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1、-导数应用恒成立问题练习1. 函数I求函数的单调递减区间；II假设在上恒成立，数的取值围；III过点作函数图像的切线，求切线方程解得函数的单调递减区间是； 即设那么当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；最小值实数的取值围是； 设切点那么即设，当时是单调递增函数 最多只有一个根，又切线方程为2.1求函数在点处处的切线方程；2假设不等式对恒成立，数的取值围；3.假设存在,使得,数的取值围。解：12法一：原问题等价于对恒成立，即令，由得所以，即。法二：原问题等价于函数的图像恒在函数的图像的下方，临界情况是与相切。设函数的切点为，那么，所以，又切点在，所以，所以，那么。所以，对恒成立时，。3原问题等
2、价于:存在，使得，那么只需，即。由得，那么。由得所以，。，所以得，即即的围是。注意：，用了第2问结论3.函数是定义在上的奇函数,当时, (其中e是自然界对数的底,)1求的解析式;2设，求证：当时，且，恒成立；3是否存在实数a，使得当时，的最小值是3 ？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。解：1设，那么，所以又因为是定义在上的奇函数，所以故函数的解析式为2证明：当且时，设因为，所以当时，此时单调递减；当时，此时单调递增，所以 又因为，所以当时，此时单调递减，所以所以当时，即3解：假设存在实数，使得当时，有最小值是3，那么当，时，在区间上单调递增，不满足最小值是当，时，在区间上单调递
3、增，也不满足最小值是当，由于，那么，故函数 是上的增函数所以，解得舍去当时，那么当时，此时函数是减函数；当时，此时函数是增函数所以，解得综上可知，存在实数，使得当时，有最小值34.函数，（1） 数b的值；2在上恒成立，数的取值围解：()由得，所以.由得， 又，即在上恒成立，设，.在上是增函数，在上是减函数，.故实数的取值围是.5.设函数1求函数的极值点;2当时，假设对任意的，恒有，求的取值围。解：1，的定义域为，当时，在 上无极值点. 当，令、随的变化情况如下表：x+0 -递增极大值递减从上表可以看出：当p0时，f(x)有唯一极大值点.(2)由1可知，当p0时，f(x)在处取极大值，此极大值也
4、是最大值。要使f(x)0恒成立，只需0.解得p,故p的取值围为。6.函数1当时，函数的图像在点处的切线方程；2当时，解不等式；3当时,对,直线的图像下方.求整数 的最大值.解：1，当时切线23当时,直线的图像下方，得问题等价于对任意恒成立. 当时，令， 令，故在上是增函数由于所以存在，使得那么；，即；知在递减，递增又 ，所以=3 7.函数=，其中a0. 假设a=1，求曲线在点处的切线方程；假设在区间上，恒成立，求a的取值围。解：当a=1时，fx=，f2=3；f(x)=, f(2)=6.所以曲线y=fx在点2，f2处的切线方程为y-3=6x-2，即y=6x-9.f(x)=.令f(x)=0，解得x
5、=0或x=.以下分两种情况讨论：（1） 假设，当x变化时，f(x)，fx的变化情况如下表：X0f(x)+0-f(x)极大值 当等价于 解不等式组得-5a2，那么.当x变化时，f(x),fx的变化情况如下表：X0f(x)+0-0+f(x)极大值极小值当时，fx0等价于即解不等式组得或.因此2a5. 综合1和2，可知a的取值围为0a，即当时，当时，10.函数假设曲线y=f(x)在点P1，f(1)处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f(x)的单调区间；假设对于任意成立，试求a的取值围；记g(x)=f(x)+x-b(bR).当a=1时，函数g(x)在区间上有两个零点，数b的取值围。解：直线y=x+
6、2的斜率为1， 函数f(x)的定义域为 因为，所以，所以a=1所以由解得x2 ; 由解得0x1，由解得0x1所以函数g(x)在区间上有两个零点，所以 解得所以b得取值围是的单调递减区间为，；单调递增区间为.11.函数aR，e为自然对数的底数 当a1时，求的单调区间； 假设函数在上无零点，求a的最小值。解：I当由由故 II因为上恒成立不可能，故要使函数上无零点，只要对任意的恒成立，即对恒成立。令那么综上，假设函数12.函数fxlnaa为常数是实数集R上的奇函数，函数gxfxsinx是区间1，1上的减函数1求a的值；2求关于x的方程的根的个数；3假设gx1在x1，1上恒成立，求t的取值围解：1是奇
7、函数，那么恒成立.即2由1知 令， 当上为增函数；上为减函数，当时， 而，只有一个根. 3又在1，1上单调递减，且 令那么. 13.函数。1当时，求的单调区间、最大值；2设函数，假设存在实数使得，求m的取值围。解：1当时，。 当时，函数在区间上是增函数； 当时，函数在区间上是减函数； 所以的最大值为。 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为。2由。当时，函数在区间上是减函数； 当时，函数在区间上是增函数；所以的最小值为。 假设存在实数，使得，那么，解得。所以m的取值围为。 14.设函数，曲线在点处切线斜率为.1求;2假设存在,使得,求的取值围.1，215.设函数其中的图像在处的切线与
8、直线垂直1求函数的极值与零点；2设，假设对任意，存在，使成立，数的取值围； 解：1因为，所以，解得：或，又，所以， 由，解得，所以， 因为，所以函数的零点是 2由1知，当时，对任意，存在，使等价于在上的最小值大于在上的最小值，即当时，,， 当时，因为，所以，符合题意； 当时，所以时，单调递减，所以，符合题意； 当时，所以时，单调递减，时，单调递增，所以时，令，那么，所以在上单调递增，所以时，即，所以，符合题意综上所述，假设对任意，存在，使成立，那么实数的取值围是 16. 函数.1当时，求的极值。2当时，讨论的单调性；3假设对任意的恒有成立，数的取值围.解：1当时， 1分由,解得. 2分在上是减函数，在上是增函数. 3分的极小值为，无极大值. 4分2. 5分当时，在和上是减函数，在上是增函数；6分当时，在上是减函数； 8分当时，在和上是减函数，在上是增函数. 8分3当时，由2可知在上是减函数，. 9分由对任意的恒成立， 10分即对任意恒成立，即对任意恒成立， 11分由于当时，. 12分. z.
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