chapter矩阵的秩线性方程组的解PPT课件

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1、1.1.初等行初等行( (列列) )变换变换 ;1jijiccrr ;2kckrii .3jijikcckrr 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同2.2.A初等变换B. BA3.3.行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准形矩阵行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准形矩阵4.4.若若A A可逆，则可逆，则A A与单位阵与单位阵E E等价等价第1页/共62页1. 1. 单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵. .一次初等变换一次初等变换2. 初等矩阵的结论初等矩阵的结论:( , )E i j( ( )E i k( , ( )E i j k变换变换列列等行等行变成初等矩阵的同一初变成初等矩阵的同一初施行

2、使单位矩阵施行使单位矩阵，等于对，等于对矩阵矩阵右乘右乘用初等矩阵左乘用初等矩阵左乘性质性质)()(1EAA在在有有限限个个初初等等矩矩阵阵可可逆逆的的充充要要条条件件是是：存存定定理理：方方阵阵ANPPPA21 使使得得推论QPmBAnm及及可可逆逆矩矩阵阵阶阶可可逆逆矩矩阵阵存存在在等等价价的的充充分分必必要要条条件件是是与与矩矩阵阵 第2页/共62页3. 初等变换的应用初等变换的应用:),(EA),(1 AE一一系系列列初初等等行行变变换换（3）求XA=B),(BA(,)E X一系列初等行变换一系列初等行变换（1）求）求A-1（2）求AX=B(,)TTAB(,)TE X一系列初等行变换一

3、系列初等行变换第3页/共62页第二节 矩阵的秩一. 矩阵秩的概念二. 矩阵秩的求解第4页/共62页21 ,.mnAkkkmknkAkAk定义在矩阵中任取行列（），位于这些行列交叉处的个元素 不改变它们在中所处的位置次序而得的 阶行列式，称为矩阵的阶子式一、矩阵秩的概念1. k 阶子式第5页/共62页如：矩阵如：矩阵139301342396A 取第取第1 1行、第行、第3 3行和第行和第1 1列、第列、第4 4列交叉处的元素，列交叉处的元素，126231 二阶子式是二阶子式是组成的组成的的最高阶子式是的最高阶子式是3 3阶，共有阶，共有4 4个个3 3阶子式阶子式. .A易见易见. 个个阶子式共

4、有阶子式共有的的矩阵矩阵knkmCCkAnm 1最低阶为最低阶为 阶，阶， 最高阶为最高阶为 阶阶. .min, m n第6页/共62页2. 最高阶非零子式和秩2010( ).ArDrDArAR A定义设在矩阵中有一个不等于 的阶子式，且所有阶子式（如果存在的话）全等于 ，那末称为矩阵 的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩，记作并规定零矩阵的秩等于零第7页/共62页矩阵矩阵 A 的秩就是的秩就是 A 中非零子式的最高阶数中非零子式的最高阶数 显然，显然，n若 A 为 mn 矩阵,n若矩阵若矩阵 A 中中有某个有某个 s 阶子式不等于零，则阶子式不等于零，则 R(A) s ；若矩阵若矩阵 A 中中所

5、有所有 t 阶子式等于零，则阶子式等于零，则 R(A) t n若若 A 为为 n 阶矩阵，则阶矩阵，则 A 的的 n 阶子式只有一个，即阶子式只有一个，即|A| 当当|A|0 时，时， R(A) = n ;可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵满秩矩阵当当|A| = 0 时，时， R(A) n ;不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵降秩矩阵nR(AT) = R(A) 则则;,min)(0nmAr 第8页/共62页矩阵矩阵 A 的一个的一个 2 阶子式阶子式TD 矩阵矩阵 AT 的一个的一个 2 阶子式阶子式11121314212223243

6、1323334aaaaAaaaaaaaa 12132223aaaaD AT 的子式与的子式与 A 的子式对应相等，从而的子式对应相等，从而 R(AT) = R(A) 112131122232132333142434TaaaaaaAaaaaaa 12221323aaaa第9页/共62页例例1 求矩阵求矩阵解解在在A中中, ,又又A的的3阶子式只有一个阶子式只有一个|,| A且且| A, 0 ( )2.R A 的秩的秩. . 174532321 A174532321 11101110321 12023第10页/共62页例例2 2，求该矩阵的秩，求该矩阵的秩已知已知 510231202231A, 0

7、22031 102120231 502320231 解解计算A的3阶子式，, 0 , 0 510312223 512310221 , 0 , 0 . 0 . 2 AR第11页/共62页例例3.00000340005213023012的秩的秩求矩阵求矩阵 B解解行，行，其非零行有其非零行有是一个行阶梯形矩阵，是一个行阶梯形矩阵，3B.4阶子式全为零阶子式全为零的所有的所有B, 0400230312 而而. 3)( BR还存在其它还存在其它3 阶非零子阶非零子式吗？式吗？第12页/共62页解（续）：解（续）：B 还有其它还有其它 3 阶非零子式，例如阶非零子式，例如2030128004212035

8、18003 2020156003 结论：结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数21032031250004300000B 第13页/共62页一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的 . .行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数. .一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵梯形矩阵. .两个等价的矩阵的秩是否相等？两个等价的矩阵的秩是否相等？第14页/共62页1.经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初

9、等行变换矩阵的秩也不变。上页下页返回定理1 1 若AB，则 R（A）= = R（B）。2.求矩阵秩的一种常用方法。证明: :略注第15页/共62页做初等变换，做初等变换，对矩阵对矩阵 510231202231A例例2另解另解,000031202231510231202231 显然，非零行的行数为2， . 2 AR第16页/共62页例例4的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式秩，并求秩，并求的的求矩阵求矩阵设设AAA,41461351021632305023 解：解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵第17页/共62页 414613510216

10、32305023 A 0502335102163234146141rr 第18页/共62页 41461351021632305023 A 050233510211340414614241rrrr 第19页/共62页 1281216011791201134041461 41461351021632305023 A4241rrrr 141332rrrr 第20页/共62页 84000840001134041461 00000840001134041461 由阶梯形矩阵有三个非零行可知. 3)( AR233rr 244rr 34rr 第21页/共62页 , 3)( AR . 3阶阶的的最最高高阶阶非

11、非零零子子式式为为知知A阶子式共有阶子式共有的的 3A . 403534个个 CC 的行阶梯形矩阵，的行阶梯形矩阵，考察考察A第二步 求 A 的最高阶非零子式第22页/共62页选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列，选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列，0161041004000B 0325326205161rA 与之对应的是选取矩阵与之对应的是选取矩阵 A 的第一、二、四列的第一、二、四列3205016414323610431120153000481641400000rA 第23页/共62页00325161326041205004161000rAB R(A0) = 3，计算

12、，计算 A0的前的前 3 行构成的子式行构成的子式3253256113266011216025205205 因此这就是因此这就是 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式第24页/共62页分析：分析：对对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设 B 的行阶梯的行阶梯形矩阵为形矩阵为 ，则，则 就是就是 A 的行阶梯形矩阵，因此可从的行阶梯形矩阵，因此可从中同时看出中同时看出R(A)及及 R(B) 例：例：设设 ，求矩阵，求矩阵 A 及矩阵及矩阵B = (A, b) 的秩的秩1221124802, 2423336064Ab ( , )BA b A 解：解：122

13、1112211248020021024233000013606400000rB R(A) = 2R(B) = 3第25页/共62页矩阵的秩的性质矩阵的秩的性质 若若 A 为为 mn 矩阵，则矩阵，则 0R(A)min(m, n) R(AT) = R(A) 若若 A B，则，则 R(A) = R(B) 若若 P、Q 可逆，则可逆，则 R(PAQ) = R(A) maxR(A), R(B)R(A, B)R(A)R(B) 特别地，当特别地，当 B = b 为非零列向量时，有为非零列向量时，有R(A)R(A, b)R(A)1 R(AB)R(A)R(B) R(AB)minR(A), R(B) 若若 Am

14、n Bnl = O，则，则 R(A)R(B)n 第26页/共62页例例: 设A为n阶方阵, 证明R(A+E)+R(AE) n .证明: 因为(A+E)+(EA)=2E, 由性质6知,R(A+E)+R(EA) R(2E)=n,而R(EA)=R(AE), R(A+E)+R(AE) n .所以第27页/共62页三、小结(2)(2)初等变换法初等变换法1. 矩阵秩的概念矩阵秩的概念2. 求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)(1)利用定义利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);定理 等价矩阵的秩相等第28页/共62页矩阵

15、的秩矩阵的秩 最高阶非零子式的最高阶非零子式的阶阶数数 行阶梯形矩阵非零行的行数行阶梯形矩阵非零行的行数 行最简形矩阵非零行的行数行最简形矩阵非零行的行数 标准形矩阵中单位矩阵的标准形矩阵中单位矩阵的阶阶数数第29页/共62页主要内容线性方程组解的存在性线性方程组的解法 第三节第三节 线性方程组的解线性方程组的解第30页/共62页一、线性方程组有解的判定条件 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111. 线性方程组, )(ijaA 系数矩阵为,21 nxxxX,21 nbbbb线性方程组可记为：bAX 第31页/共62页1) m=n

16、 时, A 是 n 阶方阵 , 若 |A| 0 , 则可用克莱姆法则求解 , 或用 A 的逆矩阵表示解 .2) 对一般的情况如何判定有没有解? 有解时如何求解?第32页/共62页同解方程组为同解方程组为第33页/共62页线性方程组的解有下列三种情况：线性方程组的解有下列三种情况：u无解无解w有无穷解有无穷解v有惟一解有惟一解第34页/共62页 ,r Ar A bn有唯一解 ,r Ar A bn有无穷多解 ,.r Ar A b无解 ,nAr 只有零解只有零解 。有有非非零零解解nAr 1. 非齐次线性方程组非齐次线性方程组2. 齐次方程方程组:m nnAxb元非齐次线性方程组0m nnAx元齐次

17、线性方程组第35页/共62页 1,112,212121,111110rrnrnrrrrnrnrnrnrddxcxcxdxcxcxdxcxcx方方程程组组为为对对应应的的 000000000000000001000100011,12,2211,111rrrnrrrnrnddccdccdcc , BA b第36页/共62页 1,112,212121,111110rrnrnrrrrnrnrnrnrddxcxcxdxcxcxdxcxcx这个方程组与原方程组这个方程组与原方程组同解同解,.01时时，方方程程组组有有解解当当且且仅仅当当 rd有有解解时时当当,0)2(1 rd.,)(则则方方程程组组有有无

18、无穷穷多多解解若若nrB 则则方方程程组组有有唯唯一一解解若若,)(nrA 第37页/共62页自由未知量自由未知量 .解为解为再令再令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r ，则，则 11,1 111,1 111rnn rrr rrnn rrrnn rxccc cdxccc cdxcxc 1,111,11100010rnr rrnrn rccdccdcc 线性方程组线性方程组的通解的通解第38页/共62页二 求解线性方程组u 写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵 v 用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵w 根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解x 如果有

19、解，进一步化为行最简形矩阵y 行最简形矩阵首非零元素1对应的未知量为非自由未知量，其余未知量为自由未知量z令自由未知量为c,从而得到方程组的通解（一般解）nr定义：含有个参数的方程组的任一解，称为线性方程组的通解第39页/共62页例例1 1 求解齐次线性方程组.034022202432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 341122121221A 463046301221施行初等行变换：施行初等行变换：对系数矩阵对系数矩阵 A13122rrrr 第40页/共62页 0000342101221)3(223 rrr212rr 00003421035201即得与原方程组同解的方程组 ,

20、 0342, 0352432431xxxxxx第41页/共62页112212314252,342,3,xccxccxcxc).,(43可任意取值可任意取值xx由此即得 ,342,352432431xxxxxx形式形式，把它写成通常的参数，把它写成通常的参数令令2413,cxcx .1034350122214321 ccxxxx12,.c c其中任意其中任意第42页/共62页例例 求解非齐次线性方程组 . 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx解解对增广矩阵B进行初等行变换， 322122351311321B213132rrrr 1045010450113

21、2123rr 200001045011321, 3)(, 2)( BRAR显然，显然，故方程组无解第43页/共62页例例 求解非齐次方程组的通解.2132130432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 对增广矩阵B进行初等变换 2132111311101111B2131111100024100121 2rrrr 第44页/共62页212321211011 200121 2 .00000rrrrr , 2 BRAR由于由于故方程组有解，且有 2122143421xxxxx 42442342242102120021xxxxxxxxxxxx2142,xcxc令，令，第45页/共62页1

22、21234111 2100.021 2010 xxccxx 12,.c c其中任意其中任意得方程组的通解为第46页/共62页例例 设有线性方程组 23213213211 xxxxxxxxx?,有无穷多个解有无穷多个解有解有解取何值时取何值时问问 解解133221222221111111 011110111rrrrrrB第47页/共62页 ,11时时当当 000000001111B ., 3 方方程程组组有有无无穷穷多多解解 BRAR其通解为 33223211xxxxxxx .,32为为任任意意实实数数xx第48页/共62页 ,12时时当当 22120011011 B这时又分两种情形： :, 3

23、,2)1方程组有唯一解方程组有唯一解时时 BRAR .21,21,212321 xxx第49页/共62页 .,故故方方程程组组无无解解BRAR ,2)2时时 300063304211B第50页/共62页1: 线性方程组Ax = b有解的充分必要条件是 R(A)=R(A b).2: n元齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充分必要条件是R(A)n. 将1再推广到矩阵方程情形得:3: 矩阵方程组AX = B有解的充分必要条件是R(A)=R(A B). 第51页/共62页下面证明上节留下的性质7: R(AB) minR(A), R(B).证明: 设AB=C, 则矩阵方程AX=C有解X=B, 3得:

24、R(A)=R(AC).而R(C) R(AC),故R(C) R(A).由另一方面, 由BTAT=CT 可证R(C) R(B).因此有: R(AB) minR(A), R(B).第52页/共62页三、小结u w v u v 第53页/共62页J求解线性方程组的步骤：u 写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵 v 用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵w根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解x 如果有解，进一步化为行最简形矩阵y 行最简形矩阵首非零元素1对应的未知量为非自由未知量，其余未知量为自由未知量z 令自由未知量为c,从而得到方程组的通解（一般解）第54页/共62页作业作业习题三习题三

25、10.10.（1 1） 14.14.（3 3）本节习题要求：本节习题要求： 习题三习题三 基础题目：基础题目：7,8,10,13,147,8,10,13,14提高题目：提高题目：11,12, 16,1711,12, 16,17兴趣题目：兴趣题目：9,15,18,19,20,219,15,18,19,20,21第55页/共62页例：例：设有线性方程组设有线性方程组问问 取何值时，此方程组有取何值时，此方程组有(1) 唯一解；唯一解；(2) 无解；无解；(3) 有无有无限多个解？并在有无限多解时求其通解限多个解？并在有无限多解时求其通解123123123(1) 0,(1) 3, (1).xxxxx

26、xxxx 第56页/共62页11101113111B 解法解法1：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵11101113111 1311111131110rr 2131(1)111030(2)(1)rrrr 321110300(3)(1)(3)rr 第57页/共62页附注：附注：对含参数的矩阵作初等变换时，由于对含参数的矩阵作初等变换时，由于 +1， +3 等因式等因式可能等于零，故不宜进行下列的变换：可能等于零，故不宜进行下列的变换：如果作了这样的变换，则需对如果作了这样的变换，则需对 +1 = 0（或（或 +3 = 0）的）的情况另作讨论情况另

27、作讨论 2111rr 2(1)r 3(3)r 第58页/共62页11101111113 0311100(3)(1)(3)rB分析：分析：讨论方程组的解的情况，就是讨论参数讨论方程组的解的情况，就是讨论参数 取何值时，取何值时，r2 、r3 是是非零行非零行在在 r2 、r3 中，有中，有 5 处地方出现了处地方出现了 ，要使这，要使这 5 个元素等于零，个元素等于零， = 0，3，3，1 实际上没有必要对这实际上没有必要对这 4 个可能取值逐一进行讨论，先从方程个可能取值逐一进行讨论，先从方程组有唯一解入手组有唯一解入手第59页/共62页11101111113 0311100(3)(1)(3)rB于是于是当当 0 且且 3 时，时，R(A) = R(B) = 3 ，有唯一解，有唯一解当当 = 0 时，时，R(A) = 1， R(B) = 2 ，无解，无解当当 = 3 时，时，R(A) = R(B) = 2 ，有无限多解，有无限多解第60页/共62页11101113111B 解法解法2：因为系数矩阵因为系数矩阵 A 是方阵，所以方程组有唯一解的充是方阵，所以方程组有唯一解的充分必要条件是分必要条件是 |A| 0 2111|111(3)111A 于是当于是当 0 且且 3 时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解第61页/共62页感谢您的观看！第62页/共62页