曲线两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？第13页/共60页例例1 :求双曲线 的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程。解：把方程化为标准方程 可得:实半轴长a=4 虚半轴长b=3

6、半焦距c=焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率: 渐近线方程: 14416922 xy53422 45 acexy34221169yx第14页/共60页关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形图形方程方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率1 (0,0)xyabab22222222A1（- a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a） 1 00yx(a,b)ab22222222 , yayaxR ，或或关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称 (1)ceea渐近线渐近线ayxb .yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,

7、0)F2(c,0 )F2(0,c)F1(0,-c) , xaxayR ，或或 (1)ceeabyxa 第15页/共60页 2222xy=0ab 22220yxab 两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？2222xy=1ab 22221yxab byxa ayx b 第16页/共60页巩固练习：填表巩固练习：填表|x| 0 ,24 0 , 6 223 exy42 4618|x|3(3,0) 0 ,103 10 ey=3x44|y|2(0,2)2 e 22, 0 xy 1014|y|5(0,5) 74, 0 574 exy75 2824第17页/共60页结论：

8、22222222001).,xyxyababxyab 双双曲曲线线的的渐渐近近线线方方程程是是即即2222020.)()xyabxbay 渐渐近近线线方方程程为为的的双双曲曲线线方方程程是是第18页/共60页1、“共渐近线”的双曲线的应用222222221(0)xyabxyab 与共渐近线的双曲线系方程为， 为参数 ，0表示焦点在x轴上的双曲线；a0)，求点M的轨迹.cx2aacM解：设点M(x,y)到l的距离为d，则|MFcda 即222()xcycaaxc 化简得(c2a2)x2 a2y2=a2 (c2 a2) 设c2a2 =b2，22221xyab (a0,b0)故点M的轨迹为实轴、虚轴

9、长分别为2a、2b的双曲线.222()|axcyacx 22224222(2)2axcxcyaa cxc x b2x2a2y2=a2b2即就可化为:M点M的轨迹也包括双曲线的左支.一、第二定义 (x,y)第27页/共60页双曲线的第二定义双曲线的第二定义 平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是双曲线。 定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.对于双曲线22221xyab 是相应于右焦点F(c, 0)的右准线类似于椭圆2axc 是相应于左焦点F(-c, 0)的左准线2axc xyoFlMF2axc l2axc

10、 点M到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义.第28页/共60页想一想：中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的？xyoF相应于上焦点F(c, 0)的是上准线2yac 2yac 相应于下焦点F(-c, 0)的是下准线2yac 2yac F第29页/共60页例例2 2、点、点M M（x,yx,y）与定点）与定点F F（5,05,0），的距离），的距离和它到定直线：和它到定直线： 的距离的比是常的距离的比是常数数 , , 求点求点M M的轨迹的轨迹. .l165x 54y0ld第30页/共60页归纳总结1. 双曲线双曲线的第二定义的第二定义 平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的

11、距离与到定直线l的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是双曲线。 定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。2. 双曲线双曲线的准线方程的准线方程对于双曲线22221,xyab 准线为2axc 对于双曲线22221yxab 准线为2ayc 注意注意: :把双曲线和椭圆的知识相类比.第31页/共60页椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法判断方法0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）复习:相离相切相交二、直线与双曲线的位置关系第32页/共60页1) 位置关系种类XYO种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)第33页/共60页2)2)位置关系与

12、交点个数XYOXYO相离相离:0:0个交点个交点相交:一个交点相交相交:两个交点两个交点相切相切:一个交点一个交点第34页/共60页得 2214ykxxy 解： 由 2250 xkx21-k方程只有一解 当 即 012k1k时，方程只有一解时，应满足 当 012k0)1 (20422kk解得 25k故k k的值为 251 ，如果直线 与双曲线 仅有一个公共点，求 的值。1ykx224xyk例1 1x xy yoMM第35页/共60页3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐进线平行相交（一个交点） 计 算 判 别 式0=00

13、直线与双曲线相交（两个交点） =0 直线与双曲线相切 0 直线与双曲线相离第37页/共60页归纳总结直线与双曲线位置关系相交交于两点(0)0)交于一点(二次方程二次项系数为零，直线与渐近线平行)相切相离只有一个公共点(0)0)没有一个公共点(0)0)注意二次曲线、二次方程、二次函数三者之间的内在联系，直线与双曲线的位置关系通常是转化为二次方程，运用判别式、根与系数的关系以及二次方程实根分布原理来解决。第38页/共60页相切一点相切一点: =0相相 离离: 0 注注:相交两点相交两点: 0 同侧：同侧： 0 异侧异侧: 0 一点一点: 直线与渐进线平行直线与渐进线平行12xx12xx第39页/共

14、60页特别注意直线与双曲线的特别注意直线与双曲线的位置关系中：位置关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支第40页/共60页例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线(1)没有公共点; (2)有两个公共点;(3)只有一个公共点; (4)交于异支两点；(5)与左支交于两点.(3)k=1，或k= ；52(4)-1k1 ；(1)k 或k ；525252(2) k ；52125- k1 k且且第41页/共60页1.过点过点P(1,1)与双曲线与双曲线 只有只有共有共有_条条. 变题变题:将点将点P(1,1)改为改为1.A(3,4) 2.B(3,

15、0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎样的答案又是怎样的?4116922yx1.两条两条;2.三条三条;3.两条两条;4.零条零条.交点的交点的一个一个直线直线XYO（1，1）。第42页/共60页2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_01，3.过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的取值范围是 13422yx32 3，2第43页/共60页例4、如图，过双曲线 的右焦点倾斜角为 的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。22136xy2,F30三、弦长问题第44页/共60页练习练习: : 1.1.过双曲线过双曲线11692

16、2yx的左焦点的左焦点 F1 1作倾角为作倾角为4的直线与双曲线的直线与双曲线 交于交于A A、B B两点，则两点，则| |ABAB|=|= . . 2.2.双曲线的两条渐进线方程为双曲线的两条渐进线方程为20 xy，且截直线，且截直线30 xy所得弦长为所得弦长为8 33，则该双曲线的方程为（，则该双曲线的方程为（ ） (A)(A)2212xy (B)(B)2214yx (C)(C)2212yx (D)(D)2214xy 1927第45页/共60页韦达定理与点差法例.已知双曲线方程为3x2-y2=3, 求： (1)以2为斜率的弦的中点轨迹； (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹； (3)以

17、定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程. (4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗？说明理由；第46页/共60页例.2 22 2y y给给定定双双曲曲线线x-= 1,x-= 1,过过点点A(1,1)A(1,1)能能否否作作直直线线L L2 2使使L L与与所所给给双双曲曲线线交交于于两两点点P,Q,P,Q,且且A A是是线线段段PQPQ的的中中点点? ?说说明明理理由由. .11221122解 : 假设存在P(x ,y ),Q(x ,y )为直线L上的两点,解 : 假设存在P(x ,y ),Q(x ,y )为直线L上的两点,且PQ的中点为A,则有 :且PQ的中点为A,则有 : 2 22 21

18、11 12 22 22 22 2y yx-= 1x-= 12 2y yx-= 1x-= 12 212121212121212122(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y )2(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y )，即方程为12121212y - yy - y= 2k = 2L: y - 1 = 2(x - 1)= 2k = 2L: y - 1 = 2(x - 1)x - xx - x2 揶 V2 22 22 2y yx -= 1x -= 1x - 4x + 3 = 0 0 x - 4x + 3 = 00,0,原点O O（0 0，0 0

19、）在以ABAB为直径的圆上， OAOB OAOB，即x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0,=0,即x x1 1x x2 2+(ax+(ax1 1+1)(ax+1)(ax2 2+1)=0, +1)=0, (a(a2 2+1) x+1) x1 1x x2 2 +a(x +a(x1 1+x+x2 2 )+1=0, )+1=0,解得a=a=1.1. (1)当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点；1212222a2xx,x x3a3a 22222a (a +1) +a+1=03a3a 第52页/共60页 (2)是否存在这样的实数a,使A、B关于y=2x对称， 若存在，求a;若不存在，

20、说明理由.第53页/共60页3、设双曲线C： 与直线相交于两个不同的点A、B。（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。（2）设直线l与y轴的交点为P，且 求a的值。2221(0)xyaa:1l xy5,12PAPB 第54页/共60页第55页/共60页第56页/共60页1317, 06028912,.12125.1212172222222222aaaaxaaxaax所以由得消去所以第57页/共60页4、由双曲线 上的一点P与左、右两焦点 构成 ，求 的内切圆与边 的切点坐标。22194xy12FF、12PFF12PFF12FF说明：双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 构成的三角形称之为焦点三角形，

21、其中 和 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理。 12FF、12| |PFPF、12|FF第58页/共60页例3、 已知双曲线221,169xyF1、F2是它的左、右焦点. 设点A(9,2), 在曲线上求点M，使 24|5MAMF 的值最小,并求这个最小值.xyoF2MA165x 由已知：解：a=4, b=3, c=5,双曲线的右准线为l:54e 作MNl, AA1l, 垂足分别是N, A1,N2|5|4MFMN 24| |5MFMN A124| |5MAMFMAMN 1|AA 当且仅当M是 AA1与双曲线的交点时取等号,令y=2, 解得:4 132x 4 13,2 ,3M 即即 29.5最最小小值值是是第59页/共60页感谢您的观看。第60页/共60页