必修四平面向量知识点+例题+练习+答案

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1、-平面向量知识点整理1、 概念向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度 单位向量：长度等于个单位的向量平行向量共线向量：方向一样或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向一样的向量相反向量：向量表示：几何表示法；字母a表示；坐标表示：aj，.向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：. 。零向量：长度为的向量。aOaO.【例题】1.以下命题：1假设，则。2两个向量相等的充要条件是它们的起点一样，终点一样。3假设，则是平行四边形。4假设是平行四边形，则。5假设，则。6假设，则。其中正确的选项是_2.均为单位向量，

2、它们的夹角为，则_2、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相接连端点平行四边形法则的特点：起点一样连对角三角形不等式：运算性质：交换律：；结合律：； 坐标运算：设，则3、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设，则设、两点的坐标分别为，则【例题】1_；_；_2假设正方形的边长为1，则_ 4、向量数乘运算：实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作；当时，的方向与的方向一样； 当时，的方向与的方向相反；当时，运算律：；坐标运算：设，则【例题】1假设M-3，-2，N6，-1，且，则点P的坐标为_5、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使设，

3、。 【例题】 (1)假设向量，当_时与共线且方向一样2，且，则*_6、向量垂直：.【例题】(1)，假设，则 2以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，则点B的坐标是_ 3向量，且，则的坐标是_ 7、平面向量的数量积：零向量与任一向量的数量积为性质：设和都是非零向量，则当与同向时，；当与反向时，；或运算律：；坐标运算：设两个非零向量，则假设，则，或设，则abab0*1*2y1y20. 则abab(b0)*1y2*2y1.设、都是非零向量，是与的夹角，则；注【例题】1ABC中，则_2，与的夹角为，则等于_ 3，则等于_4是两个非零向量，且，则的夹角为_5，如果与的夹角为锐角，则的取

4、值围是_ 6向量sin*，cos*, sin*，sin*, 1，0。1假设*，求向量、的夹角；8、在上的投影：即，它是一个实数，但不一定大于0。【例题】，且，则向量在向量上的投影为_ 9、必修五的容正弦定理其中R表示三角形的外接圆半径： 12a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC3余弦定理1=23；附：ABC的判定：ABC为直角A + B =ABC为钝角A + BABC为锐角A + B附：证明：，在钝角ABC中，在ABC中，有以下等式成立.证明：因为所以，所以，结论！三角形的四个“心；重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 心：三角形三角的平分线相交于

5、一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 非零向量与有关系是：是方向上的单位向量练习题：一、平面向量的概念及其运算1、假设向量满足，则与必须满足的条件为2、假设，则等于 A B C D3、正六边形ABCDEF中， A B C D4、在边长为1的正方形ABCD中，设，则=5、在中，则等于 A B C D6、在中，E、F分别是AB和AC的中点，假设，则等于 A B C D7、：向量 同向，且，则二、平面向量的根本定理及坐标表示8、假设，且，则四边形ABCD是 A是平行四边形 B菱形 C等腰梯形 D不等腰梯形9、且，试求点和的坐标 10、向量，则与同向的单位向量是 A B C D11、，则线段AB

6、中点的坐标是12、假设三点共线，求13、假设向量与相等地，则的值为 A-1 B-1或-4 C4 D1或4三、平面向量的数量积14、，则与的夹角等于15、ABCD为菱形，则的值为16、，且，则向量在方向上的投影为17、向量与的夹角为，且，1求在方向上的投影2求3假设向量与垂直，数的值18、满足且，则19、假设，且与不共线，则与的夹角为20、，假设与的夹角为钝角，则 的取值围是 A B C D21、，则与的夹角为22、，假设点在线段AB的中垂线上，则= 平面向量高考经典试题一、选择题1、向量，则与 .*kb123.A垂直 B不垂直也不平行 C平行且同向 D平行且反向2、向量，假设与垂直，则 AB

7、CD43、假设向量满足，的夹角为60，则=_；4、在中，是边上一点，假设，则 ABCD5、 假设O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 AB. C. D. 6、平面向量，则向量 二、填空题1、向量假设向量，则实数的值是2、假设向量的夹角为，则3、在平面直角坐标系中，正方形的对角线的两端点分别为，则三、解答题：1、ABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0) (1)假设，求的值；(2)假设，求sinA的值2.,当为何值时，1与垂直？2与平行？3，求证：与互相垂直； 4与，问当实数的值为多少时最小。5向量，向量，则的最大值是平面向量知识点整理1、概念向量：既有大

8、小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度 单位向量：长度等于个单位的向量平行向量共线向量：方向一样或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向一样的向量相反向量：向量表示：几何表示法；字母a表示；坐标表示：aj，.向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：. 。零向量：长度为的向量。aOaO.【例题】1.以下命题：1假设，则。2两个向量相等的充要条件是它们的起点一样，终点一样。3假设，则是平行四边形。4假设是平行四边形，则。5假设，则。6假设，则。其中正确的选项是_答：452.均为单位向量，它们的夹角为，则_答：； 2、向量

9、加法运算：三角形法则的特点：首尾相接连端点平行四边形法则的特点：起点一样连对角三角形不等式：运算性质：交换律：；结合律：； 坐标运算：设，则3、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设，则设、两点的坐标分别为，则【例题】1_；_；_ 答：；2假设正方形的边长为1，则_答：；3作用在点的三个力，则合力的终点坐标是答：9,14、向量数乘运算：实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作；当时，的方向与的方向一样； 当时，的方向与的方向相反；当时，运算律：；坐标运算：设，则【例题】1假设M-3，-2，N6，-1，且，则点P的坐标为_答：；5、向量共线定理：向

10、量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使设，。【例题】 (1)假设向量，当_时与共线且方向一样答：2；2，且，则*_答：4；6、向量垂直：.【例题】(1)，假设，则答：； 2以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，则点B的坐标是_ 答：(1,3)或3，1； 3向量，且，则的坐标是_ 答：7、平面向量的数量积：零向量与任一向量的数量积为性质：设和都是非零向量，则当与同向时，；当与反向时，；或运算律：；坐标运算：设两个非零向量，则假设，则，或设，则abab0*1*2y1y20. 则abab(b0)*1y2*2y1.设、都是非零向量，是与的夹角，则；注【例题】1ABC中，则_答：9；2，

11、与的夹角为，则等于_ 答：1；3，则等于_答：；4是两个非零向量，且，则的夹角为_答：5，如果与的夹角为锐角，则的取值围是_ 答：或且；6向量sin*，cos*, sin*，sin*, 1，0。1假设*，求向量、的夹角；答：150；8、在上的投影：即，它是一个实数，但不一定大于0。【例题】，且，则向量在向量上的投影为_ 答：)9、必修五的容正弦定理其中R表示三角形的外接圆半径： 12a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC3余弦定理1=23；附：ABC的判定：ABC为直角A + B =ABC为钝角A + BABC为锐角A + B附：证明：，在钝角ABC中，在ABC中，有以下等式成立

12、.证明：因为所以，所以，结论！三角形的四个“心；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 心：三角形三角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点. 非零向量与有关系是：是方向上的单位向量练习题：一、平面向量的概念及其运算1、假设向量满足，则与必须满足的条件为 方向一样 2、假设，则等于 B A B C D3、正六边形ABCDEF中， D A B C D4、在边长为1的正方形ABCD中，设，则= 2 5、在中，则等于 A A B C D6、在中，E、F分别是AB和AC的中点，假设，则等于 C A B C D7、：向量 同向，且，则 1 二、平面向量的根本定理及

13、坐标表示8、假设，且，则四边形ABCD是 C A是平行四边形 B菱形 C等腰梯形 D不等腰梯形9、且，试求点和的坐标 199页答案：10、向量，则与同向的单位向量是 A A B C D11、，则线段AB中点的坐标是 1，2 12、假设三点共线，求 答案： 13、假设向量与相等地，则的值为 A A-1 B-1或-4 C4 D1或4三、平面向量的数量积14、，则与的夹角等于15、ABCD为菱形，则的值为 0 16、，且，则向量在方向上的投影为 17、向量与的夹角为，且，1求在方向上的投影2求3假设向量与垂直，数的值答案：1-2，2，318、满足且，则19、假设，且与不共线，则与的夹角为20、，假设

14、与的夹角为钝角，则 的取值围是 A A B C D21、，则与的夹角为22、，假设点在线段AB的中垂线上，则= 平面向量高考经典试题一、选择题1向量，则与 .*kb123.A垂直 B不垂直也不平行 C平行且同向 D平行且反向2、向量，假设与垂直，则 AB CD43、假设向量满足，的夹角为60，则=_；4、在中，是边上一点，假设，则 ABCD6、 假设O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 AB. C. D. 6、平面向量，则向量 二、填空题1、向量假设向量，则实数的值是2、假设向量的夹角为，则3、在平面直角坐标系中，正方形的对角线的两端点分别为，则三、解答题：1、ABC三个顶点的直

15、角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0) (1)假设，求的值；(2)假设，求sinA的值2.,当为何值时，1与垂直？2与平行？3，求证：与互相垂直； 4与，问当实数的值为多少时最小。5向量，向量，则的最大值是6、在中，角的对边分别为1求；2假设，且，求7、在中，分别是三个角的对边假设，求的面积8、设锐角三角形ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，求B的大小；假设，求b9、在中，求角的大小；假设最大边的边长为，求最小边的边长答案选择题1、A. 向量，则与垂直。 .*kb123.2、C ，由与垂直可得：， 。3、解析：，4、A 在ABC中，D是AB边上一点，假设=2，=，则=， l

16、=。5、B 由向量的减法知6、D 填空题1、解析：向量量，则2+4+=0，实数=32、【解析】。3、解析：解答题1、解: (1) 由 得 (2) 2.,当为何值时，1与垂直？2与平行？3，求证：与互相垂直； 4与，问当实数的值为多少时最小。5向量，向量，则的最大值是6、解：1又 解得，是锐角2， ，又7、解： 由题意，得为锐角， ， 由正弦定理得， 8、解：由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得根据余弦定理，得所以，9、本小题主要考察两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的根本知识以及推理和运算能力，总分值12分解：， 又，边最大，即又，角最小，边为最小边由且，得由得：所以，最小边. z.