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1、基于拉格朗日方程的受控五杆机构动力学分析2009125031 甄伟摘要：分析平面刚性受控五杆机构实现任意给定运动时的补偿运动及运动动力学特性，并建立基于拉格朗日方程的受控五杆机构动力学模型。通过给定精确实现的运动，求的其补偿位移、速度、加速度，然后利用该动力学模型求出实际给定运动时曲柄所需的平衡力矩和受控原动件所需推力，为控制系统驱动原件的选择提供依据。关键词：受控五杆机构 拉格朗日方程 动力学模型 动力学分析 我们所研究的力学问题，基本上以牛顿运动定律来求解的。但是，用牛顿定律来求质点系的运动问题时，往往需要解算大量的微分方程组，如果质点受到约束，则因约束力都是未知的，因此增加了问题的复杂性
2、。随着工业革命的发展，在工程技术上迫切需要解决这类问题的方法，于是，便诞生了拉格朗日等人开创的一系列处理力学问题的新方法分析力学，其中，包括虚功原理、拉格朗日方程、哈密顿原理等。具有一个受控原动件的五杆机构是一个二自由度机构，让其中的一个原件作匀速运动，而控制另一个原动件使其按给定要求做补偿运动，从而精确实现任意给定的运动。本文将深入分析平面刚性受控五杆机构的运动动力学特性，建立基于拉格朗日方程的系统动力学模型。1 受控五杆机构的机构综合与补偿运动分析要精确实现任意给定运动首先必须利用给定的函数或轨迹用最优综合的方法给出一个初始四杆机构。在初始四杆机构的基础上，引进受控原动件，并按照给定运动计
3、算受控运动件的补偿运动，进一步求得补偿运动的位移s以及曲柄在一定转速下的补偿运动的速度v、加速度a。2 受控五杆机构运动学分析机构的运动分析既是求解机构的输入与输出的关系，即求出机构在运动过程中各杆件的速度、加速度、受力情况，又是误差分析、动力学分析的基础。本文在不考虑引起机构运动的外力、机构构件弹性变形和机构运动副之间的间隙而只知道机构原动件的运动规律的条件下用解析法对平面刚性受控五杆机构进行运动分析。受控五杆机构原理图如图1所示。已知杆1、2、3、4、附加杆的长度分别为、，其中杆1为曲柄，其位置为，角速度为常数，且以逆时针方向为正，杆2、杆3的转角分别为，附加杆与连杆的夹角为，杆4为机架，
4、其倾斜角为。S、v、a分别为补偿运动的位移、速度、加速度。图1 受控五杆机构运力图由矢量封闭回路ABCD写出矢量方程。 （1）式（1）分别对时间求一阶导数和二阶导数可得杆2、3的角速度和角加速度，则： （2） （3）（4） （5）在求得各杆角速度、角加速度、补偿运动的位移、速度、加速度等运动学参数的基础上可求得各杆质心处的线速度和线加速度。假设：受控五杆机构的各杆件和附加杆的质量分别为，滑块质量为，杆1、杆2、杆3、附加杆、滑块等的质心位置与杆件的夹角分别为，质心到各运动副的距离分别为，如图1所示，其他条件同上。根据以上的假设条件，首先求各杆件的质心坐标。杆件1的质心坐标 （6） （7）杆件2
5、的质心坐标 （8） （9）杆件3的质心坐标 （10） （11）附加杆质心坐标 （12） （13）滑块质心坐标 （14） （15）式（6）（15）对时间求一次导可以得到各杆件、附加杆、滑块质心处的线速度：式（6）（15）对时间求两次导可以得到各杆件、附加件、滑块质心处的线速度： 3 基于拉格朗日方程的受控五杆机构动力学分析 3.1 系统动力学模型的建立 随着多自由度系统的广泛应用，其动力学分析也成为多自由度机械系统设计的一个重要组成部分。在单自由度机械系统中，由于只有一个自由度，可以把机构简化为一个具有等效质量或等效转动惯量的等效构建，再求出作用在等效构件上的等效力和等效力矩。对于多自由度系统，
6、则不能按其自由度简单地简化为互不相干的等效构件。牛顿第二运动定律是研究动力学的基础。用其进行动力学分析时，必须对每根列出其动力学平衡方程，且在方程中包含有未知的约束力，当系统的杆件越多时，需求解很大的微分方程组，因此增加了问题的复杂性。而拉格朗日方程是从能量观点上建立起来的系统的势能、动能和功之间的标量关系。与直接应用牛顿定律解题相比，应用拉格朗日方程可使动力学方程的数目减少到最少，且消去了全部约束反力。其表达式为： （16）式（16）中：T为系统的动能，U为系统的势能，为系统的广义坐标，为广义力，k为系统的广义坐标数。则：系统动能 （17）系统势能 （18）式中：是第i根活动杆的转动惯量kg
7、；mi是各活动杆件的质量kg；N是活动杆件数；是各活动杆件的质心与水平面之间的距离m。利用拉格朗日方程进行系统的动力学分析时，首先必须选定系统的广义坐标，然后列出系统动能、势能的表达式，代入拉格朗日方程，即可导出系统的动力学模型。将构件及质点的动能代入式（17）可求得系统动能T，将构件及质点的势能代入式（18）可求得系统势能。由于受控五杆机构为二自由度系统，选和S为广义坐标，且忽略运动副之间的摩擦、间隙、杆件的弹性变形，将式（16）（17）代入拉格朗日方程（15）即可求得实现任意给定运动时曲柄所需要的驱动力矩M和原动件所需驱动力F： （19） （20）3.2 应用动力学模型进行计算根据受控五杆
8、机构所需精确实现的轨迹综合出的初始四杆机构的尺寸如下：曲柄=1004060,连杆=4004060，连杆架=4504060，机架=5004060，附加杆=2004060，机架倾斜角，附加杆与连杆的夹角，材料密度，在此基础上，引进受控原动件，按给定轨迹计算受控原动件的补偿运动。如果运用VC+语言进行编程计算可方便的求得补偿运动的位移S、速度、加速度、角速度、角加速度，还可以求得不同转速下不同位置曲柄的平衡力矩和滑块移动所需的推力。4 结论 本文在分析受控五杆构件的初始四杆机构及补偿运动的基础上深入分析了受控五杆构件的运动学特性，并建立了基于拉格朗日方程的系统动力学模型。利用该模型可以求得实现任意给定运动时，在各种转速情况下曲柄所需力矩和滑块所需的推力，从而为控制系统驱动元件的选型提供了一定的依据。参考文献1. 杨金堂，弹性五杆机构精确实现给定运动的研究. 硕士学位论文武汉：武汉冶金科技大学，1999.2. 杨基厚，机构运动学与动力学M. 北京：机械工业出版社，1987.3. 滕荣，拉格朗日方程求解问题浅析. 贵阳：贵州工业大学学报，1997.
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