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1、.讲义 无穷小 极限的简单计算教学目的1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。教学内容1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。重点难点重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。教学设计首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质30分钟,在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法20分钟。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧25分钟,课堂练习15分钟。授课内容一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了数列
2、的极限、函数的极限、函数的极限这七种趋近方式。下面我们用表示上述七种的某一种趋近方式,即定义：当在给定的下,以零为极限,则称是下的无穷小,即。例如,注意不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数,任何非零常量都不是无穷小。定义：当在给定的下,无限增大,则称是下的无穷大,即。显然,时,都是无穷大量,注意不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的,在不同的极限形式下,同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大,如, ,所以当时为无穷小,当 时为无穷大。2无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中,如果为无穷大,则为无穷小；反之,如果为无穷小,且,则
3、为无穷大。小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势,因此任何常量都不是无穷大量,任何非零常量都不是无穷小,谈及无穷大量、无穷小量之时,首先应给出自变量的变化趋势。3.无穷小与函数极限的关系:定理1 其中是自变量在同一变化过程或中的无穷小.证：必要性设令则有充分性设其中是当时的无穷小,则意义1将一般极限问题转化为特殊极限问题;23.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3
4、有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如,观察各极限：不可比.极限不同, 反映了趋向于零的快慢程度不同.1定义:设是自变量在同一变化过程中的两个无穷小,且例1 证：例2 解2常用等价无穷小:1； 2； 3； 4； 5； 67 8 9用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如3等价无穷小替换定理：证：例3 1； 2解: 1故原极限= 82原极限=例4 错解:=0正解:故原极限注意和、差形式一般不能进行等价无穷小替换,只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。例5 解:原式三、极限的简单计算1. 代入法：直接将的代入所求极限的函数中去,若存在,即为其极限,例如；若不存在,我们也能知道属于哪
5、种未定式,便于我们选择不同的方法。例如,就代不进去了,但我们看出了这是一个型未定式,我们可以用以下的方法来求解。2. 分解因式,消去零因子法例如,。3. 分子分母有理化法例如,又如,4. 化无穷大为无穷小法例如,实际上就是分子分母同时除以这个无穷大量。由此不难得出又如,分子分母同除。再如,分子分母同除。5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如,无穷小量乘以有界量。又如,解：商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得再如,等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3例5。6. 利用两个重要极限求极限例题参见1.4例3例57. 分段函数、复合函数求极限例如,解: 左右极限存在且相等,启发与讨论思
6、考题1：解：无界,不是无穷大结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若,且,问：能否保证有的结论？试举例说明.解：不能保证.例思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不能例如当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大,故当时和不能比较.课堂练习求下列函数的极限1；解：原极限=2求分析 型,拆项。解：原极限=3 ； 分析抓大头法,用于型解：原极限=,或原极限4；分析分子有理化解：原极限=5分析型,是不定型,四则运算法则无法应用,需先通分,后计算。解：=6分析型,是不定型,四则运算法则失效,使用分母有理化消零因子。 解：原极限=67解:先变形再求极限.内容小结一、无穷小
7、大的概念无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意: 无穷小 大是变量,不能与很小大的数混淆,零是唯一的无穷小的数；2 无穷多个无穷小的代数和乘积未必是无穷小.3 无界变量未必是无穷大.二、无穷小的比较:1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较。高阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。2.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件.三、极限求法不同类型的未定式的不同解法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.
高等数学等价无穷小替换_极限的计算
