含参数二次函数分类讨论的方法总结

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1、. . .二次函数求最值参数分类讨论的方法分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题一般地,对于二次函数y=a2+n,xt,s求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置,利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏,可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。表示对称轴在区间t,s的左侧,表示对称轴在区间t,s内且靠近区间的左端点,表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点,表示对称轴在区间t,s的右侧。然后,再根据口诀开口向上,近则小、远则大；开口向下,近则大、远则小即可快速求出最值。含参数的二次函数

2、求最值的问题大致分为三种题型,无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论题型一：动轴定区间型的二次函数最值例、求函数在上的最值。分析：先配方,再根据对称轴相对于区间的位置讨论,然后根据口诀写出最值。解：此函数图像开口向上,对称轴x=a、当a0时,0距对称轴x=a最近,4距对称轴x=a最远,x=0时,=3,x=4时,=19-8a、当0a2时,a距对称轴x=a最近,4距对称轴x=a最远,x=a时,=3-a2,x=4时,=19-8a、当2a4时,a距对称轴x=a最近,0距对称轴x=a最远,x=a时,=3-a2,x=0时,=3、当4a时,4距对称轴x=a最近,0距对称轴x=a最远,x

3、=4时,=19-8a,x=0时,=3例2、已知函数在区间上最大值为1,求实数a的值分析:取a=0,a0,分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.解:1若a=0,则f=-x-3,而f在上取不到最大值为1,a02若a0,则的对称轴为若,解得,此时a0, 为最大值,但 若解得此时距右端点2较远,最大值符合条件 若解得当时当时综收所述或评注：此类题属于动轴定区间型的二次函数最值,解决此类问题的关键是讨论对称轴相对于定义域区间的位置,讨论时做到不重不漏。题型二：动区间定轴型的二次函数最值例3求函数在xa,a+2上的最值。解：此函数图像开口向上,对称轴x=1当a1时,a距对称轴x

4、=1最近,a+2距x=1最远,当x=a时,=- a+3 ,x=a+2时,= a+2a+3当0a1时,1距对称轴x=1最近,a+2距离x=1最远,当x=1时,=2 ,x=a+2时,= a+2a+3当-1a0时,1距对称轴x=1最近,a距x=1最远,当x=1时,=2 ,x=a时,=a-2a+3当a-1时,a+2距对称轴x=1最近,a距x=1最远,当x=a+2时,= a+2a+3 ,x=a时,= a-2a+3题型三：动轴动区间型的二次函数最值例、已知函数在上恒大于或等于,其中实数,求实数b的范围分析：找出函数的对称轴：结合区间讨论或的情况解：若时,f在上是减函数=即0则条件成立令当3b+53时.即则

5、函数g在上是增函数即解得b3或b-1,b-1当3b+53即,若-30b-310解得与矛盾;若时,即-10a-60解得与矛盾;综上述：b-1评注：此题属于动轴动区间型的二次函数最值,解决的关键是讨论对称轴与定义域区间的位置更便于我们分类类讨论,然后依据口诀,很快就可解决问题。最后,我们在得用分类讨论方法解题中要注意两个原则：一、分类不重不漏；二、一次分类只能按已确定的同一标准进行二次函数分类讨论补充习题1已知函数,若,求函数的最小值,并作出最小值的函数图象。2已知函数,若在区间上恒成立,求实数k的取值范围。3已知k为非零实数,求二次函数的最小值。4已知,若函数在上的最大值为,最小值为,又已知函数

6、,求的表达式。含参数的二次函数问题练习题1、 当时,求函数的最小值。2、 已知函数,若恒成立,求实数的取值范围。3、 当时,函数在时,取得最大值,求实数的取值范围。4、 已知函数,在时有最大值3,最小值2,求实数的取值范围。5、 已知函数,当时,有恒成立,求实数的取值范围。6、 方程至少的一个负数根,求实数的取值范围。7、 方程的两根都在内,求实数的取值范围。8、 方程在上有实根,求实数的取值范围。9、已知,当时,有恒成立,求实数的取值范围。10、已知,当时,有恒成立,求实数的取值范围。11、已知,当时,有恒成立,求实数的取值范围。12、已知,当时,有恒成立,求实数的取值范围。13、函数的图象

7、关于直线对称。据此可推测,对任意的非零实数a,b,c,m,n,p,关于x的方程的解集不可能是A. B C D 含参数的二次函数问题练习题答案：1、；2、；3、；4、；5、6、；7、；8、；9、或；10、；11、；12、；13、D13解析:设则方程,可化为,若此方程有两个等根,则有,可以有选项A,B,若有两个不等根,则有,；如图若的两根为,的两根为,应有的中点与中点应相同,即,选项C符合要求,而选项D中,则不满足。故选D二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边,中间,右边三种情况.设,求在上的

8、最大值与最小值。分析：将配方,得顶点为、对称轴为当时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在m,n上的最值：1当时,的最小值是的最大值是中的较大者。2当时若,由在上是增函数则的最小值是,最大值是若,由在上是减函数则的最大值是,最小值是当时,可类比得结论。二、例题分析归类：一、正向型是指已知二次函数和定义域区间,求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：1轴定,区间定；2轴定,区间变；3轴变,区间定；4轴变,区间变。1. 轴定区间定二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情况是定二次函数在定区间上的最值。例1.函数在

9、区间0,3上的最大值是_,最小值是_。解：函数是定义在区间0,3上的二次函数,其对称轴方程是,顶点坐标为2,2,且其图象开口向下,显然其顶点横坐标在0,3上,如图1所示。函数的最大值为,最小值为。图1练习. 已知,求函数的最值。解：由已知,可得,即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得,其对称轴方程,顶点坐标,且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内,如图2所示。函数的最小值为,最大值为。图22、轴定区间变二次函数是确定的,但它的定义域区间是随参数而变化的,我们称这种情况是定函数在动区间上的最值。例2. 如果函数定义在区间上,求的最小值。解：函数,其对称轴方程为,顶点坐标为1,1,图

10、象开口向上。如图1所示,若顶点横坐标在区间左侧时,有,此时,当时,函数取得最小值。图1如图2所示,若顶点横坐标在区间上时,有,即。当时,函数取得最小值。图2如图3所示,若顶点横坐标在区间右侧时,有,即。当时,函数取得最小值综上讨论,图8例3. 已知,当时,求的最大值解：由已知可求对称轴为1当时,2当,即时,根据对称性若即时,若即时,3当即时,综上,观察前两题的解法,为什么最值有时候分两种情况讨论,而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中,这个二次函数是开口向上的,在闭区间上,它的最小值

11、在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到,有三种可能,所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点,只可能是闭区间的两个端点,哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到,当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解,不难解释第二个例题为什么这样讨论。对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当时当时3、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化,即其图象是运动的,但定义域区间是固定的,我们称这种情况是动二次函数在定区间上的最值。例4. 已知,且,求函数的最值。解：由已知有,于是函数是定义在区间上的二次函数,将配方得：二次函数的对称轴方程是顶点坐标为,图象开口向上由可得,

12、显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上。函数的最小值是,最大值是。图3例5. 求在区间-1,2上的最大值。 求函数在上的最大值。解：二次函数的对称轴方程为,当即时,； 当即时,。综上所述：。函数图象的对称轴方程为,应分,即,和这三种情形讨论,下列三图分别为1；由图可知2；由图可知3 时；由图可知；即4. 轴变区间变二次函数是含参数的函数,而定义域区间也是变化的,我们称这种情况是动二次函数在动区间上的最值。例6.已知,求的最小值。解：将代入u中,得,即时,即时,所以二、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值,求函数或区间中参数的取值。例7. 已知函数在区间上的最大值为4,求实数a的值。 解：1若

13、,不符合题意。2若则由,得3若时,则由,得综上知或例8.已知函数在区间上的最小值是3最大值是3,求,的值。解法1：讨论对称轴中1与的位置关系。若,则解得若,则,无解若,则,无解若,则,无解综上,解析2：由,知,则,又在上当增大时也增大所以解得评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值,缩小了,的取值范围,避开了繁难的分类讨论,解题过程简洁、明了。例9.已知二次函数在区间上的最大值为3,求实数a的值。这是一个逆向最值问题,若从求最值入手,需分与两大类五种情形讨论,过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到,因此先计算这些点的函数值,再检验其真假,过程就简明多了

14、。具体解法为：1令,得此时抛物线开口向下,对称轴方程为,且,故不合题意；2令,得此时抛物线开口向上,闭区间的右端点距离对称轴较远,故符合题意；3若,得此时抛物线开口向下,闭区间的右端点距离对称轴较远,故符合题意。综上,或解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定,且动区间所含参数与确定函数的参数一致,可采用先斩后奏的方法,利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得,不妨令之为最值,验证参数的资格,进行取舍,从而避开繁难的分类讨论,使解题过程简洁、明了。三、巩固训练1函数在上的最小值和最大值分别是 1 ,3 ,3 C ,3 D, 32函数在区间 上的最小值是 23函数的最值为

15、最大值为8,最小值为0不存在最小值,最大值为8 C最小值为0, 不存在最大值 不存在最小值,也不存在最大值4若函数的取值范围是_5已知函数上的最大值是1,则实数a的值为6如果实数满足,那么有 最大值为 1 , 最小值为 无最大值,最小值为 C最大值为 1, 无最小值 最大值为1,最小值为7已知函数在闭区间上有最大值3,最小值2,则的取值范围是 8若,那么的最小值为_9设是方程的两个实根,则的最小值_10设求函数的最小值的解析式。11已知,在区间上的最大值为,求的最小值。12.2009XX卷设为实数,函数.若,求的取值范围；求的最小值；设函数,直接写出不等式的解集.解析本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。1若,则2当时, 当时, 综上3时,得,当时,；当时,0,得：讨论得：当时,解集为;当时,解集为;当时,解集为.14 / 14