不等式证明的若干方法

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1、-学科110 本科毕业论文 题目不等式证明的假设干方法姓 名朱虹霞* 51 院系数学与计算机科学学院 专 业 数学与应用数学 年级2021级 指导教师晟职称副教授 二一 五年五月 师学院本科毕业论文诚信声明本人重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进展研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要奉献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承当。本科毕业论文作者签名：年月日. z.-目 录摘 要1Abstract21 常用的不等式证明方法

2、31.1 作差比拟法31.2 作商比拟法41.3 分析法52 假设法证明不等式52.1 反证法52.2 数学归纳法63 构造法证明不等式73.1 代换法73.2 构造复数84 利用微分中值定理证明不等式94.1 利用拉格朗日中值定理94.2 利用柯西中值定理证明不等式104.3 利用泰勒展开式证明不等式115 利用积分定理证明不等式125.1 利用定积分定义证明不等式125.2 利用定积分性质证明不等式136 一题多解14结语17参考文献18致 19. z.-摘要不等式是数学学习过程当中一个根本的问题，它浸透于数学研究的各个方面，因而不等式证明在数学中有着至关重要的作用和地位。在本文中，我主要

3、从不同方面总结了一些证明不等式的方法。尤其是在初等数学中不等式证明，经常会使用到比拟法，假设法，反证法等等。在高等数学中还会用到中值定理、积分定理等等。于是，一个更完美的不等式的证明，有助于我们进一步的探索研究。经过去掌握这些证明方法，可能会帮助我们去解决一些数学题目。关键词:比拟法；中值定理；积分定理AbstractInequality is the mathematical learning process is a fundamental issue, it soaked in all aspects of mathematical research, which proves ineq

4、uality has a crucial role and position in mathematics. In this article, I mainly summarizes some different aspects to prove inequality. Especially proving inequalities in elementary mathematics, is often used to pare methods, assumptions law, reductio ad absurdum, and so on. Higher Mathematics will

5、be used in the mean value theorem, integral theorem and so on. Thus, a more perfect proof of inequality, helping us to further e*ploration and research. After prove to master these methods may help us to solve some math problems.Keywords: parative Law; value theorem; integral theorem引言 在数学学习过程中，不等式是

6、根本的数学关系，不等式的证明也证明了它是数学领域一个非常重要的容，然而，这些容在初等数学与高等数学中又有一个很好的表达。到17世纪之后，它已经逐渐开展为不等式理论，成为数学根底的一个重要要组成局部。在不等式证明之前，要根据其构造特点，往往需要对其部构造进展分析,来采取适当的，熟悉各种证据推理方法，并要掌握相应的环节，技术和语言特点，提醒问题的本质特点，使得难解的问题变动为可解性问题。黄冬梅在关于不等式证明的假设干方法的探究中提到过，利用“对称和均分的观点。根据微积分的知识，通过一些例子来探讨不等式证明在初等数学中应用。东洪平在利用二次求导确定函数单调性证明一些不等式中涉及到，根据利用二阶导数方

7、法来证明函数的单调性，通常用一个函数来求导确定，因此，*些函数的单调性不能确定的时候，对这些函数进展二次求导来确定其单调函数.忠彦在用数学归纳法证明一类不等式的技巧中提到，对于一边是常数的数列不等式，不妨借助于数学归纳法，直接证明概括往往有一定的困难，如果使用不等式的传递性、可加性，通过增强命题，比例常数和其他技能，就可以成功完成了归纳过渡。1 常用的不等式证明方法 比拟法是不等式数学证明中最根本、最根本的方法，主要有作差法和作商法。1.1作差比拟法作差比拟法：要证不等式，只要证即可。比拟法包括以下几个步骤：作差、变形、判断的符号正或负、得出结论。例1实数为正数，求证。 分析：两个多项式大小的

8、比拟通常是用作差比拟法。解： 小结:作差：要比拟两个数或式子作差的大小; 变形：对差值进展因式分解或几个数或式子的完全平方和； 判别：结合变形和题设前提下判断差的符号。1.2作商比拟法商比拟：在一般情况下，当均为正数时，借助或，来表示它的大小，一般步骤为：作商变形判别大于1或小于1)。例2设，求证：。 分析:关于一些含有幂指数类型的题通常都用作商比拟法。证明： ，又指数函数的性质，当时，;当时，；当时，；即.注：作商法通常适用于含“幂、“指数比拟类型的式子。1.3分析法分析法是从结论开场，一步步的向上推导，探索下去，然而证明的题目中设条件，在证明的过程中，推导的每一步都要可逆。 例3 ：为互不

9、相等的实数，求证：. 证明：要证成立，即证明需要证即因为,所以.由此逆推，即可证明。2假设法证明不等式2.1反证法 反证法是证明与命题相对立的结论，可以先来假设一个错误的结论，应用到以往所学的知识来证明假设是错误的。理论依据：命题“与命题“非一真、一假。例4 ，求证:至少有一个小于等于。 分析：“小于等于的反面是“大于，可以考虑用反证法。证明：假设都大于，则 根据平均值不等式，有同理，.显然矛盾，所以结论成立。注：反证法适合用于证明一些“存在性的问题、唯一性的问题，“至少有一个或“至多有一个等类型的数学问题。2.2数学归纳法一般地，证明一个与正整数有关的命题，即按以下步骤进展：证明当取第一个值

10、时命题成立；一个命题，证明了命题的假设命题进展证明，建立当时，命题也成立。综上所述，建立了所有的自然数都成立。例5。 证明：当时，左，右，一个命题成立。假设当时，命题成立，即.则当时，左边 上式说明当时，命题也成立。由知，命题对一切正整数均成立。注意：1数学归纳法证明命题，步骤严谨，务必严格按步骤进展。2归纳推理是难点，要仔细看准再变形。3 构造法证明不等式构造法是利用条件为前提，把条件进展变换和替代或模型构造的条件下，复杂等，来实现不等式的证明过程的简单化。3.1 代换法提取一个式子作为一个整体，一个变量来代替它，使问题得以简单化，称为代换法。复原转化的本质，关键在于构建元素和组元，理论原由

11、是基于等效替代，这样的非标准化的问题，复杂的问题。例7 计算下面的算式 解: 令,，则原式 注意：在解题过程中，往往要根据解题的需要，通常把较大的数字或者复式的式子用字母来代替，这样才会使式子中的复杂的关系更加简单明了，简化或计算过程也会简便些。3.2构造复数对*些含有二次根式且变数字母具有对称或轮换对称的不等式，可以构造复数，利用复数模的性质：证明1。例8：假设为非负实数，证明：。 证明：构造复数，则左边 从这个例子可以看出，证明的不等式中出现“平方和算术根构造复数，解决问题的方法是独特的，思路也清晰明了。只有在出现平方和或算术根的情况下，才考虑用构造复数。4利用微分中值定理证明不等式利用微

12、分中值定理证明不等式的步骤：构造辅助函数；构造微分中值定理需要的区间；利用，对进展适当的放缩。4.1利用拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理2 如果在上连续，在可导，则在至少存在一点，使。 例9 求证：当时， 。 分析：最初要来构造一个辅助的函数，继续利用拉格朗日中值定理就可以解出此题。 证明：设辅助函数，在上满足中值定理，则，；因为 , .由上式可得 ，又因为， ，.所以 ，即 .注：很多证明题都不能直接利用定理来进展解决问题，再利用拉格朗日中指定理问题时，怎样去构造辅助函数，这才是证明问题的关键。4.2利用柯西中值定理证明不等式柯西中值定理3 假设函数在闭区间上连续，在开区间可导，且在每一点均

13、不为零，则在至少存在一点，使 . (4.2) 例10 如果，试证：。 证明：令，在区间上连续，在可导，且在每一点都不为零。则由柯西中值定理可得：， 见式(4.2)则有 ，由于在闭区间上，有，所以 .4.3利用泰勒展开式证明不等式泰勒定理 设在闭区间上连续，在开区间上存在，则对任何，至少存在一点，这样其中在与之间称为余项，上式称为阶泰勒公式。令，则公式变为.其中 在与之间。 例11 当时，证明。证明：取，则，代人泰勒公式，其中，得，其中.故当时，5利用积分定理证明不等式5.1 利用定积分定义证明不等式设函数在区间上有界，在区间插入分点：；记，；在小区间上任取一点作和；如果当时，以上的极限存在，且

14、极限值与区间的分法和的取值无关，积分函数的极限在区间上的表示，记为，即. (5.1)例12 计算. 解：取分点为，则在第个小区间上取右端点于是 5.2利用定积分性质证明不等式积分不等式性 假设函数和在上的两个可积函数，且，则有。 (5.2)例13 试证.证明：由定积分的不等式性，只需要证许可，当时，因，所以 ，即 ，且 ， ，在是增函数 ，所以 .即 ，因而时，结论成立。 利用定积分的性质来证明不等式当中,要学会利用微分和积分的互逆,行使积分本身的单一性,把步骤放在不等式双方构造的积分方式中.使用定积分不等式的证明,常会用到定积分的性质,有时还要结合积分中值定理。6一题多解证明:假设，求证：.

15、思路点拨:因为，所以证明不等式两边的值大于零，此题主要用作差法，作商法和分析法证明。 证法一：作差法 证明： = =因为 ，所以 .即得证。证法二：作商法因为，所以，.所以得证。 证法三：分析法要证，只需证只需证 只需证只需证，因为成立.所以得证。 例：求证：. 证法一：分析法证明:(1)当时，显然成立。(2)当时，欲证原不等式成立。只需证 即证 .即证即证 因为，所以上式恒成立。综合(1)(2)可知：原不等式成立。 证法二：比拟法证明:因为所以所以即 证法三：代换法证明：设，则可设，所以结语在这里我只是总结一些简单几种比拟常见的方法，这些方法只能解决一些常见的一局部不等式问题，要求要大家开拓

16、思维，善于分析解决问题，培养良好的思维能力，但对于不等式的证明要仔细观察，找到最适宜最方便的方法并学习总结。于是，本文对不等式的一些证明方法进展了体系的总结，并精选一些典型的例题来证明，以便大家对其证明有更好的了解，同时密切联系现实，不等式在实际中解决一些简单问题的应用，为了进一步证明不等式的重要性。不等式的证明方法多种多样，往往取决于题型，没有一定的途径。如果能够熟练掌握不等式的性质，认识根本不等式的特点，认真地审题进展思考探索也不难找到证题的途径。参考文献1董堆华.构造复数解题的常见方法与技巧J.教育报,2003,16(1):106-107.2党艳霞.浅谈微分中值定理及其应用J.师学院学报

17、.自然科学版,2021,10(1):28-30.3金贵荣.关于弱微分中值定理J.高师学报,2001,6(5):34-56.4徐俊峰.新形势下高等数学教学的一点思考J.考试周刊,2021,31(1):64-67.5黄冬梅.关于不等式证明的假设干方法的探究J.江师学院学报,2021,24(1):249-250.6左静贤.一道须要二阶求导的不等式证明题R.数学学习与研究:教研版,2021.7忠彦.用数学归纳法证明一类不等式的技巧J.数学通讯,2003,14(1):14-16.8丽颖.不等式证明的常用方法D.师大学,2021.9俞.人教A版高中数学课标实验教科书不等式选讲简介R.中学数学杂志.高中版,

18、2007,2(2):1-8.10博.积分不等式的证明D.交通职业技术学院,2021.11瑞.积分不等式的推广J.科学技术与工程.2021,11(2):299-300.12吴良森.数学分析习题M.:科技.1998,50-98.13华东师大学数学系.数学分析M.:高等教育.2003,26-65.14罗猛.不等式证明的八种方法J.跨世纪.2021,16(7):198-199.致 本人的毕业论文着实于我的论文指导教师教师的密切关心和精心指导下落实的。他严峻的科学态度，严密的治学精神，不断进取的工作作风，深深地浸染和启发着我。从课题的拣选到本文的最后落成，教师老是赐予我经心的指点和不懈的支持。我衷心地感教师和崇高的敬意。在这里，我想感每一位大学得意的同学和朋友，你我的通常一起设计和研究的问题，并一一指出了对我的设计的缺乏之处，以便我及时发现问题，该方案成功地进展了是因为你们的帮助和支持，我才能克制一个问题和困惑，论文的顺利完成，在此我表示深深的感谢之情。最后，由于本文涉及的学者，本文在研究文学的学者，因为我知识浅薄，所以有很多的缺乏之处，恳请各位教师批评指正!. z.