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1、类型一：迭加法求数列通项公式1在数列中，求.解析：，当时， ，将上面个式子相加得到：（），当时，符合上式故.总结升华：1. 在数列中，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列.2.当数列的递推公式是形如的解析式，而的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得.举一反三：【变式1】已知数列，求.【答案】【变式2】数列中，求通项公式.【答案】.类型二：迭乘法求数列通项公式2设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.解析：由题意， ，又，当时，当时，符合上式.总结升华：1. 在数列中，若为常数且，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等比数列.
2、2若数列有形如的解析关系，而的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得.举一反三：【变式1】在数列中，求.【答案】【变式2】已知数列中，求通项公式.【答案】由得， ， ， 当时， 当时，符合上式类型三：倒数法求通项公式3数列中，,，求.思路点拨：对两边同除以得即可.解析：，两边同除以得，成等差数列，公差为d=5，首项，.总结升华：1两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项.2若数列有形如的关系，则可在等式两边同乘以，先求出，再求得.举一反三：【变式1】数列中，求.【答案】
3、【变式2】数列中，,，求.【答案】.类型四：待定系数法求通项公式4已知数列中，求.法一：设，解得即原式化为设，则数列为等比数列，且法二： 由得：设，则数列为等比数列法三：，总结升华：1一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,则可设得，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项.第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法.2若数列有形如（k、b为常数）的线性递推关系，则可用待定系数法求得.举一反三：【变式1】已知数列中，求【答案】令，则，即，为等比数列，且首项为，公比，故.【变式2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.【答案】，设，则，即，数列是以为首
4、项，3为公比的等比数列，. .类型五：和的递推关系的应用5已知数列中，是它的前n项和，并且, .(1)设,求证：数列是等比数列；(2)设，求证：数列是等差数列；(3)求数列的通项公式及前n项和.解析：（1）因为，所以 以上两式等号两边分别相减，得 即，变形得 因为 ，所以 由此可知，数列是公比为2的等比数列. 由, 所以, 所以, 所以.（2） ，所以 将 代入得 由此可知，数列是公差为的等差数列，它的首项， 故.（3），所以 当n2时， 由于也适合此公式， 故所求的前n项和公式是.总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比数列
5、转化为等差、等比数列，求得问题的解决利用等差（比）数列的概念，将已知关系式进行变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这是数列问题中的常见策略.举一反三：【变式1】设数列首项为1，前n项和满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比为，作数列，使，求的通项公式.【答案】（1）， ， 又 ， 是一个首项为1公比为的等比数列； （2） 是一个首项为1公比为的等差比数列 【变式2】若, ()，求.【答案】当n2时，将代入, , 整理得 两边同除以得 （常数） 是以为首项，公差d=2的等差数列， ， .【变式3】等差数列中，前n项和，若.求数列的前n项和.【答案】为等差数列，公差设为, , ,
6、 , 若，则, . ， , , , -得 类型六：数列的应用题6.在一直线上共插13面小旗，相邻两面间距离为10m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？思路点拨： 本题求走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程，然后求和.解析：设将旗集中到第x面小旗处，则 从第一面旗到第面旗处，共走路程为了， 回到第二面处再到第面处是， 回到第三面处再到第面处是， ， 从第面处到第面处取旗再回到第面处的路程为， 从第面处到第面处取旗再回到第面处，路
7、程为202， 总的路程为： ，时,有最小值 答：将旗集中到第7面小旗处，所走路程最短.总结升华：本题属等差数列应用问题，应用等差数列前项和公式，在求和后，利用二次函数求最短路程.举一反三：【变式1】某企业2007年12月份的产值是这年1月份产值的倍，则该企业2007年年度产值的月平均增长率为（ ）A B C D【答案】D；解析：从2月份到12月份共有11个月份比基数（1月份）有产值增长，设为， 则【变式2】某人2006年1月31日存入若干万元人民币，年利率为，到2007年1月31日取款时被银行扣除利息税（税率为）共计元，则该人存款的本金为（）A1.5万元 B2万元 C3万元 D2.5万元【答案
8、】B；解析：本金利息利率，利息利息税税率利息（元），本金（元）【变式3】根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量（万件）近似地满足.按比例预测，在本年度内，需求量超过万件的月份是()A5月、6月 B6月、7月 C7月、8月 D9月、10月【答案】C； 解析：第个月份的需求量超过万件，则解不等式，得，即.【变式4】某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？（即年平均费用最少）【答案】设汽车使用年限为年，为使用该汽车平均费用. 当
9、且仅当，即（年）时等到号成立. 因此该汽车使用10年报废最合算.【变式5】某市2006年底有住房面积1200万平方米，计划从2007年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.（1）分别求2007年底和2008年底的住房面积；（2）求2026年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）【答案】（1）2007年底的住房面积为1200(1+5%)20=1240（万平方米）， 2008年底的住房面积为1200(1+5%)220(1+5%)20=1282（万平方米）， 2007年底的住房面积为1240万平方米； 2008年底的住房面积为1282万平方米.（2）2007年底的住房面积为1200(1+5%)20万平方米， 2008年底的住房面积为1200(1+5%)220(1+5%)20万平方米， 2009年底的住房面积为1200(1+5%)320(1+5%)220(1+5%)20万平方米， 2026年底的住房面积为1200(1+5%)2020(1+5%)1920(1+5%)20 万平方米 即1200(1+5%)2020(1+5%)1920(1+5%)1820(1+5%)20 2522.64（万平方米）， 2026年底的住房面积约为2522.64万平方米. （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
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