函数的极限06146实用教案

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1、北京邮电大学 软件(run jin)学院1一、自变量趋于有限一、自变量趋于有限(yuxin)值时函值时函数的极限数的极限1. 0 xx 时函数极限的定义引例(yn l)1 考虑函数( )1,f xx当1x 时，2 2为1x 时( )f x的极限，记为引例2考虑函数21( )1xf xx当1x 时，只能考虑点1 1的空心邻域内( )f x的值称函数的值无限趋近于2 2。( )f x第1页/共32页第一页，共33页。北京邮电大学 软件(run jin)学院2在点的某去心邻域(ln y)内有定义 ,当时, 有则称常数(chngsh) A 为函数当时的极限,或即,0,0当时, 有若记作Axfxx)(l

2、im0定义1 .设函数第2页/共32页第二页，共33页。北京邮电大学 软件(run jin)学院3该邻域内所有点 x的纵坐标 f(x)落在A的 邻域 内，即相应(xingyng)的点(x,f(x)落在绿色区域内. A A的 邻域(ln y),(ln y),当 x0的空心 邻域, 函数极限0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 函数局部有界这表明极限存在 练习 p37 T7第3页/共32页第三页，共33页。北京邮电大学 软件(run jin)学院4例例1. 证明证明(zhngmng)常数在任意变化过程中的极限(jxin)都是本身。例2. 证明证:欲使取则当时 , 必有因此只要1)12(lim1x

3、x求差满足条件第4页/共32页第四页，共33页。北京邮电大学 软件(run jin)学院5例例3. 证明证明(zhngmng)证:故,0取当时 , 必有因此(ync)222lim32xxxx 函数在某变化过程是否存在极限与函数在该点是否有定义无关，因为函数极限是考察函数在某去心邻域内的变化趋势。练习 p37 5-(1) 第5页/共32页第五页，共33页。北京邮电大学 软件(run jin)学院6例例4. 证明证明(zhngmng): 当当证:欲使且而可用因此(ync)只要时故取则当00 xx时,保证 .必有ox0 xx()02x第6页/共32页第六页，共33页。北京邮电大学 软件(run ji

4、n)学院7适当放大求出合适的,欲使,0,)( Axf只要(zhyo)则当00 xx必有例5.5.证明(zhngmn(zhngmng): g): 证:第7页/共32页第七页，共33页。北京邮电大学 软件(run jin)学院8例如(lr),(lr),yox1xy 112 xy2. 单侧极限(jxin):第8页/共32页第八页，共33页。北京邮电大学 软件(run jin)学院9左极限左极限(jxin)与与右极限右极限(jxin)左极限(jxin) :当时, 有右极限 :当时, 有.)( Axf左极限与右极限统称为单侧极限。 第9页/共32页第九页，共33页。北京邮电大学 软件(run jin)学

5、院10定理(dngl)但不相等(xingdng)，,0当时, 有当时, 有.)( Axf则当00 xx必有.)( Axf证明：证明：第10页/共32页第十页，共33页。北京邮电大学 软件(run jin)学院11例例6. 设函数设函数(hnsh)讨论(toln) 时的极限是否存在 . xyo解: 利用定理.因为显然所以不存在 .练习 p38 T411 xy11 xy第11页/共32页第十一页，共33页。北京邮电大学 软件(run jin)学院12解练习：设函数1,0;( )cos ,0 xexf xax x 问a为何(wih)值时，)(lim0 xfx存在。1例7.7. 第12页/共32页第十

6、二页，共33页。北京邮电大学 软件(run jin)学院13问题问题(wnt):如何(rh)用数学语言刻划函数“无限接近”3 3、自变量趋于无穷大时函数的极限第13页/共32页第十三页，共33页。北京邮电大学 软件(run jin)学院14XXAAoxy)(xfy A定义(dngy)2. 设函数大于某一正数(zhngsh)时有定义,若则称常数时的极限,几何解释:记作A 为函数第14页/共32页第十四页，共33页。北京邮电大学 软件(run jin)学院15例例8. 证明证明(zhngmng)证:取因此(ync)sinlim0 xxx 注:就有故,0欲使只要练习 p38 T8第15页/共32页第

7、十五页，共33页。北京邮电大学 软件(run jin)学院16x1x11oyx直线 y = A 仍是曲线(qxin) y = f (x) 的水平渐近线 .两种特殊两种特殊(tsh)情况情况 :,0,0X当时, 有,0,0X当时, 有几何意义:例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，oxy1y 第16页/共32页第十六页，共33页。北京邮电大学 软件(run jin)学院17命题命题(mng t)：1lim(arctan ) (1)xxx 讨讨论论例例若函数(hnsh)式中含有要求 时的极限，考虑用极限存在的充要条件x 第17页/共32页第十七页，共33页。北京邮电大学 软件(run jin)学

8、院18内容内容(nirng)小结小结1. 函数(hnsh)极限的或定义及应用思考与练习1. 若极限存在,2. 设函数且存在, 则例3是否一定有？第18页/共32页第十八页，共33页。北京邮电大学 软件(run jin)学院19三、函数极限(jxin)的性质自变量的六种变化过程(guchng)对应六种不同的邻域。算上数列共有7种变化过程中的极限第19页/共32页第十九页，共33页。北京邮电大学 软件(run jin)学院20定理2（函数(hnsh)极限的唯一性）如果(rgu)存在，则这个极限唯一.局部性质：函数在某一邻域（空心邻域）内具定理3（函数极限的局部有界性）如果则存在常数M 0和 使得当

9、时, 有有的性质.第20页/共32页第二十页，共33页。北京邮电大学 软件(run jin)学院21定理定理(dngl)4 局部保局部保号性定理号性定理(dngl)若,)(lim0Axfxx且 A 0 ,证: 已知,)(lim0Axfxx即,0当时, 有当 A 0 时, 取正数(zhngsh)则在对应的邻域上则存在( A 0 )0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 第21页/共32页第二十一页，共33页。北京邮电大学 软件(run jin)学院22若取则在对应(duyng)的邻域上 若则存在(cnzi)使当时, 有推论推论:0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 分析:第22页/共32页第二十二页，共33页。北京邮电大学 软件(run jin)学院23推论推论(tuln). 若在若在的某去心邻域(ln y)内, 且 ,)(lim0Axfxx则证: 用反证法.则由定理 4,0 x的某去心邻域 ,使在该邻域内所以假设不真, 思考: 若定理 2 中的条件改为是否必有不能! 存在如 假设 A 0和。定理4 局部(jb)保号性定理。练习：讨论：第三十三页，共33页。