波约·格尔文定理的应用与高考题课件

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1、波约格尔文定理的应用与高考题波约波约格尔文定理的应用格尔文定理的应用与高考题与高考题波约格尔文定理的应用与高考题高考题高考题（0202年全国）年全国） (I)给出两块相同正给出两块相同正三角形纸片，要求三角形纸片，要求用其中一块剪拼成用其中一块剪拼成一个一个正三棱锥正三棱锥模型，模型，另一块剪拼成一个另一块剪拼成一个正三棱柱正三棱柱模型，使模型，使它们的全面积都与它们的全面积都与原三角形的面积相原三角形的面积相等，等， 该拼图题的本质是：该拼图题的本质是： 设计一种剪拼方法。设计一种剪拼方法。把一个正三角形剪把一个正三角形剪拼成一个与之面积拼成一个与之面积相同的正三棱锥或相同的正三棱锥或一个正

2、三棱柱的表一个正三棱柱的表面展开图。面展开图。 波约格尔文定理的应用与高考题正三棱锥的制作：正三棱锥的制作：把正三角形剖分为把正三角形剖分为9 9个个小正三角形，取其中小正三角形，取其中1 1个作为正三棱锥底面，个作为正三棱锥底面，余下余下8 8个经过剖分拼成个经过剖分拼成正三棱锥的三个侧面。正三棱锥的三个侧面。 该题有无穷多解。该题有无穷多解。正三棱柱的制作：正三棱柱的制作：把正三角形剖分为把正三角形剖分为9 9个个小正三角形，取其中小正三角形，取其中2 2个作为正三棱柱底面，个作为正三棱柱底面，余下余下7 7个经过剖分拼成个经过剖分拼成正三棱锥的三个侧面。正三棱锥的三个侧面。 更一般的制作

3、法更一般的制作法波约格尔文定理的应用与高考题 02年全国高考第年全国高考第22题续题续 (II)比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小的体积的大小; (III)如果给你一块任意三角形的纸片，如果给你一块任意三角形的纸片，要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与原三角形的面积相等，请设计全面积与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，并作简要说明一种剪拼方法，并作简要说明. 进一步的问题：进一步的问题： 1.1.对对(II)(II)，怎样的正三棱锥与正三棱柱，怎样的正三棱锥与正三棱柱体积分别最大？这两者体积哪个更大？体积分别最

4、大？这两者体积哪个更大？ 2.2.对对(III)(III)，若要使该直三棱柱体积最，若要使该直三棱柱体积最大，形状、大小如何？大，形状、大小如何？ 在制作上可行吗？在制作上可行吗？ 3.3.一般的，制作表面积相等且体积最大一般的，制作表面积相等且体积最大的三棱柱与正三棱锥，哪个更大？的三棱柱与正三棱锥，哪个更大？波约格尔文定理的应用与高考题另一个经典问题：另一个经典问题：用长方形纸板制作体积最大的无盖长方体用长方形纸板制作体积最大的无盖长方体 怎样将一张长怎样将一张长2a、宽、宽2b的矩形纸板做成一只体的矩形纸板做成一只体积最大的无盖长方体纸盒？积最大的无盖长方体纸盒？ 制作：剪掉边长为制作：

5、剪掉边长为x的的4个小正方形，再折起来。个小正方形，再折起来。 于是于是V=x(2a-2x)(2b-2x)， 求得最大值点有两种方法：求得最大值点有两种方法： 初等方法初等方法基本不等式；基本不等式； 高等方法高等方法导数。导数。 如果要求不浪费材料呢？如果要求不浪费材料呢？ 可先不考虑如何制作。可先不考虑如何制作。波约格尔文定理的应用与高考题不浪费材料不浪费材料制作体积最大的无盖长方体盒子制作体积最大的无盖长方体盒子 用一张长用一张长2a、宽、宽2b的矩形纸板制作的矩形纸板制作无盖长方体盒子，怎样设计使长方无盖长方体盒子，怎样设计使长方体盒体积最大？体盒体积最大？ 解解:由于由于4ab=xy

6、+2yz+2zx为定值为定值, , 而而xy2yz2zx = 4x2y2z2=4v2. 故当故当xy=2yz=2zx， 即即x=y=2z时时,体积体积v最大。最大。 此时无盖长方体是半个正方体，其此时无盖长方体是半个正方体，其侧面积是底面积的两倍。侧面积是底面积的两倍。 如果制作的是有盖（即封闭）的长如果制作的是有盖（即封闭）的长方体，何时体积最大呢？方体，何时体积最大呢？ 能否把能否把“无盖无盖”的问题转化为的问题转化为“有有盖盖”的问题吗？的问题吗？xy=xz=x波约格尔文定理的应用与高考题一个实例一个实例 如何用一张长如何用一张长8 8、宽宽6 6的长方形纸板的长方形纸板制作一个体积最制

7、作一个体积最大的无盖长方体大的无盖长方体纸盒？纸盒？ 计算可知：计算可知： 体积最大的无盖体积最大的无盖长方体纸盒，其长方体纸盒，其底面是边长为底面是边长为4 4的的正方形，高为正方形，高为2 2。 4 4 2 4 2 268波约格尔文定理的应用与高考题更一般的问题：更一般的问题：表面积为定值体积最大的柱体如何？表面积为定值体积最大的柱体如何？ 表面积为定值，体积最大的柱体为圆柱。表面积为定值，体积最大的柱体为圆柱。 首先证：表面积为定值首先证：表面积为定值s s体积最大的柱体体积最大的柱体C C必为直柱体。必为直柱体。用反证法证明。用反证法证明。假设柱体假设柱体C不是直柱体，那么柱体不是直柱

8、体，那么柱体C的侧面展开图必是一个非矩形的平行四的侧面展开图必是一个非矩形的平行四边形。构造一个底面与柱体边形。构造一个底面与柱体C的底面全等且表面积仍为的底面全等且表面积仍为s的直柱体的直柱体A，则直柱，则直柱体体A的侧面积与柱体的侧面积与柱体C的侧面积相等。的侧面积相等。由于柱体的侧面展开图是两边分别为底面周长和侧棱长的平行四边形，而直由于柱体的侧面展开图是两边分别为底面周长和侧棱长的平行四边形，而直柱体柱体A的侧面展开图是矩形，因此直柱体的侧面展开图是矩形，因此直柱体A的侧棱长（即的侧棱长（即A的高）与柱体的高）与柱体C的的斜高相等。斜高相等。由假设柱体由假设柱体C不是直柱体，可知其高小

9、于其斜高，所以直柱体不是直柱体，可知其高小于其斜高，所以直柱体A的体积大于的体积大于柱体柱体C的体积。这与的体积。这与C是体积最大的柱体矛盾。所以柱体是体积最大的柱体矛盾。所以柱体C必是直柱体。必是直柱体。 以下进一步证明直柱体以下进一步证明直柱体C C是圆柱。仍用反证法。是圆柱。仍用反证法。假设直柱体假设直柱体C的底面不是圆，构造一底面与柱体的底面不是圆，构造一底面与柱体C的底面面积相等且侧面积的底面面积相等且侧面积也相等的圆柱也相等的圆柱Q。由等周定理可知，圆柱由等周定理可知，圆柱Q的底面周长比柱体的底面周长比柱体C的底面周长小，于是圆柱的底面周长小，于是圆柱Q的的高比柱体高比柱体C的高大

10、，这与柱体的高大，这与柱体C是体积最大矛盾，所以柱体是体积最大矛盾，所以柱体C必是圆柱。必是圆柱。 同理可证：同理可证：表面积为定值，体积最大的表面积为定值，体积最大的n n棱柱体为正棱柱体为正n n棱柱。棱柱。 体积最大的柱体（含正体积最大的柱体（含正n棱柱和圆柱），其大小如何？棱柱和圆柱），其大小如何？ 侧面积是底面积和的两倍。侧面积是底面积和的两倍。 变式：变式：如果柱体是无盖的，怎么解决？如果柱体是无盖的，怎么解决？波约格尔文定理的应用与高考题 重新审视：重新审视：02年全国高考第年全国高考第22题题 (II)比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小的体

11、积的大小; (III)如果给你一块任意三角形的纸片，如果给你一块任意三角形的纸片，要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与原三角形的面积相等，请设计全面积与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，并作简要说明一种剪拼方法，并作简要说明. 进一步问题的解决：进一步问题的解决： 对对(III)(III)，若要使该直三棱柱体积最大，若要使该直三棱柱体积最大，形状、大小如何？形状、大小如何？ 如何用已知的多边形制作该棱柱呢？如何用已知的多边形制作该棱柱呢？ 一般的，制作表面积相等且体积最大的一般的，制作表面积相等且体积最大的三棱柱与正三棱锥，哪个更大？三棱柱与正三棱

12、锥，哪个更大？波约格尔文定理的应用与高考题1个高考题个高考题 用一块钢板制作一个容用一块钢板制作一个容积为积为4m3的无盖长方体水的无盖长方体水箱，可用的长方形钢板箱，可用的长方形钢板有四种不同的规格，若有四种不同的规格，若既要够用，又要所剩最既要够用，又要所剩最少，则应选择的钢板规少，则应选择的钢板规格（单位均为格（单位均为m）是（）是（ ） A.25 B. 25.5 C.26.1 D.35分析：首先要知道容积分析：首先要知道容积为为4m3的无盖长方体水的无盖长方体水箱表面积最少是多少？箱表面积最少是多少？ 12)(432232abccabcabS问题探讨：问题探讨：体积一定，表面积最小的柱

13、体。体积一定，表面积最小的柱体。波约格尔文定理的应用与高考题问题探讨问题探讨 1.体积为定值表面积最小的体积为定值表面积最小的n棱柱（有盖）的形状棱柱（有盖）的形状如何？说明理由。如何？说明理由。 正正n棱柱。棱柱。 2. 体积为定值体积为定值v，表面积最小的，表面积最小的n棱柱体（有盖）棱柱体（有盖）大小如何？大小如何？ 该正该正n n棱柱的侧面积是底面积的棱柱的侧面积是底面积的4 4倍时表面积最小。倍时表面积最小。 3.体积为定值体积为定值v，表面积最小的柱体（有盖）的形，表面积最小的柱体（有盖）的形状如何？其大小呢？状如何？其大小呢？ 圆柱。且其侧面积是底面积的圆柱。且其侧面积是底面积的

14、4 4倍时表面积最小。倍时表面积最小。 如果体积为定值的柱体是无盖的，情况又如何？如果体积为定值的柱体是无盖的，情况又如何？ 如何将问题转化为有盖的？如何将问题转化为有盖的？波约格尔文定理的应用与高考题实际中实际中“最好最好”的柱形桶的柱形桶 在实际中，对于体积一定的柱体形桶容器（有盖），在实际中，对于体积一定的柱体形桶容器（有盖），桶底和桶壁材料费用不同。这时如果从桶的制作成本来桶底和桶壁材料费用不同。这时如果从桶的制作成本来看，最好的桶应使得桶底和桶壁材料的费用总和最小。看，最好的桶应使得桶底和桶壁材料的费用总和最小。 可证可证“最好的最好的”的柱体形桶仍为圆柱。的柱体形桶仍为圆柱。设圆柱形桶的体积为设圆柱形桶的体积为V，底半径为，底半径为r，高为，高为h，桶底和桶壁的材，桶底和桶壁的材料费用分别为料费用分别为m和和n（单位费用），总费用为单位费用），总费用为W元，则元，则 2222222rVnrmrrhnmrWrnVrnVmrrnVmr2222232223VmnrnVmr22对于体积一定的柱体形桶，当该桶是对于体积一定的柱体形桶，当该桶是高和底面直径与其高和底面直径与其桶壁和桶底材料费用成反比桶壁和桶底材料费用成反比的圆柱时，材料总费用最少。的圆柱时，材料总费用最少。 rnmrVh22当且仅当当且仅当即即取等号。取等号。