等腰三角形性质_三线合一”专题

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1、.等腰三角形性质：三线合一专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是著名的等腰三角形三线台一性质。三线合一性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之,如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合,那么这个三角形就是等腰三角形。例题讲解例1 如图所示,在等腰ABC中,AD是BC边上的中线,点E在AD上。求证：BE=CE。变式练习1-1 如图,在ABC中,AB=AC,D是形外一点,且BD=CD。求证：AD垂直平分BC。变式练习1-2 已知,如图所示,AD是ABC,DE、DF分别是ABD和ACD的高。求证：AD垂直

2、平分EF。ABBCED例二：如图ABC中,ABAC,A36,BD平分ABC,DEAB于E,若CD4,且BDC周长为24,求AE的长度。例三. 等腰三角形顶角为,一腰上的高与底边所夹的角是,则与的关系式为=_。图1分析：如图1,AB=AC,BDAC于D,作底边BC上的高AE,E为垂足,则可知EAC=EAB,又,所以。例四. 已知：如图2,ABC中,AB=AC,CEAE于E,E在ABC外,求证：ACE=B。图2分析：欲证ACE=B,由于AC=AB,因此只需构造一个与RtACE全等的三角形,即做底边BC上的高即可。证明：作ADBC于D,AB=AC,又,BD=CE。在RtABD和RtACE中, ABA

3、C,BD=CE,RtABDRtACEHL。ACE=B例五. 已知：如图3,等边三角形ABC中,D为AC边的中点,E为BC延长线一点,CE=CD,DMBC于M,求证：M是BE的中点。图3分析：欲证M是BE的中点,已知DMBC,因此只需证DB=DE,即证DBE=E,根据等边ABC,BD是中线,可知DBC=30,因此只需证E=30。证明：联结BD,ABC是等边三角形,ABC=ACB=60CD=CE,CDE=E=30BD是AC边上中线,BD平分ABC,即DBC=30DBE=E。DB=DE又DMBE,DM是BE边上的中线,即M是BE的中点。巩固练习一：1、已知的周长为,且,又,D为垂足,的周长为,那么A

4、D的长为 A B. C. D. 2、如图2,在ABC中,AB=AC,BAD=30,AD=AE,则EDC= 第4题图ABDEC第2题图DABCEF第3题图A10 B. 12.5 C.15D.203、如图,在ABC中,ABAC,D是BC的中点,DEAB于E,DFAC于F,则图中全等三角形共有A、 2对 B、3对 C、4对 D、5对4 、如图,在等腰直角ABC中,AD为斜边上的高,以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F,连结EF与AD相交于G,则AED与AGF的关系为AAEDAGF BAEDAGF CAEDAGF D不能确定5、如图,在ABC中,AB=AC,BD平分ABC,且BD=BE,

5、A=84,则DEC=CABDEADCBEAAA第7题图BAEDFC第5题图第6题图6、如图,CE平分ACB,且CEBD,DA=DB,又知AC=18,CDB的周长为28,那么BE的长为。7、如图,在等腰ABC中,ABC=90,D为AC边上中点,过D点作DEDF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,则ABC的面积为 8、如图,四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于E点,若AC平分DAB,且AB=AE,AC=AD,有如下四个结论：ACBD；BC=DE；DBC=DAB；ABE是等边三角形请写出正确结论的序号9、已知：如图2,ABC中,AB=AC,CEAE于E,E在ABC外,求证：ACE=B

6、。10、如图ABC中,AB=AC D为AC上任意一点,延长BA到E 使得AE=AD 连接DE,求证DEBC11、已知：如图,中,是上一点,、分别为、上的点,且,为的中点,求证：12、如图,以ABC的边AB,AC为边分别向形外作正方形ABDE和ACFG,DM、FN分别垂直直线BC于M、N.若DM=FN,求证： ABC=ACB巩固练习二1、 等腰三角形一边等于5,另一边等于8,则周长是_。2、 在ABC中,已知ABAC,AD是中线,B70,BC15cm, 则BAC_,DAC_,BD_cm。3、 在ABC中,BAC90,ADBC于D,AB3,AC4,则AD_。4、 已知ABC中,A n,角平分线BE

7、、CF相交于O,则BOC的度数应为A90B90 C180nB1805、 下列两个三角形中,一定全等的是 A有一个角是40,腰相等的两个等腰三角形B两个等边三角形C有一个角是100,底相等的两个等腰三角形D有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形6、 已知：如图,ABC中,AB=AC。小强想做BAC的平分线,但他没有量角器,只有刻度尺,他如何做出BAC的平分线？ACBDE7、 已知：如图,B、D、E、C在同一直线上,AB=AC,AD=AE。求证：BD=CE。8、 如图,RtABC中,ABC=90,D是AB上一点,且BD=BC。DEAB交AC于E。求证：CDBE。9、 如图,锐角ABC中,B=2C,AD为BC边上的高,求证：DC=AB+BD。10、 如图2,BM,CN分别是ABC的外角BAD、ACE的平分线。AMBM,M、N为垂足。求证：MNCN。.