不等式证明的基本方法
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1、-绝对值的三角不等式;不等式证明的根本方法一、教学目的1、掌握绝对值的三角不等式;2、掌握不等式证明的根本方法二、知识分析定理1 假设a,b为实数,则,当且仅当ab0时,等号成立。几何说明:1当ab0时,它们落在原点的同一边,此时a与b的距离等于它们到原点距离之和。2如果ab0,则a,b分别落在原点两边,a与b的距离严格小于a与b到原点距离之和以下图为ab0,b0的情况,ab1时,式ab,式成立。故原不等式成立。证法二:当a=b时,原不等式显然成立;当ab时,原不等式成立。点评:此题还可以用三角代换法,复数代换法、数形结合等证明,留给读者去思考。例2、设m等于|a|、|b|和1中最大的一个,当
2、|*|m时,求证:。思路:此题的关键是对题设条件的理解和运用,|a|、|b|和1这三个数中哪一个最大?如果两两比拟大小,将十分复杂,但我们可以得到一个重要的信息:m|a|、m|b|、m1。证明:故原不等式成立。点评:将题设条件中的文字语言“m等于|a|、|b|、1中最大的一个转化为符号的语言“m|a|、m|b|、m1是证明此题的关键。例3、函数的定义域为0,1且。当0,1,时都有,求证:。证明:不妨设,以下分两种情形讨论。假设则,假设则综上所述点评:对于绝对值符号的式子,采用加减*个式子后,重新组合,运用绝对值不等式的性质变形,是证明绝对值不等式的典型方法。例4、a0,b0,求证:。思路:如果
3、用差值比拟法,下一步将是变形,显然需要通分,是统一通分,还是局部通分?从题目构造特点看,应采取局部通分的方法。证明:原不等式成立。点评:在上面得到式后,其分子的符号可由题设条件作出判断,但它没有明显,所以,变形越彻底,越有利于最后的判断,此题还可以用比值比拟法证明,留给读者去完成。例5、设*0,y0,且*y,求证:思路:注意到*、y的对称性,可能会想到重要不等式,但后续思路不好展开,故我们可采用分析法,从消去分数指数幂入手。证明:*0,y0,且*y,点评:在不便运用比拟法或综合法时,应考虑用分析法。应注意分析法表述方法,其中寻求充分条件的语句常用符号“表述。此题应用了分析法,既找到了解题思路,
4、又使问题完满地得到了解决,可谓一举两得。例6、a、b、cR+,求证:。思路:因不等式的左边的两个因式都可以进展因式分解。结合a、b、cR+的条件,运用重要不等式,采用综合法进展证明。解析:即点评:用重要不等式证明不等式,一要注意重要不等式适用的条件,二要为运用重要不等式创造条件。另外,同向不等式相加或相乘,在综合法中常用到。例7、证明:对于任意实数*、y,有思路:采取分析法和比拟法二者并用的方法来处理。证明:用分析法不等式显然成立,下面证明不等式同号,即点评:上述证明中,前半局部用的是分析法,后半局部用的是比拟法,两种方法结合使用,使问题较容易解决,这一点应加以注意。例8、1用反证法证明以下不
5、等式:,求证p+q2。2试证:n2。思路:运用放缩法进展证明。证明:1设p+q2,则p2q,这与=2矛盾,2,又。将上述各式两边分别相加得点评:用放缩法证明不等式过程中,往往采用添项或减项的“添舍放缩,拆项比照的分项放缩,函数的单调性放缩,重要不等式放缩等。放缩时要注意适度,否则不能同向传递。【模拟试题】 1、设a、b是满足ab0,下面四个不等式|a+b|a|;|a+b|b|;|a+b|a|b|中,正确的选项是 A、和 B、和 C、和 D、和 3、下面四个式子;中,成立的有 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 4、假设a、b、cR,且,则以下不等式成立的是 A、 B、C、 D、 5、设a、
6、b、cR,且a、b、c不全相等,则不等式成立的一个充要条件是 A、a、b、c全为正数 B、a、b、c全为非负实数C、 D、 6、a0,1bcb0,则的值的符号为_。 10、设a、b、cR+,假设,则_。 11、*,yR,且,则z的取值围是_。 12、设,求证:。 13、a、b是不等正数,且,求证:。 14、,求证:中至少有一个不小于。 15、设a、b为正数,求证:不等式成立的充要条件是:对于任意实数*1,有【试题答案】 1、B 2、C 3、C 4、B 5、C 6、D 7、A 8、,3 9、负 10、9 11、 12、证明: 13、证明:a、b是不等正数,且而一定成立,故成立。 14、证明:用反证法。假设都小于,则,而,相互矛盾,中至少有一个不小于。 15、证明:设,则不等式对恒成立的充要条件是函数的最小值大于b。当且仅当,时,上式等号成立。故的最小值是。因此,不等式对*1恒成立的充要条件是b。. z.
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