8.2_空间几何体的表面积与体积学习教案

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1、会计学18.2_空间空间(kngjin)几何体的表面积与体几何体的表面积与体积积第一页，共51页。 圆台圆台直棱柱直棱柱正棱锥正棱锥正棱台正棱台 球球侧Slrr)(21hSSSSV)(31下上下上hrrrr)(31212221侧SChVSh侧ShC 21VSh31侧ShCC)(21hSSSSV)(31下上下上球面S24RV334R第1页/共51页第二页，共51页。2.几何体的表面积 （1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是(jish) . （2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、 、 ；它们的表面积等于 .各面面积(min j)之和矩形扇形(shn xn)扇环形侧面积与底面面积之和第2页/共51

2、页第三页，共51页。基础自测1.母线长为1的圆锥(yunzhu)的侧面展开图的圆心角等 于 ,则该圆锥(yunzhu)的体积为（ ） A. B. C. D. 解析 设圆锥(yunzhu)的底面半径为r，则34812281881548110,32,3412rr.35)32(12h圆锥的高.8154312hrV圆锥的体积C第3页/共51页第四页，共51页。2.（2008湖北）用与球心距离为1的平面去截 球，所得的截面面积为，则球的体积为( ) A. B. C. D. 解析(ji x) 截面面积为，则该小圆的半径为1， 设球的半径为R，则R2=12+12=2，R= ，38328283322.3283

3、43RVB第4页/共51页第五页，共51页。3.（2009陕西）若正方体的棱长为 ，则以该正 方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 ( ) A. B. C. D. 解析 由题意可知，此几何体是由同底面的两 个正四棱锥组成(z chn)的，底面正方形的边长为1，每 一个正四棱锥的高为 ，所以6232333222.322213122VB2第5页/共51页第六页，共51页。4.（2009海南）一个棱锥(lngzhu)的三视图如下图，则该 棱锥(lngzhu)的全面积(单位:cm2)为 ( ) A. B. C. D.21248212362243622448第6页/共51页第七页，共51页。解析 该

4、几何体是一个底面为直角三角形的三棱锥(lngzhu)，如图，SE=5，SD=4，AC= ，AB=BC=6，S全=SABC+2SSAB+SASC答案 A. 212484262165212662126第7页/共51页第八页，共51页。5.（2008山东）如图是一个(y )几何体的三视图,根据 图中数据,可得该几何体的表面积是 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 解析 几何体为一个(y )球与一个(y )圆柱的组合体, S=412+122+213=12.D第8页/共51页第九页，共51页。题型一 几何体的展开与折叠 有一根长为3 cm，底面半径为1 cm的 圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠

5、绕2圈，并 使铁丝的两个端点(dun din)落在圆柱的同一母线的两端, 则铁丝的最短长度为多少？ 把圆柱沿这条母线展开，将问题转 化为平面上两点间的最短距离.题型分类 深度(shnd)剖析第9页/共51页第十页，共51页。解 把圆柱侧面(cmin)及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD（如图所示），由题意知BC=3 cm，AB=4 cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.故铁丝的最短长度为5 cm.cm,522BCABAC第10页/共51页第十一页，共51页。 求立体图形表面上两点的最短距离问题，是立体几何中的一个重要题型.这类题目的特点是：立体图

6、形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上.为了便于发现它们图形间性质与数量上的相互(xingh)关系，必须将图中的某些平面旋转到同一平面上，或者将曲面展开为平面，使问题得到解决.其基本步骤是：展开（有时全部展开，有时部分展开）为平面图形，找出表示最短距离的线段，再计算此线段的长. 第11页/共51页第十二页，共51页。知能迁移1 如图所示，长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=a， BC=b，BB1=c，并且abc0. 求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长. 本题可将长方体表面展开，利用(lyng)平面 内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答. 解 将长方体相

7、邻两个面展开有下列三种可 能，如图所示.第12页/共51页第十三页，共51页。三个图形(txng)甲、乙、丙中AC1的长分别为.2. 0, 0,2)(,2)(,2)(222222222222222222bccbabcacabcbaaccbabcabccbacbaabcbacba故最短线路的长为第13页/共51页第十四页，共51页。题型二 旋转体的表面积及其体积 如图所示,半径为R的半圆内的 阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋 转一周(y zhu)得到一几何体,求该几何体的 表面积(其中BAC=30)及其体积. 先分析阴影部分旋转后形成几何体的 形状,再求表面积.第14页/共51页第十五页，共5

8、1页。解 如图所示,过C作CO1AB于O1,在半圆(bnyun)中可得BCA=90,BAC=30,AB=2R,AC= ,BC=R,S球=4R2,R3,231RCO ,231123234,2323,233232222112121RRRRSSSSRRRSRRRSBOAOBOAO侧圆锥侧圆锥球几何体表侧圆锥侧圆锥.23112R表面积为旋转所得到的几何体的第15页/共51页第十六页，共51页。 解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成(xngchng)的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算. .652134)(41314131,34333111221111221113RRRVVVV

9、BORCOBOVAORCOAOVRVBOAOBOAO圆锥圆锥球几何体圆锥圆锥球又第16页/共51页第十七页，共51页。知能迁移2 已知球的半径(bnjng)为R，在球内作一个内 接圆柱，这个圆柱底面半径(bnjng)与高为何值时，它 的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？ 解 如图为轴截面. 设圆柱的高为h，底面半径(bnjng)为r， 侧面积为S，则,)2(222Rrh.2414,2,22,21.41)21(4)(442.2242242222222222RRRhRrRrRRrrRrrRrrhSrRh最大值是最大圆柱侧面积时即当且仅当即第17页/共51页第十八页，共51页。题型三 多面体的表面积

10、及其体积 一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长 为 ，求这个(zh ge)三棱锥的体积. 本题为求棱锥的体积问题.已知底面 边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积 和高，再根据体积公式求出其体积. 解 如图所示， 正三棱锥SABC. 设H为正ABC的中心， 连接SH， 则SH的长即为该正三棱锥的高.15第18页/共51页第十九页，共51页。连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点(zhn din)，且AHBC.ABC是边长为6的正三角形，, 33623AE. 93393131312153215,Rt. 393362121,. 323222SHSV，AHSASH，AHSASHAAEBCSABCA

11、EAHABCABC正三棱锥中在中在第19页/共51页第二十页，共51页。 求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式 进行计算即可.常用方法：割补法和等积变换法.（1）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积，从而(cng r)得出几何体的体积.（2）等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面.求体积时，可选择容易计算的方式来计算；利用“等积性”可求“点到面的距离”.ShV31第20页/共51页第二十一页，共51页。知能迁移3 如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD是边长为1的正方形， 且ADE、BCF均为正三角形， EFAB

12、，EF=2，则该多面体的体积为( ) A. B. C. D. 解析 本题中的多面体是一个不规则的几何体, 因此可考虑(kol)对其进行分割或补形.32333423第21页/共51页第二十二页，共51页。如图所示，分别过A、B作EF的垂线，垂足(chu z)分别为G、H，连接DG、CH,容易求得GDAGHFEG,21,23 HCBH.32142214231214231,4212221BCHADGBHCFADGEBHCAGDVVVVSS答案(d n) A第22页/共51页第二十三页，共51页。题型四 组合体的表面积及其体积 (12分)如图所示,在等腰梯形ABCD中, AB=2DC=2，DAB=60

13、，E为AB的中点， 将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起， 使A、B重合,求形成的三棱锥的外接球的体积. 易知折叠成的几何体是棱长为1的正 四面体，要求(yoqi)外接球的体积只要求(yoqi)出外接球的 半径即可. 解 由已知条件知，平面图形中 AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. 折叠后得到一个正四面体. 2分 第23页/共51页第二十四页，共51页。方法(fngf)一 作AF平面DEC，垂足为F，F即为DEC的中心.取EC的中点G，连接DG、AG，过球心O作OH平面AEC.则垂足H为AEC的中心. 4分外接球半径可利用OHAGFA求得.在AFG和AHO中，根据三角形相似可知

14、，,36)33(1,232AFAG.864663434.46363323.3333OAAFAHAGOAAH外接球体积为6分10分12分第24页/共51页第二十五页，共51页。方法(fngf)二 如图所示，把正四面体放在正方体中.显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球. 3分正四面体的棱长为1，正方体的棱长为 ， 6分22.86.86)46(34,46,22323为该三棱锥外接球的体积体积为外接球直径RR9分12分第25页/共51页第二十六页，共51页。 （1）折叠问题是高考经常考查的内容之一，解决这类问题的关键是搞清楚处在折线同一个半平面的量是不变的，然后根据翻折前后图形及数量的关系的变化，

15、借助立体几何与平面几何知识(zh shi)即可求解.（2）与球有关的组合体，是近几年高考常考的题目，主要考查空间想象能力及截面图的应用，因此画出组合体的截面图是解决这类题的关键.第26页/共51页第二十七页，共51页。知能迁移4 （2009全国）直三棱柱ABCA1B1C1 的各顶点都在同一球面上. 若AB=AC=AA1=2， BAC=120，则此球的表面积等于 . 解析 在ABC中,由余弦定理知BC2=AB2+AC2 -2ABACcos 120=4+4-222 由正弦定理知ABC的外接圆半径r满足(mnz) r=2,由题意知球心到平面ABC的距离为1， 设球的半径为R，则 S球=4R2=20.

16、,12)21(. 32BC,2120sin32r, 5122R20第27页/共51页第二十八页，共51页。方法与技巧1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱 锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的 结构特点与平面几何知识来解决.2.要注意将空间问题转化为平面问题.3.当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无 法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中 的已知元素(yun s)彼此离散时,我们可采用“割”、 “补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体 （柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供 便利.思想方法(fngf) 感悟提高第28页/共51页第二十九页，共51页。（1）几何体的“分割”几何体

17、的分割即将已知的几何体按照结论的要求,分割成若干个易求体积的几何体,进而求之.(2)几何体的“补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等.另外(ln wi)补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法,由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积.（3）有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素.第29页/共51页第三十页，共51页。失误(shw)与防范1.将几何体展开为平面图形时,要注意在何处剪 开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一 条母线剪开.2.与球有关的组合体问

18、题，一种是内切，一种是 外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点 的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出 合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正 方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直 径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面 上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与 旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题, 球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和 球心，或“切点”、“接点”作出截面图.第30页/共51页第三十一页，共51页。一、选择题1.如图所示，一个空间(kngjin)几何体的正视图、侧视图、 俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角 形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为

19、( ) 定时(dn sh)检测第31页/共51页第三十二页，共51页。解析 由三视图知该几何体为三棱锥(lngzhu)，记为SABC，其中AS=AB=AC=1且两两互相垂直，61.D31.C21.B1 .A.612131SAACABV答案(d n) D第32页/共51页第三十三页，共51页。2.一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的 表面积是 ( ) A.8 B.6 C.4 D. 解析(ji x) 设正方体的棱长为a,则a3=8,a=2.而此 正方体的内切球直径为2,S表=4r2=4.C第33页/共51页第三十四页，共51页。3.已知各顶点都在同一个球面(qimin)上的正四棱锥高为3，

20、 体积为6，则这个球的表面积是 ( ) A.16 B.20 C.24 D.32 解析 设正四棱锥高为h，底面边长为a， 可利用三角形相 似计算出球的半径r=2，S球=4r2=16., 6, 63122aahaV由A第34页/共51页第三十五页，共51页。4.如图是一个(y )几何体的三视图，则这个几何体的体 积是 ( ) A.27 B.30 C.33 D.36第35页/共51页第三十六页，共51页。解析 由三视图知该几何体为组合体，由一个正四棱锥与一个正方体叠加构成，其中(qzhng)正方体的棱长为3，正四棱锥高为1，底面正方形边长为3,V=V柱+V锥=答案 B.30193133第36页/共5

21、1页第三十七页，共51页。5.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面 相切，若这个球的体积(tj)是 则这个三棱柱的体 积是( ) A. B. C. D. 解析 由 得R=2.正三棱柱的高 h=4. 设其底面边长为a，则,332396324316348,332343R. 34, 22331aaD. 3484)34(432V第37页/共51页第三十八页，共51页。6.某师傅需用合板制作(zhzu)一个工作台， 工作台由主体和附属两部分组成， 主体部分全封闭，附属部分是 为了防止工件滑出台面而设置的 护墙，其大致形状的三视图如图 所示（长度单位：cm），则按图中尺寸，做成的 工作台用去的合板

22、的面积为（制作(zhzu)过程合板损耗 和合板厚度忽略不计）( ) A.40 000 cm2 B.40 800 cm2 C.1 600(22+ ) cm2 D.41 600 cm217第38页/共51页第三十九页，共51页。解析 由三视图知该工作台是棱长为80 cm的正方体上面围上一块矩形和两块直角三角形的合板，如图所示，则用去的合板的面积(min j)S=6802+80202=41 600 cm2.答案 D第39页/共51页第四十页，共51页。二、填空题7.（2009辽宁）设某几何体的三视图如下（尺寸 的长度单位(dnwi)：m）. 则该几何体的体积为 m3.第40页/共51页第四十一页，共

23、51页。解析 由三视图可知(k zh)，该几何体为三棱锥（如图），AC=4，SO=2，BD=3,答案 4. 42342131ABCSV第41页/共51页第四十二页，共51页。8.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2 ，则四面体 AB1CD1的外接球的体积为 . 解析(ji x) 四面体AB1CD1的外接球即为正方体的外 接球，所以3.)32(322r.36273434, 33rVr球36第42页/共51页第四十三页，共51页。9.如图所示，已知一个多面体的平面 展开图由一个边长为1的正方形和4 个边长为1的正三角形组成，则该多 面体的体积是 . 解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长 为

24、1，侧棱长为1，斜高(xi o)为 ，连结顶点和底面 中心即为高，可求高为 ，所以体积 23221131V.622262第43页/共51页第四十四页，共51页。三、解答题10.直三棱柱高为6 cm，底面三角形的边长分别为 3 cm,4 cm，5 cm，将棱柱削成圆柱，求削去部 分体积的最小值. 解 如图所示，只有当圆柱的底面圆 为直三棱柱的底面三角形的内切圆时， 圆柱的体积最大，削去部分体积才能 最小，设此时(c sh)圆柱的底面半径为R， 圆柱的高即为直三棱柱的高.第44页/共51页第四十五页，共51页。在ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，ABC为直角三角形.根据直角三角形内切圆的性质

25、可得7-2R=5，R=1.V圆柱(yunzh)=R2h=6.而三棱柱的体积为削去部分体积为36-6=6（6-） （cm3）. 即削去部分体积的最小值为6（6-） cm3.3664321三棱柱V第45页/共51页第四十六页，共51页。11.如图所示，一个直三棱柱形容器 中盛有水，且侧棱AA1=8.若侧面 AA1B1B水平放置时，液面恰好过 AC、BC、A1C1、B1C1的中点，当底面ABC水平放置 时，液面高为多少？ 解 当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四 棱柱形，底面ABFE为梯形. 设ABC的面积(min j)为S，则S梯形ABFE= 当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形， 设

26、水面高为h，则有V水=Sh,6S=Sh，h=6. 故当底面ABC水平放置时，液面高为6.,43S.6431SAASV水第46页/共51页第四十七页，共51页。12.一几何体按比例绘制(huzh)的三视图如图所示 （单位：m）: （1）试画出它的直观图； （2）求它的表面积和体积.第47页/共51页第四十八页，共51页。解 （1）直观图如图所示：（2）方法一 由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角,且该几何体的体积是以A1A,A1D1,A1B1为棱的长方体的体积的 ，在直角(zhjio)梯形AA1B1B中，作BEA1B1于E，则AA1EB是正方形,AA1=BE=1.43第48页/共51页第四十

27、九页，共51页。在RtBEB1中，BE=1，EB1=1，BB1= .几何体的表面积2BBAADDAASSS11112梯形正方形111111矩形DCBAABCDCCBBSSS矩形正方形).(m27211211)21 (21212.m23,m)27(),(m2312143323体积为该几何体的表面积为几何体的体积V第49页/共51页第五十页，共51页。方法二 几何体也可以(ky)看作是以AA1B1B为底面的直四棱柱，其表面积求法同方法一，.m23m)27().(m2311)21 (213231111体积为几何体的表面积为直四棱柱ShVBABACDCD 返回(fnhu) 第50页/共51页第五十一页，共51页。