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1、.向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍1重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；2垂心高线的交点：高线与对应边垂直；3内心角平分线的交点内切圆的圆心：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；4外心中垂线的交点外接圆的圆心：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合1是的重心.证法1：设是的重心.证法2：如图三点共线,且分为2：1是的重心2为的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心,BE垂直AC,AD垂直BC, D、E是垂足.同理,为的垂心3设,是三角形的三条边长,O是ABC的内心为的内心.证明：分别为方向上的单位向量,平分,令化简得4为的外心。典型例题：例
2、1：是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足, ,则点的轨迹一定通过的 A外心 B内心 C重心 D垂心分析：如图所示,分别为边的中点./点的轨迹一定通过的重心,即选.例2：03全国理4是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足, ,则点的轨迹一定通过的 B A外心 B内心 C重心 D垂心分析：分别为方向上的单位向量,平分,点的轨迹一定通过的内心,即选.例3：是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足, ,则点的轨迹一定通过的 A外心 B内心 C重心 D垂心分析：如图所示AD垂直BC,BE垂直AC, D、E是垂足.=+=0点的轨迹一定通过的垂心,即选.练习：1已知三个顶点及平
3、面内一点,满足,若实数满足：,则的值为 A2 B C3 D62若的外接圆的圆心为O,半径为1,则A B0 C1 D3点在内部且满足,则面积与凹四边形面积之比是 A0 B C D4的外接圆的圆心为O,若,则是的 A外心 B内心 C重心 D垂心 5是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,若,则是的 A外心 B内心 C重心 D垂心6的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,则实数m =706XX已知非零向量与满足=0且= , 则ABC为A三边均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形 D等边三角形8已知三个顶点,若,则为 A等腰三角形 B等腰直角三角形C直角三角形 D既非等腰又非直角三角形练
4、习答案：C、D、C、D、D、1、D、C1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的内心、外心、重心、垂心合称为三角形的四心.2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边.3.注意点:三角形的四心与平面向量知识的结合.一、 典型例题分析例已知点G是内任意一点,
5、点M是所在平面内一点.试根据下列条件判断G点可能通过的_心.若存在常数,满足,则点G可能通过的_.若点D是的底边BC上的中点,满足,则点G可能通过的_.若存在常数,满足,则点G可能通过的_.若存在常数,满足,则点G可能通过的_.二、 综合运用2.若O点是的外心,H点是的垂心,且,求实数m的值.练习：举一反三：通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形四心的向量表达式.若点为内任意一点,若点满足:1;2.两点分别是的边上的中点,且;3.;4.高考资源网来源：高考资源网1已知A、B、C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC的重心,动点P满足= ,则点P一定为三角形ABC的 B A.AB边中线的中
6、点 B.AB边中线的三等分点非重心C.重心 D.AB边的中点1. B取AB边的中点M,则,由= 可得3,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点,且点P不过重心,故选B.2在同一个平面上有及一点满足关系式： ,则为的 D 外心 内心 C 重心 D 垂心2已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：,则P为的 C 外心 内心 C 重心 D 垂心3已知O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P 满足：,则P的轨迹一定通过ABC的C 外心 内心 C 重心 D 垂心4已知ABC,P为三角形所在平面上的动点,且动点P满足：,则P点为三角形的D 外心 内心 C 重心 D 垂心5已
7、知ABC,P为三角形所在平面上的一点,且点P满足：,则P点为三角形的B 外心 内心 C 重心 D 垂心6在三角形ABC中,动点P满足：,则P点轨迹一定通过ABC的： B 外心 内心 C 重心 D 垂心7.已知非零向量与满足=0且= , 则ABC为A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形解析：非零向量与满足=0,即角A的平分线垂直于BC,AB=AC,又=,A=,所以ABC为等边三角形,选D8.的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,则实数m =19.点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足,则点O是的BA三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点- 6 - / 6
关于三角形的“四心”和平面向量的结合学案
