初二平行四边形的动点问题学案和答案经典

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1、-第十一讲平行四边形中的动点问题 时间： 年 月 日 满江教师 学生： 一、 兴趣导入二、学前测试1如图，在平行四边形ABCD中，以下结论中错误的选项是A1=2BBAD=BCDCAB=CDDACBD考点：平行四边形的性质分析：根据平行四边形的性质，平行四边形对边平行以及对边相等和对角相等分别判断得出即可解答：解：在平行四边形ABCD中，ABCD，1=2，故此选项正确，不合题意；四边形ABCD是平行四边形，BAD=BCD，AB=CD，故B，C选项正确，不合题意；无法得出ACBD，故此选项错误，符合题意应选D点评：此题主要考察了平行四边形的性质，熟练掌握相关的性质是解题关键2.四边形ABCD中，对

2、角线AC、BD相交于点O，给出以下四个条件：ADBC；AD=BC；OA=OC；OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有A3种B4种C5种D6种考点：平行四边形的判定3718684分析：根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进展分析即可解答：解：组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；可证明ADOCBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；可证明ADOCBO，进而得到AD=CB，可利

3、用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；应选：B点评：此题主要考察了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，那么的值为A1BCD考点：三角形中位线定理；平行四边形的性质分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出H是AO的中点，再根据平行四边形的对角线互相平分可得AO=CO，然后求出CH=3AH，再求解即可解答：解：点E，F分别是边AD，AB的中点，AH=HO，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，

4、CH=3AH，=应选C三、方法培养：知识要点：平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形平行四边形的性质：边：对边平行且相等 角：角和为_,外角和_，邻角_,对角_ 对角线：互相平分平行线之间的距离：假设两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离叫性质：平行线之间的距离处处相等。推广：夹在两条平行线之间平行线段相等平行四边形的判定：定义： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

5、例11如下图，在直角梯形ABCD中，ADBC，A=90，AB=12，BC=21，AD=16动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停顿运动设运动的时间为t秒1当t为何值时，四边形PQCD的面积是梯形ABCD的面积的一半；2四边形PQCD能为平行四边形吗？如果能，求出t的值；如果不能，请说明理由3四边形PQCD能为等腰梯形吗？如果能，求出t的值；如果不能，请说明理由考点：等腰梯形的判定；平行四边形的判定；直角梯形。专题：动点型。分析：1根据：路程=速度时间，表示线段的

6、长度，再利用：S梯形ABPQ=S梯形PQDC，列方程求解；2只要能满足DQ=PC即可，由此建立等量关系，列方程求解；3当四边形PQCD为等腰梯形时，作PEBC，DFBC，垂足为E、F，需要满足QE=CF，由此建立等量关系，列方程求解解答：解：1由得：AQ=t，QD=16t，BP=2t，PC=212t，依题意，得解得；2能；当四边形PQDC为平行四边形时，DQ=PC，即16t=212t解得t=5；3不能作QEBC，DFBC，垂足为E、F，当四边形PQCD为等腰梯形时，PE=CF，即t2t=2116解得t=5，不合实际点评：此题考察了梯形计算面积的方法，根据平行四边形、等腰梯形的性质列方程求解的问

7、题变式练习：如下图，在直角梯形ABCD中，ADBC，A=90，AB=12，BC=21，AD=16动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停顿运动设运动的时间为t秒1设DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；2当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？3分别求出当t为何值时，PD=PQ，DQ=PQ考点：直角梯形；勾股定理；平行四边形的判定与性质。解答：1解：直角梯形ABCD中，ADBC，A=90，BC=21，AB=12，AD=16，依题意AQ=t，BP=2t，那么

8、DQ=16t，PC=212t，过点P作PEAD于E，那么四边形ADPE是矩形，PE=AB=12，SDPQ=DQAB=16t12=6t+962当四边形PCDQ是平行四边形时，PC=DQ，212t=16t解得：t=5，当t=5时，四边形PCDQ是平行四边形3AE=BP=2t，PE=AB=12，当PD=PQ时，QE=ED=AQ=t，AD=3t即16=3t，解得：t=，当t=时，PD=PQ当DQ=PQ时，DQ2=PQ2t2+122=16t2解得：t=当t=时，DQ=PQ专题2：平行四边形的证明【例2】如图，在直角梯形ABCD中，B=90，ADBC，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm假设动点P

9、从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B点运动当Q点到达B点时，动点P、Q同时停顿运动设点P、Q同时出发，并运动了t秒，1直角梯形ABCD的面积为cm2；2当t=秒时，四边形PQCD成为平行四边形？3当t=秒时，AQ=DC；4是否存在t，使得P点在线段DC上且PQDC？假设存在，求出此时t的值；假设不存在，说明理由考点：直角梯形；平行四边形的判定。解答：解：1作DMBC于点M那么四边形ABMD是平行四边形DM=AB=6cm在直角CDM中，CM=8cmBC=BM+CM=4+8=12cm直角梯形ABCD的面积为AD+BCAB=48cm2

10、；2当PD=CQ时，四边形PQCD成为平行四边形即45x=4x解得x=；3BQ=125x在直角ABQ中，AB2+BQ2=AQ2即62+125x2=102解得x=；4存在，连接QD，那么CP=144t，CQ=5t假设QPCD，SDQC=SDQC，有CQAB=CDQP得QP=3t在RtSQPC中QP2+PC2=CQ2，即3t2+144t2=5t2解之得求得BC=12CP=144t=710CQ=5t=12所以，存在t，使得P点在线段DC上，且PQDC变式练习如图，在直角梯形ABCD中，B=90，ADBC，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm假设动点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、

11、DC向C点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B点运动当Q点到达B点时，动点P、Q同时停顿运动设点P、Q同时出发，并运动了t秒，1这个直角梯形ABCD的面积是多少？2当t为何值时，四边形PQCD成为平行四边形？3是否存在t，使得P点在线段DC上且PQDC？假设存在，求出此时t的值，假设不存在，说明理由分析：1作DMBC于点M，在直角CDM中，根据勾股定理即可求得CM，得到下底边的长，根据梯形面积公式即可求解2当PD=CQ时，四边形PQCD成为平行四边形3连接QD，根据SDQC=SDQC，即可求解解答：解：1作DMBC于点M那么四边形ABMD是平行四边形，DM=AB=6cm在直角CD

12、M中，CM=8cm，BC=BM+CM=4+8=12cm，直角梯形ABCD的面积为 AD+BCAB=48cm2；二、 当PD=CQ时，四边形PQCD成为平行四边形，即45x=4x，解得x=；3存在，连接QD，那么CP=144t，CQ=5t，假设QPCD，SDQC=SDQC，有CQAB=CDQP，即5t6=10QP，得QP=3t，在RtSQPC中，QP2+PC2=CQ2，即3t2+144t2=5t2解之得 ，求得BC=12，CP=144t=710，CQ=5t=12，所以，存在t=时，使得P点在线段DC上，且PQDC专题3：三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边不与中位线接触，并且等于第三边

13、的一半。逆定理一：在三角形，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。逆定理二：在三角形，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。【例3】直角三角形AOB在平面直角坐标系中如下图，O与坐标原点重合，点A在x轴上，点B在y轴上，OB=2，BAO=30，将AOB沿直线BE折叠，使得OB边落在AB上，点O与点D重合1求直线BE的解析式；2求点D的坐标；3点P是x轴上的动点，使PAB是等腰三角形，直接写出P点的坐标；4点M是直线BE上的动点，过M点作AB的平行线交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以点M、N、D、B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在

14、，请求出所有M点的坐标；如果不存在说明理由考点：一次函数综合题；正比例函数的图象；待定系数法求一次函数解析式。专题：计算题。分析：先利用直角三角形的性质直角三角形中，如果有一个角是30，那么它所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理求出点的坐标E2，0，进一步用待定系数法求出一次函数的解析式y=x+2解答：解：1BAO=30ABO=60，沿BE折叠OD重合EBO=30，OE=BE，设OE=x，那么2x2=x2+，x=2，即 BE=4，E2，0，设Y=kx+b代入得；解得，直线BE的解析式是：，2过D作DGOA于G，沿BE折叠OD重合，DE=2，DAE=30DEA=60ADE=BOE=90，GE=1

15、，DG=，OG=1+2=3，D的坐标是：D；3P12，0；P26，0；4存在过D作DMY轴交BE于M，过M作AB平行线交Y轴于N，M1那么M的横坐标是x=3，代入直线BE的解析式得：y=，M13，同法可求M23，5，M点的坐标是：3，和3，5变式练习直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停顿点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线OBA运动1直接写出A、B两点的坐标；2设点Q的运动时间为t秒，OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；3当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶

16、点M的坐标分析：1分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；2因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，当P在线段OB上运动或0t3时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动或3t8时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PDOA于点D，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5，利用S= 12OQPD，即可求出答案；3令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标解答：解：1y=0，x=0，求得A8，0B0，6，

17、2OA=8，OB=6，AB=10点Q由O到A的时间是 81=8秒，点P的速度是 6+108=2单位长度/秒当P在线段OB上运动或Ot3时，OQ=t，OP=2t，S=t2当P在线段BA上运动或3t8时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做PDOA于点D，由 PDBO=APAB，得PD= 48-6t5S= 12OQPD=- 35t2+245t3当S= 485时， 4851236点P在AB上当S= 485时，- 35t2+245t= 485t=4PD= 48-645= 245，AD=16-24=8AD= 82-(245)2= 325OD=8- 325= 85P 85， 245M1 2

18、85， 245，M2- 125， 245，M3 125，- 245点评：此题主要考察梯形的性质及勾股定理在解题2时，应注意分情况进展讨论，防止在解题过程中出现漏解现象专题4：中位线及平行四边形中的计算例5、如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开场沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开场沿CB边向B以3cm/s的速度运动P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停顿运动，设运动时间为ts1当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？2当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？3当t为何值时，四边形

19、PQCD为直角梯形？分析：1四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ2四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE3四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可解答：解：1四边形PQCD平行为四边形PD=CQ24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形2过D作DEBC于E那么四边形ABED为矩形BE=AD=24cmEC=BC-BE=2cm四边形PQCD为等腰梯形QC-PD=2CE即3t-24-t=4解得：t=7s即当t=7s时，四边形PQCD为等腰梯形3由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-

20、24-t=2解得：t=6.5s即当t=6.5s时，四边形PQCD为直角梯形点评：此题主要考察了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中变式练习如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点NP、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度当Q点运动到A点，P、Q两点同时停顿运动设点Q运动的时间为t秒1求NC，MC的长用t的代数式表示；2当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；3是否存在某一时刻，使射线QN恰好将ABC的面

21、积和周长同时平分？假设存在，求出此时t的值；假设不存在，请说明理由；4探究：t为何值时，PMC为等腰三角形分析：1依据题意易知四边形ABNQ是矩形NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD，DQ就是t，即解；ABQN，CMNCAB，CM：CA=：CB，2CB、，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；3可先根据QN平分ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值然后根据得出的t的值，求出MNC的面积，即可判断出MNC的面积是否为ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值4由于等腰三角形

22、的两腰不确定，因此分三种情况进展讨论：当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值综上所述可得出符合条件的t的值解答:解：1AQ=3-t=4-3-t=1+t在RtABC中，AC2=AB2+BC2=32+42AC=5在RtMNC中，cosNCM= = ，CM= 2由于四边形PCDQ构成平行四边形PC=QD，即4-t=t解得t=23如果射线QN将ABC的周长平分，那么有：MN+NC=AM+BN+AB即：1+t+1+t= 3+4+5解得

23、：t= 5分而MN= NC= 1+tSMNC= 1+t2= 1+t2当t= 时，SMNC=1+t2= 43不存在某一时刻t，使射线QN恰好将ABC的面积和周长同时平分4当MP=MC时如图1那么有：NP=NC即PC=2NC4-t=21+t解得：t= 当CM=CP时如图2那么有：1+t=4-t解得：t= 当PM=PC时如图3那么有：在RtMNP中，PM2=MN2+PN2而MN= NC= 1+tPN=NC-PC=1+t-4-t=2t-3 1+t2+2t-32=4-t2解得：t1= ，t2=-1舍去当t= ，t= ，t= 时，PMC为等腰三角形点评：四、强化练习：1如图在ABCD中，AB6、AD9，B

24、AD的平分线交BC于点E，DC的延长线于点F, BGAE，垂足为G，假设BG4，那么CEF的面积是A、2 B、 C、3 D、4答案：A解析：在ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，BAD的平分线交BC于点E，BAF=DAF，ABDF，BAF=F，F=DAF，ADF是等腰三角形，AD=DF=9；AB=CD=6，CF=3；BEA=DAFBAF，所以，BABE，在ABG中，BGAE，AB=6，BG=4可得：AG=2，又BGAE，AE=2AG=4，ABE的面积等于8，又ABCD，CEFBEA，相似比为1：2，面积1：4，CEF的面积为,22、在ABCD中，以下结论一定正确的选项是AACBDBA+

25、B=180CAB=ADDAC考点：平行四边形的性质分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得ADBC，即可证得A+B=180解答：解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，A+B=180应选B3.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以下条件不能判定这个四边形是平行四边形的是AABDC，ADBCBAB=DC，AD=BCCAO=CO，BO=DODABDC，AD=BC考点：平行四边形的判定分析：根据平行四边形判定定理进展判断解答：解：A、由ABDC，ADBC可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，那么该四边形是平行四边形故本选项不符合题意；B、由AB=DC，AD=BC可知，四边形ABCD的两

26、组对边相等，那么该四边形是平行四边形故本选项不符合题意；C、由AO=CO，BO=DO可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，那么该四边形是平行四边形故本选项不符合题意；D、由ABDC，AD=BC可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形故本选项符合题意；应选D点评：此题考察了平行四边形的判定1两组对边分别平行的四边形是平行四边形2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4两组对角分别相等的四边形是平行四边形5对角线互相平分的四边形是平行四边形4.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BAD的平分线与BC的延长线交

27、于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DGAE，垂足为G，假设DG=1，那么AE的边长为A2B4C4D8考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理专题：计算题分析：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF

28、=EF，即可求出AE的长解答：解：AE为ADB的平分线，DAE=BAE，DCAB，BAE=DFA，DAE=DFA，AD=FD，又F为DC的中点，DF=CF，AD=DF=DC=AB=2，在RtADG中，根据勾股定理得：AG=，那么AF=2AG=2，在ADF和ECF中，ADFECFAAS，AF=EF，那么AE=2AF=4应选B点评：此题考察了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键五、训练辅导专题4：中考真题例7.如图，在直角梯形OABC中，OACB，A、B两点的坐标分别为A15，0，B10，12，动点P、Q分别从O、

29、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停顿运动时，点Q也同时停顿运动线段OB、PQ相交于点D，过点D作DEOA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F设动点PQ运动时间为t单位：秒1当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；2当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；3当t为何值时，PQF是等腰三角形？请写出推理过程考点：等腰梯形的判定；等腰三角形的判定；勾股定理；平行线分线段成比例专题：压轴题；动点型；分类讨论分析：1可通过构建直角三角形来求解过B作BGOA于G，过Q作QHOA于H可根据勾股定理，求出AB的值，用t表示出QP

30、，让QP=AB，求出t的值；2有了t的值，即可求出OP，CQ，QB的值，根据平行线段成比例，可以得出AF，进而求出OF的值，这样就可以求出梯形的面积；3分三种情况进展讨论，让PQF的三边两两相等，求出t的值解答：解：1如图，过B作BGOA于G，那么AB=13过Q作QHOA于H，那么QP=要使四边形PABQ是等腰梯形，那么AB=QP，即t=，或t=5此时PABQ是平行四边形，不合题意，舍去；t=2当t=2时，OP=4，CQ=102=8，QB=2CBDEOF，AF=2QB=22=4OF=15+4=19S梯形OFBC=10+1912=1743当QP=PF时，那么=15+2t2t，t=或t=当QP=Q

31、F时，那么=，即，t=当QF=PF时，那么=15，t=或t=，综上，当t=，t=，t=，t=时，PQF是等腰三角形六.家庭作业布置：家长签字：_ 请您先检查确认孩子的作业完成后再签字附件：堂堂清落地训练 坚持堂堂清，学习很爽心1如图，ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F1求证：AOECOF；2请连接EC、AF，那么EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定分析：1根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明即可；2请连接EC、AF，那么EF与AC满足EF=AC是，四边形AECF是矩形，首先证明四边形AECF是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明解答：1证明：四边形ABCD是平行四边形，AO=OC，ABCDE=F又AOE=COFAOECOFASA；2连接EC、AF，那么EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，理由如下：由1可知AOECOF，OE=OF，AO=CO，四边形AECF是平行四边形，EF=AC，四边形AECF是矩形点评：此题主要考察了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及矩形的判定，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题. z.